Ensembles de nombres




Cours

Vidéo explicative sur les ensembles de nombres



Exemple

55 est un nombre entier naturel donc c’est aussi un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre réel ;
7-7 est un nombre entier relatif ;
0,3560{,}356 est un nombre décimal ;
13\dfrac{1}{3} est un nombre rationnel ;
153\dfrac{-15}{3} est un nombre entier relatif ;
0,01\sqrt{0{,}01} est un nombre décimal.
2\sqrt{2} est un nombre réel qui n’est pas rationnel. On dit que 2\sqrt{2} est irrationnel (voir exercice
128
p. 32
).

Propriété (admise)

Tout nombre réel est représenté par l’abscisse d’un point sur la droite numérique.

Droite des réels

Propriété (admise)

NZDQR\mathbb{N} \subset \Z \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Définition
  • L’ensemble des entiers naturels est l’ensemble N\N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;...0\: ; 1\: ; 2\: ; ...
  • L’ensemble des entiers relatifs est l’ensemble Z\Z des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : ...;3;2;1;0;1;2;3;......\: ; -3\: ; -2\: ; -1\: ; 0\: ; 1\: ; 2\: ; 3\: ;\: ...
  • L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble Q\mathbb{Q} des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme ab\dfrac{a}{b}aa appartient à Z\Z et bb appartient à N\N en étant différent de 0.0.
  • En particulier, l’ensemble des nombres décimaux est l’ensemble D\mathbb{D} des nombres rationnels de la forme a10n\dfrac{a}{10^n}nN.n \in \N .
  • L’ensemble des nombres réels est l’ensemble R\R des nombres xx tels que x20.x^2 \geqslant 0 .

DÉMONSTRATION

Raisonnons par l’absurde et supposons que 13D.\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}.
Alors 13\dfrac{1}{3} peut s’écrire sous la forme a10n\dfrac{a}{10^n} avec nN.n \in \N .
Donc on a : 13=a10n\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}} c’est à dire 10n=3a.10^{n}=3 a.
Or 3a3a est un multiple de 33 donc 10n10^n doit également être un multiple de 33 ; autrement dit, 33 doit être un diviseur de 1010 , ce qui est absurde.
On en conclut donc que 13\dfrac{1}{3} n’est pas un nombre décimal.

Remarque

Les symboles \in et \subset ne sont pas équivalents.
  • NZ\N \subset \Z se lit « N\N est inclus dans Z\Z » et indique que N\N est un sous-ensemble de Z.\Z .
  • 5Z5 \in \Z se lit « 55 appartient à Z\Z » et indique que 55 est un élément de Z.\Z .

Démonstration au programme




Ensembles de nombres et leurs inclusions

Propriété

Le nombre 13\dfrac{1}{3} n’est pas un nombre décimal.

Remarque

Certains nombres réels ne sont pas rationnels. Ex : πQ\pi \notin \mathbb{Q}, 2Q.\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} . On dit que ces nombres sont irrationnels.

Logique

Un nombre xx est décimal lorsqu’il existe aZa \in \Z et nNn \in \N tel que x=a10n.x =\dfrac{a}{10^n}.

Exercices


2
[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1. 12\dfrac{1}{2}

2. 5\sqrt{5}

3. 1043\dfrac{10-4}{3}

4. 16-\sqrt{16}

10
ALGO
[Calculer.]
On dit qu’un triangle rectangle est presque isocèle lorsque son hypoténuse est un nombre entier et que les côtés de son angle droit sont des nombres entiers consécutifs.

1. Montrer qu’un triangle dont les côtés mesurent 33 ; 44 et 55 est un triangle rectangle presque isocèle.

2. Donner un algorithme permettant d’en trouver d’autres.



5
[Raisonner.]
Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, le nombre xx qui remplit les critères suivants.

1. xQx \in \mathbb{Q} et xNx \notin \mathbb{N}

2. xQx \in \mathbb{Q} et xZx \notin \mathbb{Z}

3. xRx \in \mathbb{R} et xQx \notin \mathbb{Q}

4. xQx \in \mathbb{Q} et xRx \notin \mathbb{R}

6
[Raisonner.]
Lesquels de ces nombres sont décimaux ?

1. 5-5

2. 57\dfrac{5}{7}

3. 340\dfrac{3}{40}

4. 403\dfrac{40}{3}

4
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Soit xN.x \in \N . Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1. 2x+1N2 x+1 \in \mathbb{N}

2. 2x+1Q2 x+1 \in \mathbb{Q}

3. 3x7N3 x-7 \in \mathbb{N}

4. x62Z\dfrac{x-6}{2} \in \mathbb{Z}

5. x+12R\dfrac{x+1}{\sqrt{2}} \in \mathbb{R}

6. xQ\sqrt{x} \in \mathbb{Q}

9
DÉMO
[Raisonner.]
On considère un cercle dont le périmètre est rationnel. Prouver que son diamètre est nécessairement irrationnel.

8
[Raisonner.]
Le professeur de mathématiques propose l’affirmation :
« Le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre rationnel. »
Josy répond : « Vrai, par exemple, 2×2=2Q\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2 \in \mathbb{Q} ».
Marc répond : « Faux, par exemple,5×2Q\sqrt{5} \times \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} ».
Quel élève a raison ?

13
[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre entier naturel.

3
[Raisonner.]
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ?

1. 12+13+16\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}

2. 1625\sqrt{16}-\sqrt{25}

3. 917\dfrac{91}{7}

4. 342289\dfrac{34}{2}-\sqrt{289}

1
[Représenter.]
1. Quelles sont les abscisses des points placés sur la droite numérique ci-dessous ?
Ensembles de nombres


2. Sur la droite numérique, placer les nombres suivants : 33 ; 1,5-1{,}5 ; 54\dfrac{5}{4} ; 25\dfrac{-2}{5} ; 2.\sqrt{2}.

Ensembles de nombres

7
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est toujours vraie. Si elle est fausse, donner un contre exemple.

1. La différence de deux nombres entiers naturels est un entier naturel.

2. Le quotient de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

3. Le quotient de deux nombres réels est un nombre rationnel.

4. Le produit d’un nombre rationnel par un nombre entier relatif est un nombre rationnel.

12
[Chercher.]
Trouver deux nombres irrationnels différents dont le produit est un nombre irrationnel.

11
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un entier relatif.

2. Le quotient de deux nombres premiers distincts peut être un nombre décimal.

Pour tous les exercices de cette partie

Lorsqu’il faut donner le « plus petit ensemble », on choisira uniquement parmi les ensembles du cours : N\N ; Z\Z ; Q\mathbb{Q} et R.\R .
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