COURS 3


3
Configurations du plan




B
Trigonométrie


DÉMONSTRATION

On prend par exemple un triangle ABC\text{ABC} rectangle en A\text{A} et l’angle ABC^.\widehat{\mathrm{ABC}}.
Alors, cos2(ABC)+sin2(ABC)=(ABBC)2+(ACBC)2=AB2+AC2BC2=BC2BC2=1.\cos ^{2}(\overline{\mathrm{ABC}})+\sin ^{2}(\overline{\mathrm{ABC}})=\left(\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\right)^{2}+\left(\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\right)^{2}=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}=\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}=1.

Propriété

Si α\alpha est la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle alors cos2(α)+sin2(α)=1.\cos ^{2}(\alpha)+\sin ^{2}(\alpha)=1.

Démonstration au programme

Remarque

On définit par analogie cos(ACB^)\cos (\widehat{\mathrm{ACB}}) et sin(ACB^)\sin (\widehat{\mathrm{ACB}})

Remarque

D’après le théorème de Pythagore, AB2+AC2=BC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BC}^{2}

Définitions

Soit ABC\text{ABC} un triangle rectangle en A.\text{A}. On définit alors le cosinus et le sinus l’angle ABC^\widehat{\mathrm{ABC}} de la façon suivante :
cos(ABC^)=ABBC\cos (\widehat{\text{ABC}})=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} et sin(ABC^)=ACBC.\sin (\widehat{\text{\text{ABC}}})=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}.

C
Quadrilatères particuliers


Parmi les parallélogrammes, on trouve les rectangles, les losanges et les carrés. Les carrés sont aussi des rectangles et des losanges particuliers

Exemple

Un quadrilatère ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [AC] [\mathrm{AC}] et [BD][\mathrm{BD}] ont le même milieu.

Application et méthode


SOLUTION

1. En utilisant les carreaux, on constate que BT=CT\text{BT} = \text{CT} donc T\text{T} appartient à la médiatrice de [BC].[\mathrm{BC}].
En utilisant le théorème de Pythagore, on démontre que AC=5=AB\text{AC} = 5 = \text{AB} donc A\text{A} appartient aussi à la médiatrice de [BC].[\mathrm{BC}].
On en déduit que (AT)(\mathrm{AT}) est la médiatrice de [BC].[\mathrm{BC}].
2. On en déduit alors que les droites (BC)(\mathrm{BC}) et (AT)(\mathrm{AT}) sont perpendiculaires.

Pour s'entraîner : exercice 65 p 165

Énoncé

On considère les points dans le repère ci-dessous.
1. En utilisant les carreaux, justifier que la droite (AT)(\mathrm{AT}) est la médiatrice du segment [BC].[\mathrm{BC}].
2. Que peut-on en déduire pour les droites (BC)(\mathrm{BC}) et (AT)?(\mathrm{AT})\:?
Repérage et configuration dans le plan

Méthode

1. On utilise la propriété suivante : « Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. »
2. On utilise la définition de la médiatrice d’un segment.

A
Propriétés dans le triangle


Définition

Soient dd une droite et M\text{M} un point extérieur à dd. On dit que M\mathrm{M}^{\prime} est le projeté orthogonal de M\text{M} sur dd lorsque Md\text{M}^{\prime} \in d et que (MM)\left(\mathrm{MM}^{\prime}\right) et dd sont perpendiculaires.

Définition

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle.


Repérage et configuration dans le plan

DÉMONSTRATION

Voir ex
84
p. 169

Propriété

Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes en un point O\text{O} qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

DÉMONSTRATION


Voir également ex
79
p. 169

Définition

Dans le triangle ABC,\text{ABC} , la hauteur issue du sommet A\text{A} est la droite passant par A\text{A} et par le projeté orthogonal de A\text{A} sur (BC):(\mathrm{BC})\:: il s’agit de la droite (AH).(\mathrm{AH}).

Repérage et configuration dans le plan

Remarque

Dans un triangle équilatéral, les médiatrices et les hauteurs sont confondues.

Propriété

Le projeté orthogonal d’un point M\text{M} sur une droite Δ\Delta est le point de Δ\Delta le plus proche de M.\text{M}.

Application et méthode

Énoncé

1. Démontrer que le triangle ABC\text{ABC} tel que AB=12,BC=5\text{AB} = 12 , \text{BC} = 5 et AC=13\text{AC} = 13 est rectangle.
2. Calculer la mesure de l’angle BAC^.\widehat{\mathrm{BAC}}.

SOLUTION

1. D’une part, AC2=132=169.\mathrm{AC}^{2}=13^{2}=169. D’autre part,
AB2+BC2=122+52=169.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=12^{2}+5^{2}=169.
Donc AC2=AB2+BC2:\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\:: d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC\text{ABC} est rectangle en B.\text{B} .
b. cos(BAC^)=ABAC=1213\cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\dfrac{12}{13}

On trouve alors BAC^=arccos(1213)22,6\widehat{\mathrm{BAC}}=\arccos \left(\dfrac{12}{13}\right) \approx 22,6^{\circ}

Pour s'entraîner : exercices 63 et 64 p. 165

Méthode

1. On utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rectangle lorsqu’on connaît la longueur de ses trois côtés.

2. On utilise les formules trigonométriques puis, à la calculatrice, on retrouve l’angle cherché. Il faut penser à bien être en mode degrés (voir fiches calculatrices).
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