Repérage et configuration dans le plan

1

Dans le plan, un repère $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J})$ peut être :

• orthogonal : $(\mathrm{OI})\perp (\mathrm{OJ})$
• orthonormé : $(\mathrm{OI})\perp (\mathrm{OJ})$ et $\mathrm{OI}=\mathrm{OJ}$
• ni orthonormé ni orthogonal : $(\mathrm{OI})$ et $(\mathrm{OJ})$ ne sont pas perpendiculaires.
Cela permet de :

✔ travailler dans des repères adaptés aux exercices ; ✔ démontrer analytiquement des propriétés géométriques du plan.

2

Dans un repère quelconque, le point $\mathrm{K}$ milieu du segment $[\mathrm{AB}]$ a pour coordonnées $\mathrm{K}\left(\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2};\frac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right).$ Cela permet de :

✔ calculer les coordonnées du milieu d'un segment ;
✔ démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

3

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right)$ est $\mathrm{AB}=\sqrt{{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)}^2+{\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)}^2}.$ Cela permet de :

✔ calculer la longueur d'un segment ;
✔ démontrer qu'un triangle est rectangle ;
✔ démontrer qu'un quadrilatère est un losange ;
✔ démontrer que des points appartiennent à un même cercle.

4

Dans un repère orthonormé, trois points $\mathrm{A},\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ sont alignés dans cet ordre si, et seulement si, $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}.$ Cela permet de :

✔ démontrer que trois points sont alignés ;
✔ démontrer qu'un point appartient à une droite.

5

Les médiatrices d'un triangle $\mathrm{ABC}$ sont concourantes au point $\mathrm{O},$ centre du cercle circonscrit à $\mathrm{ABC}.$ Cela permet de :

✔ trouver la position d'un point équidistant de trois autres.