Mathématiques 2de

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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
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Ch. 3
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Ch. 4
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Ch. 6
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Ch. 8
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Ch. 9
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Ch. 10
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Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
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Cahier d'algorithmique et de programmation
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Chapitre 5
Activités

Repérage et configuration dans le plan

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A
Le bon repère


Connaître différents repères du plan.

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On considère les repères 1 et 2 définis par les cadres ci‑dessous et le repère 3 défini par le graphique ci‑après.

Repère 1
(\mathrm{OI}) \perp(\mathrm{OJ})
\mathrm{OI}=\mathrm{OJ}

Repère 2
(\mathrm{OI}) \perp(\mathrm{OJ})
\mathrm{OI}\neq\mathrm{OJ}
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Repère 3

Repérage et configuration dans le plan
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1
Compléter l'encadré du repère 3 en reprenant le même modèle que les repères 1 et 2.

2
En utilisant le repère 3, donner, sans justification, les coordonnées des points \text{A ; B ; C ; D ; E ; F ; G} et \text{R .}


3
a) Reproduire la figure du repère 3 sans changer les coordonnées dans le repère 1 ci-dessous.
Le bon repère
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b) Reproduire la figure du repère 3 sans changer les coordonnées dans le repère 2 ci-dessous.

Le bon repère
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4
En comparant les trois repères, répondre aux questions suivantes.
a) Que peut-on dire du point \text{F}\:? Du point \text{R}\:?

b) Que peut-on dire du quadrilatère \text{ABCD}\:? Du triangle \text{AEB}\:?

c) Que peut-on dire des droites (\mathrm{AC}) et (\mathrm{EB})\:?

d) Que peut-on dire des points \text{F\:; G} et \text{R}\:?
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Bilan

Cochez les cases correctes dans le tableau ci‑dessous

 Conservation dans le repère : Non conservation dans le repère :
 L'orthogonalité
 L'alignement et le parallélisme
 Les milieux
 Les distances


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B
Le radar défectueux : calculs de distance


Découvrir la formule du calcul de distance.

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Deux avions de la compagnie Qatar Airways (\text{Q}) et de la compagnie Pegasus Airlines (\mathrm{P}) approchent de la tour de contrôle de l'aéroport d'Istanbul, en Turquie.
L'écran de contrôle de l'avion \text{Q} est défectueux : le cercle est centré sur la tour de contrôle, non visible, alors que le repère (\text{Q ; I , J}) est centré sur la position de l'avion.
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1
Reproduire le repère orthonormé (\text{Q ; I , J}) et placer les points \text{A , B} et \text{C} de coordonnées respectives (-5\:; 5),(-1\:;-3) et (4\:; 2). Tracer le triangle \text{ABC}.

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2
Construire la médiatrice de chacun des segments [\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}] et [\mathrm{AC}] . Que remarquez-vous ?


3
Déterminer graphiquement les coordonnées de \text{O}, point d'intersection des trois médiatrices.


4
a) Justifier l'égalité \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=5

b) Que représente le point \text{O} géométriquement ? Et par rapport au contexte ?


5
Pour mesurer la distance \text{OQ} , on introduit le point \text{H} projeté orthogonal du point \text{O} sur (\mathrm{QI}) .
a) Justifier que le point \text{H} a pour coordonnées (-1\:; 0).

b) Démontrer que \mathrm{QO}^{2}=\left(x_{\mathrm{O}}-x_{\mathrm{Q}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{O}}-y_{\mathrm{Q}}\right)^{2}

c) En déduire la distance \mathrm{QO}.

d) Calculer, de même, les distances \text{OP} et \text{QP}.


6
En déduire la distance réelle entre l'avion de la compagnie Pegasus Airlines et la tour de contrôle puis entre les deux avions sachant que la distance réelle entre l'avion de la compagnie Qatar Airways et la tour de contrôle est de 32 km.
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Bilan

Dans un repère orthonormé, les points \text{A} et \text{B} ont pour coordonnées respectives \left(x_{\mathrm{A}}\:; {y}_{\mathrm{A}}\right) et \left(x_{B}\:; y_{B}\right) . En déduire une formule pour calculer la distance \text{AB} .

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C
Algorithme et coordonnées du milieu d'un segment


Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment.

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On munit le plan d'un repère quelconque (\text{O ; I , J}). On considère les points \text{A}(-1\:;-2) ; \text{B}(-2\:; 3) et \text{C}(4\:; 1). On cherche à déterminer les coordonnées du point \text{K} , milieu du segment [\mathrm{AB}] et du point \text{L} , milieu de [\mathrm{BC}].

Repérage et configuration dans le plan
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Dans une classe de seconde, Léo, Mélissa et Aïcha proposent les algorithmes de calculs suivants, réalisés avec des outils numériques différents.
  • Algorithme 1 : Léo a utilisé un tableur en écrivant, dans la cellule F2, la formule : =(\mathrm{D} 2+\mathrm{E} 2) / 2.
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  • Algorithme 2 : Mélissa a utilisé Pyblock ci-dessous.
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  • Algorithme 3 : Aïcha a utilisé un programme en Python ci-après.
    def milieu (xA, yA, xB, yB):
    	xK = xA + xB / 2
      yK = yA + yB / 2
      return(xK, yK)
    
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1
Placer le point \text{K}, milieu du segment \text{[AB]}, et le point \text{L}, milieu du segment \text{[BC],} sur l'image du repère \text{(O ; I ,J).}

2
Compléter le tableau ci‑dessous.
 x_\text{A} y_\text{A} x_\text{B} y_\text{B} x_\text{K} y_\text{K}
 Algo 1
 Algo 2
 Algo 3

3
Parmi les trois algorithmes, lesquels permettent d'afficher les coordonnées du point \text{K}\:?


4
Les algorithmes de la question
3
fonctionnent-ils pour le point \text{L}\:?


5
En déduire l'algorithme qui convient.

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Bilan

Écrire les formules donnant les coordonnées du milieu \mathbf{K}\left(x_{\mathbf{K}}\:; {y}_{\mathbf{K}}\right) du segment [\mathbf{A B}] avec \mathbf{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; \boldsymbol{y}_{\mathrm{A}}\right) et \mathbf{B}\left(x_{\mathbf{B}} ; \boldsymbol{y}_{\mathbf{B}}\right)


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