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COURS 2


2
Distance dans un repère orthonormé




A
Distance entre deux points


Exemple

Dans un repère orthonormé, avec A(1;2)\mathrm{A}(-1\:; 2) et B(4;3), \text{B}(4\:; 3), on a :
AB=(xBxA)2+(yByA)2=(4(1))2+(32)2=25+1=26.\begin{aligned}\text{AB}&=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}\\&=\sqrt{(4-(-1))^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.\end{aligned}

DÉMONSTRATION

On traite le cas où xB>xAx_{\mathrm{B}}>x_{\mathrm{A}} et yB>yA.y_{\mathrm{B}}>y_{\mathrm{A}}.
On considère le point C\text{C} de coordonnées (xB;yA).\left(x_{\mathrm{B}} \: ; y_{\mathrm{A}}\right). Les axes du repère sont perpendiculaires donc le triangle ABC\text{ABC} est rectangle en C.\text{C} .
D’après le théorème de Pythagore :
AB2=AC2+BC2.\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}.
Or, AC=xCxA=xBxA\mathrm{AC}=x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}} et
BC=yByC=yByA\mathrm{BC}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{C}}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}} donc
AB2=(xBxA)2+(yByA)2.\mathrm{AB}^{2}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}.
AB\text{AB} étant une longueur, AB\text{AB} est un nombre positif donc
AB=(xBxA)2+(yByA)2.\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.
Les autres cas se traitent de manière similaire.

Remarque

On peut généraliser cette preuve pour les autres cas possibles :
xB>xAx_{\mathrm{B}}>x_{\mathrm{A}} et yB<xAy_{\mathrm{B}}\lt x_{\mathrm{A}}, etc.

Propriété

Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A\text{A} et B\text{B} de coordonnées respectives (xA;yA)\left(x_{\mathrm{A}}\:; y_{\mathrm{A}}\right) et (xB;yB)\left(x_{\mathrm{B}}\:; y_{\mathrm{B}}\right) est donnée par :
AB=(xBxA)2+(yByA)2.\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.
Distance entre deux points

B
Alignement de trois points


Propriété

Soient A , B\text{A , B} et C,\text{C} , trois points distincts du plan. Les points A , B\text{A , B} et C\text{C} sont alignés dans cet ordre si et seulement si AC=AB+BC.\mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}.

Remarque

Dans cet exemple, le point B\text{B} est le milieu du segment [AC][\mathrm{AC}] puisque les points A, B\text{A, B} et C\text{C} sont alignés et que AB=BC.\text{AB} = \text{BC} .

Exemple

Dans un repère orthonormé (O ; I , J),(\text{O ; I , J}), les points A(2;2),B(3;1)\text{A}(-2\:;-2), \text{B}(3\:; 1) et C(8;4)\text{C}(8\:; 4) sont-ils alignés ?

Alignement de trois points

Le repère étant orthonormé, on a :
AC=(8(2))2+(4(2))2=100+36=136=234\begin{aligned}\mathrm{AC}&=\sqrt{(8-(-2))^{2}+(4-(-2))^{2}}\\ &=\sqrt{100+36}\\ &=\sqrt{136}=2 \sqrt{34}\end{aligned}
AB=(3(2))2+(1(2))2=25+9=34\begin{aligned}\mathrm{AB}&=\sqrt{(3-(-2))^{2}+(1-(-2))^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\\\end{aligned}
BC=(83)2+(41)2=25+9=34\begin{aligned}\mathrm{BC}&=\sqrt{(8-3)^{2}+(4-1)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\end{aligned}
AC=AB+BC\mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC} donc les points A,B\text{A} , \text{B} et C\text{C} sont alignés dans cet ordre.

DÉMONSTRATION

D’après l’inégalité triangulaire, on a forcément ACAB+BC.\mathrm{AC} \leqslant \mathrm{AB}+\mathrm{BC}.
Si A , B\text{A , B} et C\text{C} sont alignés, alors le triangle ABC\text{ABC} est plat et AC=AB+BC.\text{AC} = \text{AB} + \text{BC}.
Réciproquement, si AC=AB+BC\text{AC} = \text{AB} + \text{BC} alors on obtient un triangle plat donc A , B\text{A , B} et C\text{C} sont alignés.

