Mathématiques 2de
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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Chapitre 0
Cours et exercices

Intervalles et valeur absolue

Cours

Définition
Soient et deux nombres réels.
  • On appelle intervalle fermé l'ensemble des nombres réels tels que
  • On appelle intervalle ouvert l'ensemble des nombres réels tels que
  • On définit de même les intervalles et
  • On note l'ensemble des nombres réels tels que
  • On note l'ensemble des nombres réels tels que
  • On définit de même et

Notation

  • Le symbole se lit « plus l'infini ».
  • Le symbole se lit « moins l'infini ».
Définition
Soient et deux intervalles.
  • L'intersection de et est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
  • La réunion de et est l'ensemble des réels qui appartiennent à ou à

Notation

  • L'intersection de deux intervalles et se note
  • La réunion de deux intervalles et se note
Exemple
  • La réunion des intervalles et est l'intervalle On note
  • L'intersection des intervalles et est l'intervalle On note
On peut représenter graphiquement un intervalle sur une droite graduée :

IntervalleReprésentation graphique
 
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.
 
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.

On a dessiné des crochets au bord de l'intervalle pour indiquer s'il est ouvert ou fermé.
Définition
  • On appelle valeur absolue d'un nombre réel la distance entre et On la note
  • Soient et deux nombres réels. On appelle distance entre et le nombre
Définition
Soit On a

Remarque

Si et sont deux réels avec
Exemple
  • et

Exercices

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[Représenter.]
Recopier et compléter le tableau comme dans l'exemple suivant.

InégalitéIntervalleReprésentation graphique
 
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.


InégalitéIntervalleReprésentation graphique
 
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
 
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Représentation graphique d'intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
15
[Raisonner.]
Compléter avec ou

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.
16
[Calculer.]
Recopier et compléter comme dans l'exemple puis écrire sous forme mathématique en utilisant le symbole
Exemple :
si et seulement si


1. si et seulement si

2. si et seulement si

3. si et seulement si

4. si et seulement si

5. si et seulement si

6. si et seulement si
17
[Représenter.]
On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points tels que :
et

1. Représenter graphiquement cet ensemble.
2. Reprendre la question précédente avec l'ensemble des points tels que :
4 et
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18
Python
[Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.

def DansIntervalle(a, b, x):
	if x > a and x < b:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu'il teste si un nombre appartient à l'intervalle puis à l'intervalle et enfin à l'intervalle
19
Python
[Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle
Le zoom est accessible dans la version Premium.

def DansIntervalleBis(a, x):
	if a < x:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu'il teste si un nombre appartient à l'intervalle puis à l'intervalle et enfin à l'intervalle
20
[Représenter.]
Chaque assertion suivante est supposée vraie. Dans chaque cas, écrire, sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles, le plus petit ensemble auquel appartient

1. ou

2. ou

3. ou

4. ou

5. ou

6. ou
21
[Raisonner.]
Écrire chaque condition sous forme d'intersection et trouver l'ensemble des réels appartenant à cette intersection.

1. et

2. et

3. et

4. et

Anecdote


Le symbole pour représenter l'infini a été introduit par John Wallis en 1655.
22
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?











23
[Calculer.]
Donner la valeur absolue des nombres suivants.

1.

2.

3.

4.

24
[Calculer.]
Calculer les valeurs absolues suivantes.

1.

2.

3.

4.

25
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner la distance entre les deux nombres réels donnés.

1. et

2. et

3. et

4. et

26
[Raisonner.]
Pour chacune des inégalités suivantes, justifier si elle est vérifiée par le nombre ou non.

1.

2.

3.

4.

27
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes.

1.

2.

3.

4.

28
Vrai / Faux
[Chercher.]
Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Pour tout ,

2. Pour tout ,

3. Pour tout ,

4. Pour tout ,

29
[Calculer.]
Quel est le plus grand intervalle auquel appartient dans chacun des cas suivants ?

1.

2.

3.

4.

30
[Calculer.]
Donner un encadrement des nombres suivants à 10-3 près.

1.

2.

3.

4.

31
[Calculer.]
Donner un encadrement d'amplitude 10-2 des nombres suivants.

1.

2.

3.

4.

32
[Modéliser.]
Dans la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de 32 ans pour entrer. Dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus 40 ans.

1. Dans quel intervalle d'âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?

2. Dans quel ensemble doit se situer l'âge d'une personne qui veut pouvoir entrer dans l'une des deux boîtes de nuit ?

33
[Modéliser.]
L'Insee estime qu'un couple avec deux enfants appartient à la classe moyenne quand les revenus du foyer sont situés dans l'intervalle
M. Martin gagne 2 731 € et Mme Martin gagne 2 732 €. Ils ont deux enfants qui ne rapportent aucun revenu. La famille appartient-elle à la classe moyenne ?

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