Configurations du plan

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle.

Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes en un point $\text{O}$ qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Voir exercice

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p. 169

Soient $d$ une droite et $\text{M}$ un point extérieur à $d$. On dit que ${\mathrm{M}}^{\prime }$ est le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $d$ lorsque ${\text{M}}^{\prime }\in d$ et que $\left({\mathrm{MM}}^{\prime }\right)$ et $d$ sont perpendiculaires.

Le projeté orthogonal d'un point $\text{M}$ sur une droite $\Delta$ est le point de $\Delta$ le plus proche de $\text{M}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle rectangle en $\text{A}.$ On définit alors le cosinus et le sinus l'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}$ de la façon suivante :
$\cos (\widehat{\text{ABC}})=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$ et $\sin (\widehat{\text{ABC}})=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}.$

On définit par analogie $\cos (\widehat{\mathrm{ACB}})$ et $\sin (\widehat{\mathrm{ACB}})$

Si $\alpha$ est la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle alors ${\cos }^2(\alpha )+{\sin }^2(\alpha )=1.$

On prend par exemple un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$ et l'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}.$
Alors, ${\cos }^2(\overline{\mathrm{ABC}})+{\sin }^2(\overline{\mathrm{ABC}})={\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\right)}^2=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}=\frac{{\mathrm{BC}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}=1.$

D'après le théorème de Pythagore, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2$

1. Démontrer que le triangle $\text{ABC}$ tel que $\text{AB}=12,\text{BC}=5$ et $\text{AC}=13$ est rectangle.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}.$

1. On utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle lorsqu'on connaît la longueur de ses trois côtés.

2. On utilise les formules trigonométriques puis, à la calculatrice, on retrouve l'angle cherché. Il faut penser à bien être en mode degrés (voir fiches calculatrices).

Parmi les parallélogrammes, on trouve les rectangles, les losanges et les carrés. Les carrés sont aussi des rectangles et des losanges particuliers

Un quadrilatère $\text{ABCD}$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales $[\mathrm{AC}]$ et $[\mathrm{BD}]$ ont le même milieu.