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Intervalles et valeurs absolue
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Intervalles et valeur absolue




Cours


Définitions
Soient et deux nombres réels.
  • On appelle intervalle fermé l’ensemble des nombres réels tels que
  • On appelle intervalle ouvert l’ensemble des nombres réels tels que
  • On définit de même les intervalles et
  • On note l’ensemble des nombres réels tels que
  • On note l’ensemble des nombres réels tels que
  • On définit de même et

Notation

  • Le symbole se lit « plus l’infini ».
  • Le symbole se lit « moins l’infini ».

Définitions
Soient et deux intervalles.
  • L’intersection de et est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
  • La réunion de et est l’ensemble des réels qui appartiennent à ou à

Notation

  • L’intersection de deux intervalles et se note
  • La réunion de deux intervalles et se note

Exemples

  • La réunion des intervalles et est l’intervalle On note
  • L’intersection des intervalles et est l’intervalle On note
On peut représenter graphiquement un intervalle sur une droite graduée :

Intervalle Représentation graphique
 
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique
 
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique

On a dessiné des crochets au bord de l’intervalle pour indiquer s’il est ouvert ou fermé.

Définitions

  • On appelle valeur absolue d’un nombre réel la distance entre et On la note
  • Soient et deux nombres réels. On appelle distance entre et le nombre

Propriété (admise)

Soit On a

Remarque

Si et sont deux réels avec

Exemples

  • et

Exercices


14
[Représenter.]
Recopier et compléter le tableau comme dans l’exemple suivant.

Inégalité Intervalle Représentation graphique
 
Représentation graphique d'intervalle


Inégalité Intervalle Représentation graphique
 
Représentation graphique d'intervalle
Représentation graphique d'intervalle
Représentation graphique d'intervalle
 
Représentation graphique d'intervalle
 
Représentation graphique d'intervalle
Représentation graphique d'intervalle
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15
[Raisonner.]
Compléter avec ou

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.
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16
[Calculer.]
Recopier et compléter comme dans l’exemple puis écrire sous forme mathématique en utilisant le symbole
Exemple :
si et seulement si


1. si et seulement si

2. si et seulement si

3. si et seulement si

4. si et seulement si

5. si et seulement si

6. si et seulement si
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17
[Représenter.]
On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points tels que :
et

1. Représenter graphiquement cet ensemble.

Lancer le module Geogebra
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2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points tels que :
4 et
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18
PYTHON
[Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle

def DansIntervalle(a, b, x):
	if x > a and x < b:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle puis à l’intervalle et enfin à l’intervalle
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19
PYTHON
[Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle

def DansIntervalleBis(a, x):
	if a < x:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle puis à l’intervalle et enfin à l’intervalle
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Anecdote

Le symbole pour représenter l’infini a été introduit par John Wallis en 1655.

20
[Représenter.]
Chaque assertion suivante est supposée vraie. Dans chaque cas, écrire, sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles, le plus petit ensemble auquel appartient

1. ou

2. ou

3. ou

4. ou

5. ou

6. ou
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21
[Raisonner.]
Écrire chaque condition sous forme d’intersection et trouver l’ensemble des réels appartenant à cette intersection.

1. et

2. et

3. et

4. et
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22
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?











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23
[Calculer.]
Donner la valeur absolue des nombres suivants.

1.

2.

3.

4.

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24
[Calculer.]
Calculer les valeurs absolues suivantes.

1.

2.

3.

4.

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25
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner la distance entre les deux nombres réels donnés.

1. et

2. et

3. et

4. et

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26
[Raisonner.]
Pour chacune des inégalités suivantes, justifier si elle est vérifiée par le nombre ou non.

1.

2.

3.

4.

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27
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes.

1.

2.

3.

4.

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28
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Pour tout ,

2. Pour tout ,

3. Pour tout ,

4. Pour tout ,

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29
[Calculer.]
Quel est le plus grand intervalle auquel appartient dans chacun des cas suivants ?

1.

2.

3.

4.

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30
[Calculer.]
Donner un encadrement des nombres suivants à 10-3 près.

1.

2.

3.

4.

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31
[Calculer.]
Donner un encadrement d’amplitude 10-2 des nombres suivants.

1.

2.

3.

4.

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32
[Modéliser.]
Dans la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de 32 ans pour entrer. Dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus 40 ans.

1. Dans quel intervalle d’âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?

2. Dans quel ensemble doit se situer l’âge d’une personne qui veut pouvoir entrer dans l’une des deux boîtes de nuit ?

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33
[Modéliser.]
L’Insee estime qu’un couple avec deux enfants appartient à la classe moyenne quand les revenus du foyer sont situés dans l’intervalle
M. Martin gagne 2 731 € et Mme Martin gagne 2 732 €. Ils ont deux enfants qui ne rapportent aucun revenu. La famille appartient-elle à la classe moyenne ?

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