Entrainement 1


1. Coordonnées d’un point du plan





43
[Raisonner.] ◉◉◉
Coordonnées d’un point du plan

Soient ABCD\text{ABCD} un carré dont les quatre côtés ont été partagés en quatre parts égales. On munit le plan du repère orthonormé (A ; B , D).(\text{A ; B , D}).

1. Déterminer les coordonnées des points A, B, C\text{A, B, C} et D.\text{D}.

2. Reproduire la figure et placer les points J\text{J} et L\text{L}, milieux respectifs de [CD][\mathrm{CD}] et [AB].[\mathrm{AB}].

Lancer le module Geogebra
3. Calculer les coordonnées des points J\text{J} et L\text{L}.

4. Placer les points I(0;34)\mathrm{I}\left(0\: ; \dfrac{3}{4}\right) et K(1;14).\mathrm{K}\left(1\: ; \dfrac{1}{4}\right).

5. Montrer que le quadrilatère IJKL\text{IJKL} est un parallélogramme.


DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 33 ; 34 ; 47 ; 54 et 65
◉◉ Parcours 2 : exercices 35 ; 39 ; 40 ; 48 ; 59 ; 66 ; 76 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 36 ; 43 ; 53 ; 69 ; 70 ; 75 et 80

36
[Chercher.] ◉◉◉
Dans le repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) ci-dessous, on considère le carré ABCD\text{ABCD} et le parallélogramme EFDC.\text{EFDC}.

Coordonnées d’un point du plan

1. Lire les coordonnées de tous les points.

2. Calculer les coordonnées du milieu K\text{K} de [AE].[\mathrm{AE}].

3. Calculer les coordonnées du milieu L\text{L} de [BF].[\mathrm{BF}].

4. En déduire la nature du quadrilatère AFEB.\text{AFEB.}

5. Que dire alors des droites (AF)(\mathrm{AF}) et (BE)?(\mathrm{BE}) ?

46
[Raisonner.]
On considère les points A, B, D, E, F\text{A, B, D, E, F} et O\text{O} suivants. On munit le plan du repère (A ; B , D).(\text{A ; B , D}).

Coordonnées d’un point du plan

1. Déterminer, dans ce repère, les coordonnées des points A, B, D, E\text{A, B, D, E} et F.\text{F}.

2. Le point O\text{O} est le milieu du segment [BD].[\mathrm{BD}]. Calculer ses coordonnées.

3. Calculer les coordonnées du point C\text{C} afin que le quadrilatère ABCD\text{ABCD} soit un parallélogramme.

4. Peut-on affirmer que BDCE\text{BDCE} est un parallélogramme ?

38
[Chercher.]
Coordonnées d’un point du plan

Mathias et Zineb jouent aux fléchettes. La cible est placée dans le repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) ci-dessus.
Les fléchettes de Mathias sont repérées par les points A1(2;5),B1(8;3)\text{A}_{1}(2\:; 5), \text{B}_{1}(8\:; 3) et C1(6;2). \text{C}_{1}(-6\:;-2).

1. Déterminer le score obtenu par Mathias.


2. Les deux premières fléchettes de Zineb sont repérées par A2\mathrm{A}_{2} et B2\mathrm{B}_{2} tels que A2\mathrm{A}_{2} est le milieu de [A1B1]\left[\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1}\right] et B2\mathrm{B}_{2} est le symétrique de B1\mathrm{B}_{1} par rapport à A1\mathrm{A}_{1} . Déterminer une position possible de la troisième flèche afin que Zineb obtienne :
a. le même score que Mathias ;

b. un score plus élevé que Mathias.

44
ALGO
[Modéliser.]
On considère l’algorithme ci-dessous où xA,yA,xB,yB,xKx_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}}, x_{\mathrm{K}} et yK y_{\mathrm{K}} sont des nombres réels.

xBxKxAyByKyA \boxed{ \begin{array} { l } x_{\mathrm{B}} \leftarrow x_{\mathrm{K}} - x_{\mathrm{A}} \\ y_{\mathrm{B}} \leftarrow y_{\mathrm{K}} - y_{\mathrm{A}} \\ \end{array} }

1. Faire fonctionner cet algorithme :
a. avec les points A(1;1)\mathrm{A}(1\:; 1) et K(2;1,5)\mathrm{K}(2\:; 1{,}5)

b. avec les points A(3;5)\mathrm{A}(3\:; 5) et K(3;1)\mathrm{K}(3\:; -1)

2. Quel est le rôle de cet algorithme ?


34
[Chercher.] ◉◉
On considère le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) suivant.

Coordonnées d’un point du plan

1. Le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) est-il orthonormé ? orthogonal ?

2. Lire les coordonnées des points A, B, C\text{A, B, C} et D \text{D} dans le repère (O ; I , J).(\text{O ; I , J}).

3. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère (O ; I , B).(\text{O ; I , B}).

4. Déterminer les éventuels points qui possèdent les mêmes coordonnées dans ces deux repères.

5. Calculer les coordonnées du milieu de [AB][\mathrm{AB}] dans chacun de ces deux repères.

Histoire des maths

Histoire des Maths René Descartes

Le système de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d’un point sur une droite, dans un plan ou dans un espace de dimension 3. On munit pour cela l’espace affine correspondant d’un repère cartésien. Le mot « cartésien » vient du mathématicien et philosophe français René Descartes, né le 31 mars 1596 à La-Haye-en-Touraine.

