Ensembles de nombres

• L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers positifs ou nuls : $0;1;2;...$
• L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : $...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...$
• L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ appartient à $\mathbb{Z}$ et $b$ appartient à $\mathbb{N}$ en étant différent de $0.$
• En particulier, l'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres rationnels qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ où $a$ et $n$ sont des nombres entiers relatifs.
• L'ensemble des nombres réels est l'ensemble $\mathbb{R}$ des abscisses des points de la droite numérique, droite graduée munie d'un repère $(\text{O};\text{I})$.

$5$ est un nombre entier naturel donc c'est aussi un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre réel ;
$-7$ est un nombre entier relatif ;
$0,356$ est un nombre décimal ;
$\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel ;
$\frac{-15}{3}$ est un nombre entier relatif ;
$\sqrt{0,01}$ est un nombre décimal.
$\sqrt{2}$ est un nombre réel qui n'est pas rationnel. On dit que $\sqrt{2}$ est irrationnel (voir exercice

128

p. 32

).

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

Les symboles $\in$ et $\subset$ ne sont pas équivalents.

• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ se lit « $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ » et indique que $\mathbb{N}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{Z}.$
• $5\in \mathbb{Z}$ se lit « $5$ appartient à $\mathbb{Z}$ » et indique que $5$ est un élément de $\mathbb{Z}.$

Certains nombres réels ne sont pas rationnels. Ex : $\pi \notin \mathbb{Q}$, $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$ On dit que ces nombres sont irrationnels.

Tout nombre réel est représenté par l'abscisse d'un point sur la droite numérique.

Le nombre $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

Un nombre $x$ est décimal lorsqu'il existe $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$ tel que $x=\frac{a}{10^n}.$

Raisonnons par l'absurde et supposons que $\frac{1}{3}\in \mathbb{D}.$
Alors $\frac{1}{3}$ peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}.$
Donc on a : $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$ c'est à dire $10^n=3a.$
Or $3a$ est un multiple de $3$ donc $10^n$ doit également être un multiple de $3.$ La somme des chiffres de $10^n$ doit donc être un mutliple de $3.$ Comme cette somme vaut toujours $1$, c'est absurde. On en conclut donc que $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

1

[Représenter.]
1. Quelles sont les abscisses des points placés sur la droite numérique ci-dessous ?

2. Sur la droite numérique, placer les nombres suivants : $3$ ; $-1,5$ ; $\frac{5}{4}$ ; $\frac{-2}{5}$ ; $\sqrt{2}.$

2

[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1. $\frac{1}{2}$

2. $\sqrt{5}$

3. $\frac{10-4}{3}$

4. $-\sqrt{16}$

3

[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$

2. $\sqrt{16}-\sqrt{25}$

3. $\frac{91}{7}$

4. $\frac{34}{2}-\sqrt{289}$

4

Vrai / Faux

[Communiquer.]
Soit $x\in \mathbb{N}.$ Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1. $2x+1\in \mathbb{N}$

2. $2x+1\in \mathbb{Q}$

3. $3x-7\in \mathbb{N}$

4. $\frac{x-6}{2}\in \mathbb{Z}$

5. $\frac{x+1}{\sqrt{2}}\in \mathbb{R}$

6. $\sqrt{x}\in \mathbb{Q}$

5

[Raisonner.]
Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, un nombre $x$ qui remplit les critères suivants.

1. $x\in \mathbb{Q}$ et $x\notin \mathbb{N}$

2. $x\in \mathbb{Q}$ et $x\notin \mathbb{Z}$

3. $x\in \mathbb{R}$ et $x\notin \mathbb{Q}$

4. $x\in \mathbb{Q}$ et $x\notin \mathbb{R}$

6

[Raisonner.]
Lesquels de ces nombres sont décimaux ?

1. $-5$

2. $\frac{5}{7}$

3. $\frac{3}{40}$

4. $\frac{40}{3}$

7

Vrai / Faux

[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre exemple.

1. La différence de deux nombres entiers naturels est un entier naturel.

2. Le quotient de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

3. Le quotient de deux nombres réels est un nombre rationnel.

4. Le produit d'un nombre rationnel par un nombre entier relatif est un nombre rationnel.

8

[Raisonner.]
Le professeur de mathématiques propose l'affirmation :
« Le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre rationnel. »
Josy répond : « Vrai, par exemple, $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\in \mathbb{Q}$ ».
Marc répond : « Faux, par exemple,$\sqrt{5}\times \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ ».
Quel élève a raison ?

9

Démo

[Raisonner.]
On considère un cercle dont le périmètre est rationnel. Prouver que son diamètre est nécessairement irrationnel.

11

Vrai / Faux

[Raisonner.]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un entier relatif.

2. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un nombre décimal.

12

[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre irrationnel.

13

[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre entier naturel.