Mesurer la longueur d'une courbe

Dans un repère orthonormé, on considère la courbe (\Gamma) suivante, insérée dans le carré \mathrm{OABC}.\:(\Gamma) représente la fonction x \mapsto(x-1)^{2} sur [0\:; 1]. On place un point \text{M} d'abscisse x_{\mathrm{M}} sur (\Gamma).

1. Ouvrir le logiciel GeoGebra et placer les points \mathrm{A}(1\: ; 0), \mathrm{B}(1\: ; 1) et \mathrm{C}(0\: ; 1). Tracer le carré \text{OABC} et la courbe (\Gamma), en tapant dans la barre de saisie l'instruction suivante :

2. a. Placer un point M sur la courbe (\Gamma) et observer la longueur \text{CM} et \text{MA} dans la fenêtre Algèbre.

b. Créer un nombre égal à \text{CM}+\text{MA} .

c. Déplacer le point \text{M} et donner une première estimation de la longueur \text{L.}

3. Réitérer le processus en plaçant deux points, puis trois points, et ensuite dix points sur (\Gamma).

4. En utilisant l'outil distance, déduire une valeur approchée à 10^{-2} près par excès de la longueur de la ligne brisée.

On considère le programme écrit en Python ci-dessous, permettant d'obtenir une valeur approchée de la longueur \text{L} de la courbe (\Gamma).

from math import sqrt

def LongueurCourbe(n):
	p = 1/n
  xA = 0
  xB = xA + p
  L = 0
  for i in range(1, n+1):
  	yA = (xA - 1)**2
    yB = (xB - 1)**2
    L = L + ...
    xA = xA + p
    xB = xB + p
  return L
 

1. Que représentent la variable n, la variable \text{L} et la variable p\:?

2. Expliquer l'instruction de la ligne 6.

3. Compléter l'instruction de la ligne 11 afin que le programme évalue la longueur de la courbe (\Gamma).

4. Tester l'algorithme pour n=4, n=10, n=100 et n=1\:000.

5. En déduire une valeur approchée à 10^{-2} près par excès de la longueur de la ligne brisée.

1. Calculer la longueur de la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle [0\:; 1]\::
f : x \mapsto x^{2} \: ;\quad g : x \mapsto x^{3} \: ;\quad h : x \mapsto \sqrt{x}.

2. Que remarque-t-on au sujet de la longueur de la courbe de f et de celle de la courbe de h\: ?