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Ensemble de nombres
P.14-15




Ensembles de nombres




Cours


Définition
  • L’ensemble des entiers naturels est l’ensemble des entiers positifs ou nuls :
  • L’ensemble des entiers relatifs est l’ensemble des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs :
  • L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme appartient à et appartient à en étant différent de
  • En particulier, l’ensemble des nombres décimaux est l’ensemble des nombres rationnels de la forme
  • L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des nombres tels que

Exemple

est un nombre entier naturel donc c’est aussi un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre réel ;
est un nombre entier relatif ;
est un nombre décimal ;
est un nombre rationnel ;
est un nombre entier relatif ;
est un nombre décimal.
est un nombre réel qui n’est pas rationnel. On dit que est irrationnel (voir exercice
128
p. 32
).

Propriété (admise)

Remarque

Certains nombres réels ne sont pas rationnels. Ex : , On dit que ces nombres sont irrationnels.


Ensembles de nombres et leurs inclusions

Vidéo explicative sur les ensembles de nombres

Remarque

Les symboles et ne sont pas équivalents.
  • se lit « est inclus dans » et indique que est un sous-ensemble de
  • se lit « appartient à » et indique que est un élément de

Propriété (admise)

Tout nombre réel est représenté par l’abscisse d’un point sur la droite numérique.

Droite des réels

Propriété

Le nombre n’est pas un nombre décimal.

Logique

Un nombre est décimal lorsqu’il existe et tel que

DÉMONSTRATION

Raisonnons par l’absurde et supposons que
Alors peut s’écrire sous la forme avec et
Donc on a : c’est à dire
Or est un multiple de donc doit également être un multiple de La somme des chiffres de doit donc être un mutliple de Comme cette somme vaut toujours , c'est absurde. On en conclut donc que n’est pas un nombre décimal.

Démonstration au programme

Exercices


Pour tous les exercices de cette partie

Lorsqu’il faut donner le « plus petit ensemble », on choisira uniquement parmi les ensembles du cours :  ;  ; et 

1
[Représenter.]
1. Quelles sont les abscisses des points placés sur la droite numérique ci-dessous ?
Ensembles de nombres


2. Sur la droite numérique, placer les nombres suivants :  ;  ;  ;  ;

Ensembles de nombres
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2
[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1.

2.

3.

4.
Voir la correction

3
[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1.

2.

3.

4.
Voir la correction

4
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Soit Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1.

2.

3.

4.

5.

6.
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5
[Raisonner.]
Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, un nombre qui remplit les critères suivants.

1. et

2. et

3. et

4. et
Voir la correction

6
[Raisonner.]
Lesquels de ces nombres sont décimaux ?

1.

2.

3.

4.
Voir la correction

7
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre exemple.

1. La différence de deux nombres entiers naturels est un entier naturel.

2. Le quotient de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

3. Le quotient de deux nombres réels est un nombre rationnel.

4. Le produit d’un nombre rationnel par un nombre entier relatif est un nombre rationnel.
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8
[Raisonner.]
Le professeur de mathématiques propose l’affirmation :
« Le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre rationnel. »
Josy répond : « Vrai, par exemple, ».
Marc répond : « Faux, par exemple, ».
Quel élève a raison ?
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9
DÉMO
[Raisonner.]
On considère un cercle dont le périmètre est rationnel. Prouver que son diamètre est nécessairement irrationnel.
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10
ALGO
[Calculer.]
On dit qu’un triangle rectangle est presque isocèle lorsque son hypoténuse est un nombre entier et que les côtés de son angle droit sont des nombres entiers consécutifs.

1. Montrer qu’un triangle dont les côtés mesurent  ; et est un triangle rectangle presque isocèle.

2. Donner un algorithme permettant d’en trouver d’autres.


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11
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un entier relatif.

2. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un nombre décimal.
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12
[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre irrationnel.
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13
[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre entier naturel.
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