Application et méthode


Méthode

1. Vérifier que le repère est orthonormé.

2. Calculer MA2,MB2\mathrm{MA}^{2}, \mathrm{MB}^{2} et MC2\mathrm{MC}^{2} en utilisant les coordonnées des points.

3. En déduire les distances MA , MB\text{MA , MB} et MC.\text{MC}.

4. Conclure.


SOLUTION

Remarque : Comme on travaille sur des longueurs positives, il suffit de comparer les carrés.
Le repère (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) étant orthonormé, on a :
MA2=(xAxM)2+(yAyM)2=(21)2+(31)2=13;\mathrm{MA}^{2}=\left(x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{M}}\right)^{2}=(-2-1)^{2}+(3-1)^{2}=13\:;
MB2=(xBxM)2+(yByM)2=(31)2+(41)2=13;\mathrm{MB}^{2}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{M}}\right)^{2}=(3-1)^{2}+(4-1)^{2}=13\:;
MC2=(xCxM)2+(yCyM)2=(31)2+(21)2=13\mathrm{MC}^{2}=\left(x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{C}}-y_{\mathrm{M}}\right)^{2}=(3-1)^{2}+(-2-1)^{2}=13
MA2=MB2=MC2\mathrm{MA}^{2}=\mathrm{MB}^{2}=\mathrm{MC}^{2} donc MA=MB=MC\mathrm{MA}=\mathrm{MB}=\mathrm{MC} et les points A , B\text{A , B} et C\text{C} sont donc sur le cercle de centre M\text{M} et de rayon r=13r=\sqrt{13}

Pour s'entraîner : exercices 24, 25 et 26 p. 159

Énoncé

Dans un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}) du plan, on considère les points A , B , C \text{A , B , C }et M\text{M} de coordonnées respectives (2;3),(3;4),(3;2)(-2\:; 3),(3\:; 4),(3\:;-2) et (1;1).(1\:; 1).
Montrer que A , B\text{A , B} et C\text{C} appartiennent à un même cercle de centre M.\text{M}.

Application et méthode


SOLUTION

Dans le repère (A ; I , J)(\text{A ; I , J}), on relève les coordonnées des 6 points de la figure :
A(0;0),B(8;0),C(8;8),D(0;8),E(0;13)\mathrm{A}(0\:; 0), \mathrm{B}(8\:; 0), \mathrm{C}(8\:; 8), \mathrm{D}(0\:; 8), \mathrm{E}(0\:; 13) et F(21;0).\mathrm{F}(21\:; 0).
Le repère (A ; I , J)(\text{A ; I , J}) étant orthonormé, on a :
EF=(210)2+(013)2=610;\mathrm{EF}=\sqrt{(21-0)^{2}+(0-13)^{2}}=\sqrt{610}\:;
EC=(80)2+(813)2=89;\mathrm{EC}=\sqrt{(8-0)^{2}+(8-13)^{2}}=\sqrt{89}\:;
CF=(218)2+(08)2=233.\mathrm{CF}=\sqrt{(21-8)^{2}+(0-8)^{2}}=\sqrt{233}.
EF2(EC+CF)2\mathrm{EF}^{2} \neq(\mathrm{EC}+\mathrm{CF})^{2} donc EFEC+CF\mathrm{EF} \neq \mathrm{EC}+\mathrm{CF} donc les points E,C\text{E} , \text{C} et F\text{F} ne sont pas alignés.

Pour s'entraîner : exercices 28 p. 159 et 55 p. 164

Énoncé

Dans le repère orthonormé (A ; I , J)(\text{A ; I , J}), on considère la figure ci-dessous composée d’un carré ABCD\text{ABCD} et de deux points E\text{E} et F.\text{F} . Les points E , C\text{E , C} et F\text{F} sont-ils alignés ?

Alignement de trois points

Méthode

1. Vérifier que le repère est bien orthonormé.

2. Calculer les trois distances EF,EC\text{EF} , \text{EC} et CF\text{CF} avec la formule de la distance entre deux points.

3. Comparer la plus grande distance avec la somme des deux autres.

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