COURS 1


1
Coordonnées d’un point du plan




A
Repères du plan

Remarque

Si  (OI) (OJ),\text { (OI) } \perp(\mathrm{OJ}), le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) est dit orthogonal.
Si, de plus, OI=OJ,\text{OI} = \text{OJ} , alors (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) est dit orthonormé.

Définitions

Soient O, I\text{O, I} et J\text{J} trois points distincts du plan. On dit que le triplet (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) forme un repère du plan lorsque les points O, I\text{O, I} et J\text{J} ne sont pas alignés. Dans ce cas :
  • le point O\text{O} est l’origine du repère ;
  • la droite orientée  (OI) \text { (OI) } est l’axe des abscisses et la distance OI\text{OI} donne l’unité sur cet axe ;
  • la droite orientée (OJ)(\mathrm{O} \mathrm{J}) est l’axe des ordonnées et la distance OJ\text{OJ} donne l’unité sur cet axe.
Repères du plan

Définitions

Repérer un point M\text{M} dans un repère (O ; I , J),(\text{O ; I , J}), c’est donner l’unique couple de nombres réels (x;y)(x\: ; y) appelé coordonnées du point M.\text{M}. Le nombre xx est l’abscisse du point M\text{M} et le nombre yy est l’ordonnée du point M.\text{M}.

NOTATION

On écrit très souvent les coordonnées du point A\text{A} à l’aide de la notation A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\:; y_{\mathrm{A}}\right)

Exemple

Dans un repère (O ; I , J),(\text{O ; I , J}), les coordonnées de O , I \text{O , I } et J\text{J} sont respectivement (0;0),(1;0)(0\:; 0),(1\:; 0) et (0;1).(0\:; 1).

B
Coordonnées du milieu d’un segment


Exemple

Dans un repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}), si A\text{A} a pour coordonnées (1;3,5)(-1\:; 3,5) et B\text{B} a pour coordonnées (2;1,5)(2\:;-1,5) alors le milieu K\text{K} du segment [AB][\mathrm{AB}] a pour coordonnées (1+22;3,51,52)\left(\dfrac{-1+2}{2}\:; \dfrac{3,5-1,5}{2}\right)
soit K(0,5;1).\mathrm{K}(0,5\:; 1).

Propriété (admise)

Dans le plan muni d’un repère (O ; I, J),\text{(O ; I, J)}, on considère les points A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB).\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right).
Le milieu K\text{K} du segment [AB][\mathrm{AB}] a pour coordonnées (xK;yK)\left(x_{\mathrm{K}}\:; y_{\mathrm{K}}\right) définies par :
xK=xA+xB2x_{\mathrm{K}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} et yK=yA+yB2y_{\mathrm{K}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}

Coordonnées du milieu d’un segment

Remarque

L’abscisse de K\text{K} est la moyenne des abscisses de A\text{A} et B.\text{B}.
L’ordonnée de K\text{K} est la moyenne des ordonnées de A\text{A} et B.\text{B.}

Application et méthode

Énoncé

Le triangle de Sierpinski est une figure composée de triangles équilatéraux.
Déterminer les coordonnées des points O , M , N\text{O , M , N} et P\text{P} dans le repère (A ; B , C).(\text{A ; B , C}). Qu’en est-il dans le repère (A ; B , C)?(\text{A ; B , C})\:?
Coordonnées d’un point du plan

Méthode

Pour déterminer les coordonnées (xM;yM)\left(x_{\mathrm{M}} ; y_{\mathrm{M}}\right) dans un repère (A ; B , C)(\text{A ; B , C}) du plan :

1. construire le point M1\mathrm{M}_{1} projeté du point M\text{M} sur la droite (AB)(\mathrm{AB}) parallèlement à la droite (AC);(\mathrm{AC})\:;

2. construire le point M2\mathrm{M}_{2} projeté du point M\text{M} sur la droite (AC)(\mathrm{AC}) parallèlement à la droite (AB);(\mathrm{AB})\:;

3. conclure en remarquant que le point M\text{M} a pour coordonnées (xM1;yM2).\left(x_{\mathrm{M}_{1}} ; y_{\mathrm{M}_{2}}\right).


SOLUTION

Dans le repère (O ; I , J),(\text{O ; I , J}), pour lire les coordonnées du point M\text{M} :
1. on détermine xMx_{\mathrm{M}} en constatant que xM=xO=12;x_{\mathrm{M}}=x_{\mathrm{O}}=\dfrac{1}{2};

2. on détermine yMy_{\mathrm{M}} en constatant que yM=yQ=14;y_{\mathrm{M}}=y_{\mathrm{Q}}=\dfrac{1}{4};
3. on a alors : M(12;14).\text{M}\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4}\right).
4. De manière analogue, on obtient N(0;12),O(12;0)\mathrm{N}\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right), \mathrm{O}\left(\dfrac{1}{2} ; 0\right) et P(14;12).\mathrm{P}\left(\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right).
Le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) n’est pas adapté pour déterminer les coordonnées de M, N\text{M, N} et P .\text{P .}

Pour s'entraîner : exercices 16 et 23 p. 159 et 33 p. 160

Application et méthode


SOLUTION

Le point O\text{O} est l’origine du repère donc O(0;0).\mathrm{O}(0\:; 0).
Le point N\text{N} est le milieu de [AC][\mathrm{AC}] donc :

1. xN=xA+xC2=5+02=52x_{\mathrm{N}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{C}}}{2}=\dfrac{-5+0}{2}=\dfrac{-5}{2} et
2. yN=yA+yC2=0+532=532y_{\mathrm{N}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{C}}}{2}=\dfrac{0+5 \sqrt{3}}{2}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{2} donc
3. N(52;532)\mathrm{N}\left(\dfrac{-5}{2}\:; \dfrac{5 \sqrt{3}}{2}\right)

Le point Q\text{Q} est le milieu de [AN],[\mathrm{AN}] , donc :

1. xQ=xA+xN2=5+522=154x_{\mathrm{Q}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{N}}}{2}=\dfrac{-5+\dfrac{-5}{2}}{2}=\dfrac{-15}{4} et
2. yQ=yA+yN2=0+5322=534y_{Q}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{N}}}{2}=\dfrac{0+\dfrac{5 \sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{4} donc
3. Q(154;534)\mathrm{Q}\left(\dfrac{-15}{4}\: ; \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\right)


Pour s'entraîner : exercices 20, 21 et 22 p. 159

Méthode

Pour calculer le milieu N\text{N} d’un segment [AC]:[\mathrm{AC}] :
1. calculer l’abscisse du point N\text{N} avec la formule : xN=xA+xC2;x_{\mathrm{N}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{C}}}{2}\:;

2. calculer l’ordonnée du point N\text{N} avec la formule : yN=yA+yC2;y_{\mathrm{N}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{C}}}{2}\:;
3. conclure en donnant les coordonnées de N:(xN;yN)\text{N} : \left(x_{\mathrm{N}}\:; y_{\mathrm{N}}\right)

Énoncé

Dans le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) de la figure du triangle de Sierpinski, on admet que A(5;0),B(5;0)\text{A}(-5\: ; 0), \text{B}(5\: ; 0) et C(0;53).\mathrm{C}(0\: ; 5 \sqrt{3}). Déterminer les coordonnées des points O , N\text{O , N} et Q.\text{Q} .
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