Mathématiques 2de

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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
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Ch. 9
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Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 5
Cours 3

Configurations du plan

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A
Propriétés dans le triangle

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Définition
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle.
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Propriété
Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes en un point \text{O} qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
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Repérage et configuration dans le plan
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Démonstration
Voir exercice p. 169
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Définition
Soient d une droite et \text{M} un point extérieur à d. On dit que \mathrm{M}^{\prime} est le projeté orthogonal de \text{M} sur d lorsque \text{M}^{\prime} \in d et que \left(\mathrm{MM}^{\prime}\right) et d sont perpendiculaires.
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Propriété
Le projeté orthogonal d'un point \text{M} sur une droite \Delta est le point de \Delta le plus proche de \text{M}.
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Démonstration
Voir également ex p. 169



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EXCLU. PREMIUM 2023

Le projeté orthogonal du point M sur une droite D est le point de la droite D le plus proche du point M

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Définition
Dans le triangle \text{ABC} , la hauteur issue du sommet \text{A} est la droite passant par \text{A} et par le projeté orthogonal de \text{A} sur (\mathrm{BC})\:: il s'agit de la droite (\mathrm{AH}).

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Remarque

Dans un triangle équilatéral, les médiatrices et les hauteurs sont confondues.
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EXCLU. PREMIUM 2023

Points remarquables du triangle

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Application et méthode
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Énoncé
On considère les points dans le repère ci-dessous.
1. En utilisant les carreaux, justifier que la droite (\mathrm{AT}) est la médiatrice du segment [\mathrm{BC}].
2. Que peut-on en déduire pour les droites (\mathrm{BC}) et (\mathrm{AT})\:?

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Méthode

1. On utilise la propriété suivante : « Si un point est situé à égale distance des extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. »
2. On utilise la définition de la médiatrice d'un segment.

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Solution

1. En utilisant les carreaux, on constate que \text{BT} = \text{CT} donc \text{T} appartient à la médiatrice de [\mathrm{BC}].
En utilisant le théorème de Pythagore, on démontre que \text{AC} = 5 = \text{AB} donc \text{A} appartient aussi à la médiatrice de [\mathrm{BC}].
On en déduit que (\mathrm{AT}) est la médiatrice de [\mathrm{BC}].
2. On en déduit alors que les droites (\mathrm{BC}) et (\mathrm{AT}) sont perpendiculaires.

Pour s'entraîner
exercice p 165
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B
Trigonométrie

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Définition
Soit \text{ABC} un triangle rectangle en \text{A}. On définit alors le cosinus et le sinus l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} de la façon suivante :
\cos (\widehat{\text{ABC}})=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} et \sin (\widehat{\text{\text{ABC}}})=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}.
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Remarque

On définit par analogie \cos (\widehat{\mathrm{ACB}}) et \sin (\widehat{\mathrm{ACB}})
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Propriété
Si \alpha est la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle alors \cos ^{2}(\alpha)+\sin ^{2}(\alpha)=1.
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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

\bm{cos^2(a) + sin^2(a) = 1} dans un triangle rectangle

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Démonstration
On prend par exemple un triangle \text{ABC} rectangle en \text{A} et l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}.
Alors, \cos ^{2}(\overline{\mathrm{ABC}})+\sin ^{2}(\overline{\mathrm{ABC}})=\left(\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\right)^{2}+\left(\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\right)^{2}=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}=\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}=1.
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Remarque

D'après le théorème de Pythagore, \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BC}^{2}
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Application et méthode
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Énoncé
1. Démontrer que le triangle \text{ABC} tel que \text{AB} = 12 , \text{BC} = 5 et \text{AC} = 13 est rectangle.
2. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}.
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Méthode

1. On utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle lorsqu'on connaît la longueur de ses trois côtés.

2. On utilise les formules trigonométriques puis, à la calculatrice, on retrouve l'angle cherché. Il faut penser à bien être en mode degrés (voir fiches calculatrices).
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Solution
1. D'une part, \mathrm{AC}^{2}=13^{2}=169. D'autre part,
\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=12^{2}+5^{2}=169.
Donc \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\:: d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{B} .
2. \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\dfrac{12}{13}

On trouve alors \widehat{\mathrm{BAC}}=\arccos \left(\dfrac{12}{13}\right) \approx 22,6^{\circ}

Pour s'entraîner
exercices et p. 165
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C
Quadrilatères particuliers

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Parmi les parallélogrammes, on trouve les rectangles, les losanges et les carrés. Les carrés sont aussi des rectangles et des losanges particuliers
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Exemple
Un quadrilatère \text{ABCD} est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [\mathrm{AC}] et [\mathrm{BD}] ont le même milieu.

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