Mathématiques 2de
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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Chapitre 0
Cours et exercices

Ensembles de nombres

Cours

Définition
  • L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble des entiers positifs ou nuls :
  • L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs :
  • L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme appartient à et appartient à en étant différent de
  • En particulier, l'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble des nombres rationnels qui peuvent s'écrire sous la forme et sont des nombres entiers relatifs.
  • L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points de la droite numérique, droite graduée munie d'un repère .
Exemple
est un nombre entier naturel donc c'est aussi un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre réel ;
est un nombre entier relatif ;
est un nombre décimal ;
est un nombre rationnel ;
est un nombre entier relatif ;
est un nombre décimal.
est un nombre réel qui n'est pas rationnel. On dit que est irrationnel (voir exercice ).
Propriété
Ensembles de nombres et leurs inclusions
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Les symboles et ne sont pas équivalents.
  • se lit « est inclus dans » et indique que est un sous-ensemble de
  • se lit « appartient à » et indique que est un élément de

Remarque

Certains nombres réels ne sont pas rationnels. Ex : , On dit que ces nombres sont irrationnels.
Propriété
Tout nombre réel est représenté par l'abscisse d'un point sur la droite numérique.

Droite des réels
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Vidéo explicative sur les ensembles de nombres

Propriété
Le nombre n'est pas un nombre décimal.

Logique


Un nombre est décimal lorsqu'il existe et tel que
Démonstration
Raisonnons par l'absurde et supposons que
Alors peut s'écrire sous la forme avec et
Donc on a : c'est à dire
Or est un multiple de donc doit également être un multiple de La somme des chiffres de doit donc être un mutliple de Comme cette somme vaut toujours , c'est absurde. On en conclut donc que n'est pas un nombre décimal.

Démonstration au programme

Exercices

Pour tous les exercices de cette partie

Lorsqu'il faut donner le « plus petit ensemble », on choisira uniquement parmi les ensembles du cours :  ;  ; et 
1
[Représenter.]
1. Quelles sont les abscisses des points placés sur la droite numérique ci-dessous ?
Ensembles de nombres
Le zoom est accessible dans la version Premium.


2. Sur la droite numérique, placer les nombres suivants :  ;  ;  ;  ;

Ensembles de nombres
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2
[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1.

2.

3.

4.
3
[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1.

2.

3.

4.
4
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Soit Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1.

2.

3.

4.

5.

6.
5
[Raisonner.]
Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, un nombre qui remplit les critères suivants.

1. et

2. et

3. et

4. et
6
[Raisonner.]
Lesquels de ces nombres sont décimaux ?

1.

2.

3.

4.
7
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre exemple.

1. La différence de deux nombres entiers naturels est un entier naturel.

2. Le quotient de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

3. Le quotient de deux nombres réels est un nombre rationnel.

4. Le produit d'un nombre rationnel par un nombre entier relatif est un nombre rationnel.
8
[Raisonner.]
Le professeur de mathématiques propose l'affirmation :
« Le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre rationnel. »
Josy répond : « Vrai, par exemple, ».
Marc répond : « Faux, par exemple, ».
Quel élève a raison ?
9
Démo
[Raisonner.]
On considère un cercle dont le périmètre est rationnel. Prouver que son diamètre est nécessairement irrationnel.
10
Algo
[Calculer.]
On dit qu'un triangle rectangle est presque isocèle lorsque son hypoténuse est un nombre entier et que les côtés de son angle droit sont des nombres entiers consécutifs.

1. Montrer qu'un triangle dont les côtés mesurent  ; et est un triangle rectangle presque isocèle.

2. Donner un algorithme permettant d'en trouver d'autres.

11
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un entier relatif.

2. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un nombre décimal.
12
[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre irrationnel.
13
[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre entier naturel.

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