Ensembles de nombres

Certains nombres réels ne sont pas rationnels. Ex : $\pi \notin \mathbb{Q}$, $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} .$ On dit que ces nombres sont irrationnels.

DÉMONSTRATION

Raisonnons par l’absurde et supposons que $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}.$
Alors $\dfrac{1}{3}$ peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $n \in \N .$
Donc on a : $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}}$ c’est à dire $10^{n}=3 a.$
Or $3a$ est un multiple de $3$ donc $10^n$ doit également être un multiple de $3.$ La somme des chiffres de $10^n$ doit donc être un mutliple de $3.$ Comme cette somme vaut toujours $1$, c'est absurde. On en conclut donc que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Exemple

$5$ est un nombre entier naturel donc c’est aussi un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre réel ;
$-7$ est un nombre entier relatif ;
$0{,}356$ est un nombre décimal ;
$\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel ;
$\dfrac{-15}{3}$ est un nombre entier relatif ;
$\sqrt{0{,}01}$ est un nombre décimal.
$\sqrt{2}$ est un nombre réel qui n’est pas rationnel. On dit que $\sqrt{2}$ est irrationnel (voir exercice

128

p. 32).

Les symboles $\in$ et $\subset$ ne sont pas équivalents.

• $\N \subset \Z$ se lit « $\N$ est inclus dans $\Z$ » et indique que $\N$ est un sous-ensemble de $\Z .$
• $5 \in \Z$ se lit « $5$ appartient à $\Z$ » et indique que $5$ est un élément de $\Z .$

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VRAI / FAUX

[Raisonner.]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un entier relatif.

2. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un nombre décimal.

6

[Raisonner.]
Lesquels de ces nombres sont décimaux ?

1. $-5$

2. $\dfrac{5}{7}$

3. $\dfrac{3}{40}$

4. $\dfrac{40}{3}$

2

[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1. $\dfrac{1}{2}$

2. $\sqrt{5}$

3. $\dfrac{10-4}{3}$

4. $-\sqrt{16}$

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ALGO

[Calculer.]
On dit qu’un triangle rectangle est presque isocèle lorsque son hypoténuse est un nombre entier et que les côtés de son angle droit sont des nombres entiers consécutifs.

1. Montrer qu’un triangle dont les côtés mesurent $3$ ; $4$ et $5$ est un triangle rectangle presque isocèle.

2. Donner un algorithme permettant d’en trouver d’autres.

8

[Raisonner.]
Le professeur de mathématiques propose l’affirmation :
« Le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre rationnel. »
Josy répond : « Vrai, par exemple, $\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2 \in \mathbb{Q}$ ».
Marc répond : « Faux, par exemple,$\sqrt{5} \times \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ ».
Quel élève a raison ?

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[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre irrationnel.

3

[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$

2. $\sqrt{16}-\sqrt{25}$

3. $\dfrac{91}{7}$

4. $\dfrac{34}{2}-\sqrt{289}$

5

[Raisonner.]
Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, un nombre $x$ qui remplit les critères suivants.

1. $x \in \mathbb{Q}$ et $x \notin \mathbb{N}$

2. $x \in \mathbb{Q}$ et $x \notin \mathbb{Z}$

3. $x \in \mathbb{R}$ et $x \notin \mathbb{Q}$

4. $x \in \mathbb{Q}$ et $x \notin \mathbb{R}$

Pour tous les exercices de cette partie

Lorsqu’il faut donner le « plus petit ensemble », on choisira uniquement parmi les ensembles du cours : $\N$ ; $\Z$ ; $\mathbb{Q}$ et $\R .$

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VRAI / FAUX

[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre exemple.

1. La différence de deux nombres entiers naturels est un entier naturel.

2. Le quotient de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

3. Le quotient de deux nombres réels est un nombre rationnel.

4. Le produit d’un nombre rationnel par un nombre entier relatif est un nombre rationnel.

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DÉMO

[Raisonner.]
On considère un cercle dont le périmètre est rationnel. Prouver que son diamètre est nécessairement irrationnel.

1

[Représenter.]
1. Quelles sont les abscisses des points placés sur la droite numérique ci-dessous ?

2. Sur la droite numérique, placer les nombres suivants : $3$ ; $-1{,}5$ ; $\dfrac{5}{4}$ ; $\dfrac{-2}{5}$ ; $\sqrt{2}.$

4

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Soit $x \in \N .$ Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1. $2 x+1 \in \mathbb{N}$

2. $2 x+1 \in \mathbb{Q}$

3. $3 x-7 \in \mathbb{N}$

4. $\dfrac{x-6}{2} \in \mathbb{Z}$

5. $\dfrac{x+1}{\sqrt{2}} \in \mathbb{R}$

6. $\sqrt{x} \in \mathbb{Q}$

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[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre entier naturel.