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Intervalles et valeurs absolue
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Intervalles et valeur absolue




Cours


Définitions
Soient aa et bb deux nombres réels.
  • On appelle intervalle fermé [a;b][a\,; b] l’ensemble des nombres réels xx tels que axb.a \leqslant x \leqslant b.
  • On appelle intervalle ouvert ]a;b[]a\,; b[ l’ensemble des nombres réels xx tels que a<x<b.a \lt x \lt b .
  • On définit de même les intervalles [a;b[[a\,; b[ et ]a;b].]a\,; b] .
  • On note [a;+[[a\,; +\infty[ l’ensemble des nombres réels xx tels que xa.x \geqslant a .
  • On note ]a;+[]a\,; +\infty[ l’ensemble des nombres réels xx tels que x>a.x \gt a .
  • On définit de même ];a]]-\infty \,; a] et ];a[.]-\infty \,; a[ .

Notation

  • Le symbole ++\infty se lit « plus l’infini ».
  • Le symbole -\infty se lit « moins l’infini ».

Définitions
Soient I\text{I} et J\text{J} deux intervalles.
  • L’intersection de I\text{I} et J\text{J} est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
  • La réunion de I\text{I} et J\text{J} est l’ensemble des réels qui appartiennent à I\text{I} ou à J.\text{J}.

Notation

  • L’intersection de deux intervalles I\text{I} et J\text{J} se note IJ.\text{I} \cap \text{J}.
  • La réunion de deux intervalles I\text{I} et J\text{J} se note IJ.\text{I} \cup \text{J}.

Exemples

  • La réunion des intervalles [3;7][3\,; 7] et [4;10][4\,; 10] est l’intervalle [3;10].[3\,; 10]. On note [3;7][4;10].[3\,; 7] \cup [4\,; 10].
  • L’intersection des intervalles [3;7][3\,; 7] et [4;10][4\,; 10] est l’intervalle [4;7].[4\,; 7] . On note [3;7][4;10].[3\,; 7] \cap [4\,; 10] .
On peut représenter graphiquement un intervalle sur une droite graduée :

Intervalle Représentation graphique
 [3;4][-3\,;4]
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique
 ]2;7[]2\,;7[
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique

On a dessiné des crochets au bord de l’intervalle pour indiquer s’il est ouvert ou fermé.

Définitions

  • On appelle valeur absolue d’un nombre réel xx la distance entre xx et 0.0 . On la note x.|x|.
  • Soient aa et bb deux nombres réels. On appelle distance entre aa et bb le nombre ab.|a-b|.

Propriété (admise)

Soit xR.x \in \R. On a x={x si x0x si x<0.|x|=\left\{\begin{array}{l}{x \quad \text { si } x \geqslant 0} \\ {-x \text { si } x\lt 0}\end{array}\right. .

Remarque

Si aa et rr sont deux réels avec r>0:r > 0\::
x[ar;a+r]xar.x \in[a-r\,; a+r] \Leftrightarrow |x-a| \leqslant r.

Exemples

  • 5=5|5|=5 et 2=2|-2|=2
  • x[2;4]x[13;1+3]x13x \in[-2\,; 4] \Leftrightarrow x \in[1-3\,; 1+3] \Leftrightarrow|x-1| \leqslant 3

Exercices


14
[Représenter.]
Recopier et compléter le tableau comme dans l’exemple suivant.

Inégalité Intervalle Représentation graphique
 2x42\leqslant x \leqslant 4 x[2;4]x\in[2\, ;4]
Représentation graphique d'intervalle


Inégalité Intervalle Représentation graphique
 0<x50\lt x \leqslant 5 x]0;5]x\in]0\, ;5]
Représentation graphique d'intervalle
x]3;7[x\in]-3\, ;7[
Représentation graphique d'intervalle
x];4]x\in]-\infty\, ;4]
Représentation graphique d'intervalle
 3x3 \leqslant x
Représentation graphique d'intervalle
 
Représentation graphique d'intervalle
Représentation graphique d'intervalle
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15
[Raisonner.]
Compléter avec \in ou .\notin.

1. 22 ]1;3[] 1\, ; 3[

2. 00 [1;2[[-1\, ; 2[

3. 13\dfrac{1}{3} [0;3][0\, ; 3]

4. 22 ]2;2[]-2\, ; 2[

5. 2\sqrt{2} [3;1][-3\, ; 1]

6. 00 ]0;+[] 0\, ;+\infty[

7. 100-100 ];1[]-\infty \, ; 1[

8. 110\dfrac{1}{10} [0,01;0,2[[0{,}01\, ; 0{,}2[
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16
[Calculer.]
Recopier et compléter comme dans l’exemple puis écrire sous forme mathématique en utilisant le symbole .\Leftrightarrow.
Exemple :
x[1;2]x \in [1\, ;2] si et seulement si 3x[3;6]3x \in [3\, ;6]
x[1;2]3x[3;6]x \in [1\, ;2] \Leftrightarrow 3x \in [3\, ;6]

1. x[7;20]x \in [7\, ; 20 ] si et seulement si 7x...7x \in ...

2. x]1;3]x \in ]-1\, ; 3 ] si et seulement si 7x...7-x \in ...

3. x[5;7]x \in [-5\, ; 7 ] si et seulement si 2x+3...2x+3 \in ...

4. x...x \in ... si et seulement si 2x[1;+[-2x \in [1\, ; +\infty [

5. x...x \in ... si et seulement si 3x];6]3-x \in ]-\infty\, ; 6]

6. x...x \in ... si et seulement si 7+2x[1;1]7+2x \in [-1\, ; 1]
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17
[Représenter.]
On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x\, ; y) tels que :
1<x<41 \lt x \lt 4 et 5y6.5 \leqslant y \leqslant 6 .

