Activités




B
Le radar défectueux : calculs de distance



Objectif
Découvrir la formule du calcul de distance.

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Bilan
Dans un repère orthonormé, les points A\text{A} et B\text{B} ont pour coordonnées respectives (xA;yA)\left(x_{\mathrm{A}}\:; {y}_{\mathrm{A}}\right) et (xB;yB).\left(x_{B}\:; y_{B}\right) . En déduire une formule pour calculer la distance AB.\text{AB} .


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Deux avions de la compagnie Qatar Airways (Q)(\text{Q}) et de la compagnie Pegasus Airlines (P)(\mathrm{P}) approchent de la tour de contrôle de l’aéroport d’Istanbul, en Turquie.
L’écran de contrôle de l’avion Q\text{Q} est défectueux : le cercle est centré sur la tour de contrôle, non visible, alors que le repère (Q ; I , J)(\text{Q ; I , J}) est centré sur la position de l’avion.
Repérage et configuration dans le plan

2
Construire la médiatrice de chacun des segments [AB],[BC][\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}] et [AC].[\mathrm{AC}] . Que remarquez-vous ?


3
Déterminer graphiquement les coordonnées de O\text{O}, point d’intersection des trois médiatrices.


4
a) Justifier l’égalité OA=OB=OC=5\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=5

b) Que représente le point O\text{O} géométriquement ? Et par rapport au contexte ?


5
Pour mesurer la distance OQ,\text{OQ} , on introduit le point H\text{H} projeté orthogonal du point O\text{O} sur (QI).(\mathrm{QI}) .
a) Justifier que le point H\text{H} a pour coordonnées (1;0).(-1\:; 0).

b) Démontrer que QO2=(xOxQ)2+(yOyQ)2\mathrm{QO}^{2}=\left(x_{\mathrm{O}}-x_{\mathrm{Q}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{O}}-y_{\mathrm{Q}}\right)^{2}

c) En déduire la distance QO.\mathrm{QO}.

d) Calculer, de même, les distances OP\text{OP} et QP.\text{QP}.


6
En déduire la distance réelle entre l’avion de la compagnie Pegasus Airlines et la tour de contrôle puis entre les deux avions sachant que la distance réelle entre l’avion de la compagnie Qatar Airways et la tour de contrôle est de 32 km.


1
Reproduire le repère orthonormé (Q ; I , J)(\text{Q ; I , J}) et placer les points A , B\text{A , B} et C\text{C} de coordonnées respectives (5;5),(1;3)(-5\:; 5),(-1\:;-3) et (4;2).(4\:; 2). Tracer le triangle ABC.\text{ABC}.

Lancer le module Geogebra

C
Algorithme et coordonnées du milieu d’un segment



Objectif
Déterminer les coordonnées du milieu d’un segment.


1
Placer le point K\text{K}, milieu du segment [AB]\text{[AB]}, et le point L\text{L}, milieu du segment [BC],\text{[BC],} sur l'image du repère (O ; I ,J).\text{(O ; I ,J).}

2
Compléter le tableau ci-dessous.
 xAx_\text{A}  yAy_\text{A}  xBx_\text{B}  yBy_\text{B}  xKx_\text{K}  yKy_\text{K}
 Algo 1
 Algo 2
 Algo 3

3
Parmi les trois algorithmes, lesquels permettent d’afficher les coordonnées du point K?\text{K}\:?


4
Les algorithmes de la question
3
fonctionnent-ils pour le point L?\text{L}\:?


5
En déduire l’algorithme qui convient.

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Bilan
Écrire les formules donnant les coordonnées du milieu K(xK;yK)\mathbf{K}\left(x_{\mathbf{K}}\:; {y}_{\mathbf{K}}\right) du segment [AB][\mathbf{A B}] avec A(xA;yA)\mathbf{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; \boldsymbol{y}_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB)\mathbf{B}\left(x_{\mathbf{B}} ; \boldsymbol{y}_{\mathbf{B}}\right)


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On munit le plan d’un repère quelconque (O ; I , J)(\text{O ; I , J}). On considère les points A(1;2);B(2;3) \text{A}(-1\:;-2) ; \text{B}(-2\:; 3) et C(4;1).\text{C}(4\:; 1). On cherche à déterminer les coordonnées du point K,\text{K} , milieu du segment [AB][\mathrm{AB}] et du point L,\text{L} , milieu de [BC].[\mathrm{BC}].
Repérage et configuration dans le plan
Dans une classe de seconde, Léo, Mélissa et Aïcha proposent les algorithmes de calculs suivants, réalisés avec des outils numériques différents.
  • Algorithme 1 : Léo a utilisé un tableur en écrivant, dans la cellule F2, la formule : =(D2+E2)/2.=(\mathrm{D} 2+\mathrm{E} 2) / 2.
    Repérage et configuration dans le plan
  • Algorithme 2 : Mélissa a utilisé Pyblock ci-dessous.
    Repérage et configuration dans le plan
  • Algorithme 3 : Aïcha a utilisé un programme en Python ci-après.
    def milieu (xA, yA, xB, yB):
    	xK = xA + xB / 2
      yK = yA + yB / 2
      return(xK, yK)
    

A
Le bon repère

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Bilan
Cochez les cases correctes dans le tableau ci-dessous

 Conservation dans le repère :  Non conservation dans le repère :
 L’orthogonalité
 L’alignement et le parallélisme
 Les milieux
 Les distances


1
Compléter l’encadré du repère 3 en reprenant le même modèle que les repères 1 et 2.


Objectif
Connaître différents repères du plan.


On considère les repères 1 et 2 définis par les cadres ci-dessous et le repère 3 défini par le graphique ci-après.

Repère 1
(OI)(OJ)(\mathrm{OI}) \perp(\mathrm{OJ})
OI=OJ\mathrm{OI}=\mathrm{OJ}

Repère 2
(OI)(OJ)(\mathrm{OI}) \perp(\mathrm{OJ})
OIOJ\mathrm{OI}\neq\mathrm{OJ}

Repère 3


Repérage et configuration dans le plan

2
En utilisant le repère 3, donner, sans justification, les coordonnées des points A ; B ; C ; D ; E ; F ; G\text{A ; B ; C ; D ; E ; F ; G} et R .\text{R .}


3
a) Reproduire la figure du repère 3 sans changer les coordonnées dans le repère 1 ci-dessous.
MAT2.5.activiteA


b) Reproduire la figure du repère 3 sans changer les coordonnées dans le repère 2 ci-dessous.

MAT2.5.activiteA-bis

4
En comparant les trois repères, répondre aux questions suivantes.
a) Que peut-on dire du point F?\text{F}\:? Du point R?\text{R}\:?

b) Que peut-on dire du quadrilatère ABCD?\text{ABCD}\:? Du triangle AEB?\text{AEB}\:?

c) Que peut-on dire des droites (AC)(\mathrm{AC}) et (EB)?(\mathrm{EB})\:?

d) Que peut-on dire des points F; G\text{F\:; G} et R?\text{R}\:?
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