33
[Chercher.] ◉◉
On considère le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) ci-dessous.


Coordonnées d’un point du plan

1. Le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) est-il orthonormé ? orthogonal ?

2. Lire les coordonnées des points A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} dans le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J})

3. Sur le repère placer les points D(1;1) \mathrm{D}(1\:; 1) et E(1;0) \mathrm{E}(-1\:; 0)

4. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère (D ; A , I)(\text{D ; A , I})

41
[Calculer.]
Soit (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) un repère orthogonal du plan. On considère les trois points A(1;3),B(1,5;8)\mathrm{A}(1\:; 3), \mathrm{B}(1{,}5\:; 8) et C(4;5).\mathrm{C}(4\:; 5).

1. Faire une figure.
Lancer le module Geogebra
2. Calculer les coordonnées du milieu K\text{K} de [BC].[\mathrm{BC}].

3. Calculer les coordonnées de D\text{D}, symétrique du point A\text{A} par rapport à K.\text{K}.

4. Déterminer la nature du quadrilatère ABDC.\text{ABDC}.


45
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}), on donne les points A(2;1),B(4;3)\mathrm{A}(-2\: ; 1), \mathrm{B}(4\: ; 3) et C(2;3).\mathrm{C}(2\: ;-3).

1. Calculer les coordonnées du point :
a. D\text{D} tel que ABCD\text{ABCD} soit un parallélogramme.

b. E\text{E} tel que ACBE\text{ACBE} soit un parallélogramme.


Aide
ABCD est un parallélogramme lorsque [AC][\mathrm{AC}] et [BD][\mathrm{BD}] ont le même milieu.

2. Faire une figure et vérifier les résultats.

Lancer le module Geogebra
3. Montrer que A\text{A} est le milieu du segment [DE].[\mathrm{DE}].


39
[Raisonner.] ◉◉
Soient EFGH\text{EFGH} un parallélogramme de centre O\text{O} et (E ; F , G)(\text{E ; F , G}) un repère orthogonal du plan.

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Donner les coordonnées des points E,F,G\mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et H.\text{H}.


3. Calculer les coordonnées de R,\text{R}, symétrique de G\text{G} par rapport à F.\text{F.}


4. Calculer les coordonnées de S,\text{S}, symétrique de H\text{H} par rapport à G.\text{G.}


5. Calculer les coordonnées de T,\text{T}, symétrique de O\text{O} par rapport à G.\text{G.}


6. Déterminer la nature des quadrilatères ERFH\text{ERFH} et HOST\text{HOST}.

40
[Calculer.] ◉◉
Dans un repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) du plan, on considère les points A(3;1),B(4;2)\mathrm{A}(3\:; 1), \mathrm{B}(-4\:; 2) et C(1;4). \mathrm{C}(-1\:; 4).

1. Déterminer les coordonnées du point D,\text{D}, symétrique de C\text{C} par rapport à B\text{B}.

2. On note E\text{E} le point du plan tel que les segments [AC][\mathrm{AC}] et [BE][\mathrm{BE}] aient le même milieu. Déterminer les coordonnées du point E.\text{E} .


37
GEOGEBRA
[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(5;2),B(35;2)\mathrm{A}(\sqrt{5}\:; \sqrt{2}),\: \mathrm{B}(3 \sqrt{5} \:; \sqrt{2}) et C(25;0). \mathrm{C}(2 \sqrt{5}\: ; 0).

1. Ouvrir la fenêtre graphique de GeoGebra et placer les points A, B\text{A, B} et C\text{C} en saisissant les coordonnées dans la barre de saisie.
2. Conjecturer la nature du quadrilatère OABC\text{OABC}.

3. Démontrer la conjecture.


Lancer le module Geogebra

35
[Modéliser.] ◉◉
La figure ci-dessous est composée de deux carrés accolés (ABCD\text{ABCD} et CBKJ\text{CBKJ}) et d’un trapèze EHGF\text{EHGF}. La droite (BC)(\text{BC}) est un axe de symétrie.

Coordonnées d’un point du plan

Dans le repère (C ; I , B):(\text{C ; I , B})\: :

1. Donner les coordonnées de tous les points.


2. Calculer les coordonnées du milieu M\text{M} de [EF].[\mathrm{EF}] .


3. Calculer les coordonnées du milieu N\text{N} de [GH].[\mathrm{GH}].

42
[Calculer.]
Sur la figure ci-dessous, on considère le rectangle ABCD\text{ABCD} et les points A\mathrm{A}^{\prime} et D\mathrm{D}^{\prime}. On note (A ; B , D)(\text{A ; B , D}) le repère orthogonal du plan.

Coordonnées d’un point du plan

1. Donner les coordonnées de tous les points.

2. Vérifier, par le calcul, que A\mathrm{A}^{\prime} et D\mathrm{D}^{\prime} sont respectivement le symétrique de A\text{A} par rapport à B\text{B} et le symétrique de D\text{D} par rapport à A\text{A}.

3. Calculer les coordonnées de C\mathrm{C}^{\prime}, symétrique de C\text{C} par rapport à D\text{D}.

4. Calculer les coordonnées de B\mathrm{B}^{\prime}, symétrique de B\text{B} par rapport à C\text{C}.

5. Montrer que le quadrilatère ABCD\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} est un parallélogramme.

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