1. Représenter graphiquement cet ensemble.

Lancer le module Geogebra
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2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points N(x;y)\text{N}(x\, ; y) tels que :
12x+11 \leqslant 2x + 1 \leqslant 4 et 5<25y<6.5 \lt 2 - 5y \lt 6 .
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18
PYTHON
[Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle

def DansIntervalle(a, b, x):
	if x > a and x < b:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a;b][a\, ; b] puis à l’intervalle ]a;b]]a\, ; b] et enfin à l’intervalle [a;b[.[a\, ; b[ .
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19
PYTHON
[Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle

def DansIntervalleBis(a, x):
	if a < x:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a;+[[a\, ; +\infty[ puis à l’intervalle ];a]]-\infty\, ; a] et enfin à l’intervalle ];a[.]-\infty\, ; a[ .
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Anecdote

Le symbole \infty pour représenter l’infini a été introduit par John Wallis en 1655.

20
[Représenter.]
Chaque assertion suivante est supposée vraie. Dans chaque cas, écrire, sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles, le plus petit ensemble auquel appartient x.x .

1. x3x \geqslant 3 ou x0x \leqslant 0

2. x6>0x-6 > 0 ou 5x55x \leqslant 5

3. x2x \leqslant 2 ou 4x20-4x\leqslant -20

4. x3x \geqslant 3 ou 3x123x \geqslant 12

5. 7x437x-4 \geqslant 3 ou 1x>01-x>0

6. 1x>31-x >-3 ou 2x+172x+1\leqslant 7
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21
[Raisonner.]
Écrire chaque condition sous forme d’intersection et trouver l’ensemble des réels aa appartenant à cette intersection.

1. a<3a \lt 3 et a>6a > -6

2. a5a \geqslant -5 et a7-a \geqslant -7

3. 2a+1<32a+1 \lt 3 et 3a103a-1\geqslant 0

4. 3(2a)<33(2-a)\lt 3 et a12a-1 \geqslant 2
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22
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?

1. 2 2

2. 383 3-\dfrac{8}{3}

3. 259π 25-9 \pi

4. 1213 \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}

5. 25 \sqrt{2}-\sqrt{5}

6. 2+9×(3) -2+9 \times(-3)
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23
[Calculer.]
Donner la valeur absolue des nombres suivants.

1. 5-5

2. 23\dfrac{-2}{-3}

3. 289-\sqrt{289}

4. 323×(64)3-\dfrac{2}{3} \times(6-4)

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24
[Calculer.]
Calculer les valeurs absolues suivantes.

1. 107103\left|10^{-7}-10^{-3}\right|

2. 1725|17-25|

3. 12|1-\sqrt{2}|

4. 3π|-3-\pi|

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25
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner la distance entre les deux nombres réels donnés.

1. 2-2 et 12-12

2. 53\dfrac{5}{3} et 76\dfrac{7}{6}

3. π-\pi et 2π2\pi

4. 4-4 et 66

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26
[Raisonner.]
Pour chacune des inégalités suivantes, justifier si elle est vérifiée par le nombre 22 ou non.

1. x32 \left|x-3 \right| \leqslant 2

2. x3<1\left|x-3\right|\lt 1

3. x+32\left|x+3 \right| \leqslant 2

4. x2<1\left|x-2 \right|\lt 1

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27
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes.

1. x=8 \left|x\right|=8

2. x=5\left|x\right|=-5

3. x1=3\left|x-1\right|=3

4. 2x+1=4\left|2 x+1\right|=4

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28
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Pour tout xRx \in \mathbb{R}, 1+x2=1+x2. 1+x^{2}=\left|1+x^{2}\right|.

2. Pour tout kZk \in \mathbb{Z}, k=k. \left|k\right|=-k.

3. Pour tout xRx \in \mathbb{R}, (x)2=x2. \left|(-x)^{2}\right|=-x^{2}.

4. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, n2n=n2n. \left|n^{2}-n\right|=n^{2}-n.

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29
[Calculer.]
Quel est le plus grand intervalle auquel appartient xx dans chacun des cas suivants ?

1. x23\left|x-2\right| \leqslant 3

2. x15x \leqslant 15

3. x1\left|x\right| \leqslant 1

4. 0x20 \leqslant x \leqslant 2

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30
[Calculer.]
Donner un encadrement des nombres suivants à 10-3 près.

1. 17\dfrac{1}{7}

2. 0,75860{,}7586

3. 17\sqrt{17}

4. 2,356×1032{,}356 \times 10^{-3}

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31
[Calculer.]
Donner un encadrement d’amplitude 10-2 des nombres suivants.

1. 327,426-327{,}426

2. 58\dfrac{5}{8}

3. 2\sqrt{2}

4. 4,52686×1024{,}52686 \times 10^{2}

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32
[Modéliser.]
Dans la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de 32 ans pour entrer. Dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus 40 ans.

1. Dans quel intervalle d’âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?

2. Dans quel ensemble doit se situer l’âge d’une personne qui veut pouvoir entrer dans l’une des deux boîtes de nuit ?

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33
[Modéliser.]
L’Insee estime qu’un couple avec deux enfants appartient à la classe moyenne quand les revenus du foyer sont situés dans l’intervalle [3253;5609].[3\, 253\, ; 5\, 609].
M. Martin gagne 2 731 € et Mme Martin gagne 2 732 €. Ils ont deux enfants qui ne rapportent aucun revenu. La famille appartient-elle à la classe moyenne ?

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