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Ch. A
Statistiques continues

Ch. B
Statistiques bivariées

Ch. C
Probabilités conditionnelles

Ch. D
Valeur absolue

Nombres et calculs

Fonctions

Ch. 1
Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

Géométrie

Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6
Notion de vecteur

Ch. 7
Colinéarité de vecteurs

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 8
Équations de droites

Statistiques et probabilités

Ch. 9
Informations chiffrées

Ch. 10
Statistiques descriptives

Ch. 11
Probabilités et échantillonnage

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de collège

Jeux de société

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Dossier d'actualité

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Chapitre 5

Cours 1

Coordonnées d'un point du plan

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A
Repères du plan

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Définition

Soient

O, I

J

trois points distincts du plan. On dit que le triplet

(O ; I , J)

forme un repère du plan lorsque les points

O, I

J

ne sont pas alignés. Dans ce cas :

le point $O$ est l'origine du repère ;
la droite orientée $(OI)$ est l'axe des abscisses et la distance $OI$ donne l'unité sur cet axe ;
la droite orientée $(OJ)$ est l'axe des ordonnées et la distance $OJ$ donne l'unité sur cet axe.

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Remarque

(OI) ⊥ (OJ),

le repère

(O ; I , J)

est dit orthogonal. Si, de plus,

OI = OJ,

alors

(O ; I , J)

est dit orthonormé.

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Définition

Repérer un point

M

dans un repère

(O ; I , J),

c'est donner l'unique couple de nombres réels

(x; y)

appelé coordonnées du point

M .

Le nombre

x

est l'abscisse du point

M

et le nombre

y

est l'ordonnée du point

M .

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Notation

On écrit très souvent les coordonnées du point

A

à l'aide de la notation

A (x_{A}; y_{A})

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Exemple

Dans un repère

(O ; I , J),

les coordonnées de

O , I

J

sont respectivement

(0; 0), (1; 0)

(0; 1) .

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Application et méthode

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Énoncé

Le triangle de Sierpinski est une figure composée de triangles équilatéraux. Déterminer les coordonnées des points

O , M , N

P

dans le repère

(A ; B , C) .

Qu'en est-il dans le repère

(O ; I , J) ?

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Méthode

Pour déterminer les coordonnées

(x_{M}; y_{M})

dans un repère

(A ; B , C)

du plan :

1. construire le point

M_{1}

projeté du point

M

sur la droite

(AB)

parallèlement à la droite

(AC);

2. construire le point

M_{2}

projeté du point

M

sur la droite

(AC)

parallèlement à la droite

(AB);

3. conclure en remarquant que le point

M

a pour coordonnées

(x_{M_{1}}; y_{M_{2}}) .

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Solution

Dans le repère

(A ; B , C),

pour lire les coordonnées du point

M

:
1. on détermine

x_{M}

en constatant que

x_{M} = x_{O} = \frac{1}{2};

2. on détermine

y_{M}

en constatant que

y_{M} = y_{Q} = \frac{1}{4};

3. on a alors :

M (\frac{1}{2}; \frac{1}{4}) .

4. De manière analogue, on obtient

N (0; \frac{1}{2}), O (\frac{1}{2}; 0)

P (\frac{1}{4}; \frac{1}{2}) .

Le repère

(O ; I , J)

n'est pas adapté pour déterminer les coordonnées de

M, N

P .

Pour s'entraîner

exercices 16
et 23
p. 159 et 33
p. 160

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B
Coordonnées du milieu d'un segment

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Propriété (admise)

Dans le plan muni d'un repère

(O ; I, J),

on considère les points

A (x_{A}; y_{A})

B (x_{B}; y_{B}) .

Le milieu

K

du segment

[AB]

a pour coordonnées

(x_{K}; y_{K})

définies par :

x_{K} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}

y_{K} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}

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Remarque

L'abscisse de

K

est la moyenne des abscisses de

A

B .

L'ordonnée de

K

est la moyenne des ordonnées de

A

B.

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Exemple

Dans un repère

(O ; I , J)

, si

A

a pour coordonnées

(- 1; 3, 5)

B

a pour coordonnées

(2; - 1, 5)

alors le milieu

K

du segment

[AB]

a pour coordonnées

(\frac{- 1 + 2}{2}; \frac{3 , 5 - 1 , 5}{2})

soit

K (0, 5; 1) .

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Application et méthode

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Énoncé

Dans le repère

(O ; I , J)

de la figure du triangle de Sierpinski, on admet que

A (- 5; 0), B (5; 0)

C (0; 53) .

Déterminer les coordonnées des points

O , N

Q .

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Méthode

Pour calculer le milieu

N

d'un segment

[AC] :

1. calculer l'abscisse du point

N

avec la formule :

x_{N} = \frac{x _{A} + x _{C}}{2};

2. calculer l'ordonnée du point

N

avec la formule :

y_{N} = \frac{y _{A} + y _{C}}{2};

3. conclure en donnant les coordonnées de

N : (x_{N}; y_{N})

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Solution

Le point

O

est l'origine du repère donc

O (0; 0) .

Le point

N

est le milieu de

[AC]

donc :

1.

x_{N} = \frac{x _{A} + x _{C}}{2} = \frac{- 5 + 0}{2} = \frac{- 5}{2}

et
2.

y_{N} = \frac{y _{A} + y _{C}}{2} = \frac{0 + 5 3}{2} = \frac{5 3}{2}

donc
3.

N (\frac{- 5}{2}; \frac{5 3}{2})

Le point

Q

est le milieu de

[AN],

donc :

1.

x_{Q} = \frac{x _{A} + x _{N}}{2} = \frac{- 5 + \frac{- 5}{2}}{2} = \frac{- 15}{4}

et
2.

y_{Q} = \frac{y _{A} + y _{N}}{2} = \frac{0 + \frac{5 3}{2}}{2} = \frac{5 3}{4}

donc
3.

Q (\frac{- 15}{4}; \frac{5 3}{4})

Pour s'entraîner

exercices 20
, 21
et 22
p. 159

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Nombres et calculs

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Ch. 2Variations de fonctions

Ch. 3Fonctions affines

Ch. 4Fonctions de référence

Ch. 5Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6Notion de vecteur

Ch. 7Colinéarité de vecteurs

Ch. 8Équations de droites

Ch. 9Informations chiffrées

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Ch. 11Probabilités et échantillonnage

Exercices transversaux

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Coordonnées d'un point du plan

ARepères du plan

Remarque

Notation

Méthode

Solution

BCoordonnées du milieu d'un segment

Propriété (admise)

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Méthode

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Statistiques continues

Ch. B
Statistiques bivariées

Ch. C
Probabilités conditionnelles

Ch. D
Valeur absolue

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Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6
Notion de vecteur

Ch. 7
Colinéarité de vecteurs

Ch. 8
Équations de droites

Ch. 9
Informations chiffrées

Ch. 10
Statistiques descriptives

Ch. 11
Probabilités et échantillonnage

A
Repères du plan

B
Coordonnées du milieu d'un segment