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TP / TICE 1


Mesurer la longueur d’une courbe




Pour aller plus loin


1. Calculer la longueur de la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle [0;1]:[0\:; 1]\::
f:xx2;g:xx3;h:xx.f : x \mapsto x^{2} \: ;\quad g : x \mapsto x^{3} \: ;\quad h : x \mapsto \sqrt{x}.

2. Que remarque-t-on au sujet de la longueur de la courbe de ff et de celle de la courbe de h?h\: ?




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Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère la courbe (Γ)(\Gamma) suivante, insérée dans le carré OABC.(Γ)\mathrm{OABC}.\:(\Gamma) représente la fonction x(x1)2x \mapsto(x-1)^{2} sur [0;1].[0\:; 1]. On place un point M\text{M} d’abscisse xMx_{\mathrm{M}} sur (Γ).(\Gamma).
Question préliminaire :
Comment peut-on évaluer la longueur L\text{L} de la courbe (Γ)?(\Gamma) ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère le programme écrit en Python ci-dessous, permettant d’obtenir une valeur approchée de la longueur L\text{L} de la courbe (Γ).(\Gamma).

from math import sqrt

def LongueurCourbe(n):
	p = 1/n
  xA = 0
  xB = xA + p
  L = 0
  for i in range(1, n+1):
  	yA = (xA - 1)**2
    yB = (xB - 1)**2
    L = L + ...
    xA = xA + p
    xB = xB + p
  return L
 

1. Que représentent la variable n,n, la variable L\text{L} et la variable p?p\:?

2. Expliquer l’instruction de la ligne 6.

3. Compléter l’instruction de la ligne 11 afin que le programme évalue la longueur de la courbe (Γ).(\Gamma).

4. Tester l’algorithme pour n=4,n=10,n=100n=4, n=10, n=100 et n=1000.n=1\:000.

5. En déduire une valeur approchée à 10210^{-2} près par excès de la longueur de la ligne brisée.



Mesurer la longueur d’une courbe
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. Ouvrir le logiciel GeoGebra et placer les points A(1;0),B(1;1)\mathrm{A}(1\: ; 0), \mathrm{B}(1\: ; 1) et C(0;1). \mathrm{C}(0\: ; 1). Tracer le carré OABC\text{OABC} et la courbe (Γ),(\Gamma), en tapant dans la barre de saisie l’instruction suivante :

Mesurer la longueur d’une courbe

2. a. Placer un point MM sur la courbe (Γ)(\Gamma) et observer la longueur CM\text{CM} et MA\text{MA} dans la fenêtre Algèbre.

Mesurer la longueur d’une courbe

b. Créer un nombre égal à CM+MA.\text{CM}+\text{MA} .

Mesurer la longueur d’une courbe

c. Déplacer le point M\text{M} et donner une première estimation de la longueur L.\text{L.}

3. Réitérer le processus en plaçant deux points, puis trois points, et ensuite dix points sur (Γ).(\Gamma).

4. En utilisant l’outil distance, déduire une valeur approchée à 10210^{-2} près par excès de la longueur de la ligne brisée.

MMesurer la longueur d’une courbe

GeoGebra


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Objectif

Approcher la longueur d’une courbe en utilisant une des deux méthodes.
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