Bientôt disponible
Ce manuel est en cours de finalisation et sera très prochainement disponible.



Intervalles et valeur absolue




Cours


Exemples

  • ∣5∣=5|5|=5 et ∣−2∣=2|-2|=2
  • x∈[−2 ;4]⇔x∈[1−3 ;1+3]⇔∣x−1∣⩽3x \in[-2\,; 4] \Leftrightarrow x \in[1-3\,; 1+3] \Leftrightarrow|x-1| \leqslant 3

Notation
  • Le symbole +∞+\infty se lit « plus l’infini ».
  • Le symbole −∞-\infty se lit « moins l’infini ».

Propriété (admise)
Soit x∈R.x \in \R. On a ∣x∣={x si x⩾0−x si x<0.|x|=\left\{\begin{array}{l}{x \quad \text { si } x \geqslant 0} \\ {-x \text { si } x\lt 0}\end{array}\right. .

Remarque

Si aa et rr sont deux réels avec r>0 :r > 0\::
x∈[a−r ;a+r]⇔∣x−a∣⩽r.x \in[a-r\,; a+r] \Leftrightarrow |x-a| \leqslant r.

Exemples

  • La réunion des intervalles [3 ;7][3\,; 7] et [4 ;10][4\,; 10] est l’intervalle [3 ;10].[3\,; 10]. On note [3 ;7]∪[4 ;10].[3\,; 7] \cup [4\,; 10].
  • L’intersection des intervalles [3 ;7][3\,; 7] et [4 ;10][4\,; 10] est l’intervalle [4 ;7].[4\,; 7] . On note [3 ;7]∩[4 ;10].[3\,; 7] \cap [4\,; 10] .
On peut représenter graphiquement un intervalle sur une droite graduée :

Intervalle Représentation graphique
 [−3 ;4][-3\,;4]
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique
 ]2 ;7[]2\,;7[
Intervalles et valeur absolue : représentation graphique

On a dessiné des crochets au bord de l’intervalle pour indiquer s’il est ouvert ou fermé.

Définitions
  • On appelle valeur absolue d’un nombre réel xx la distance entre xx et 0.0 . On la note ∣x∣.|x|.
  • Soient aa et bb deux nombres réels. On appelle distance entre aa et bb le nombre ∣a−b∣.|a-b|.

Notation
  • L’intersection de deux intervalles I\text{I} et J\text{J} se note I∩J.\text{I} \cap \text{J}.
  • La réunion de deux intervalles I\text{I} et J\text{J} se note I∪J.\text{I} \cup \text{J}.

Définitions
 Soient aa et bb deux nombres réels.
  • On appelle intervalle fermé [a ;b][a\,; b] l’ensemble des nombres réels xx tels que a⩽x⩽b.a \leqslant x \leqslant b.
  • On appelle intervalle ouvert ]a ;b[]a\,; b[ l’ensemble des nombres réels xx tels que a<x<b.a \lt x \lt b .
  • On définit de même les intervalles [a ;b[[a\,; b[ et ]a ;b].]a\,; b] .
  • On note [a ;+∞[[a\,; +\infty[ l’ensemble des nombres réels xx tels que x⩾a.x \geqslant a .
  • On note ]a ;+∞[]a\,; +\infty[ l’ensemble des nombres réels xx tels que x>a.x \gt a .
  • On définit de même ]−∞ ;a]]-\infty \,; a] et ]−∞ ;a[.]-\infty \,; a[ .

Définitions
 Soient I\text{I} et J\text{J} deux intervalles.
  • L’intersection de I\text{I} et J\text{J} est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
  • La réunion de I\text{I} et J\text{J} est l’ensemble des réels qui appartiennent à I\text{I} ou à J.\text{J}.

Exercices


16
[Calculer.]
Recopier et compléter comme dans l’exemple puis écrire sous forme mathématique en utilisant le symbole ⇔.\Leftrightarrow.
Exemple :
x∈[1 ;2]x \in [1\, ;2] si et seulement si 3x∈[3 ;6]3x \in [3\, ;6]
x∈[1 ;2]⇔3x∈[3 ;6]x \in [1\, ;2] \Leftrightarrow 3x \in [3\, ;6]

1. x∈[7 ;20]x \in [7\, ; 20 ] si et seulement si 7x∈...7x \in ...

2. x∈]−1 ;3]x \in ]-1\, ; 3 ] si et seulement si 7−x∈...7-x \in ...

3. x∈[−5 ;7]x \in [-5\, ; 7 ] si et seulement si 2x+3∈...2x+3 \in ...

4. x∈...x \in ... si et seulement si −2x∈[1 ;+∞[-2x \in [1\, ; +\infty [

5. x∈...x \in ... si et seulement si 3−x∈]−∞ ;6]3-x \in ]-\infty\, ; 6]

6. x∈...x \in ... si et seulement si 7+2x∈[−1 ;1]7+2x \in [-1\, ; 1]

19
PYTHON
 [Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle

def DansIntervalleBis(a, x):
	if a < x:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a ;+∞[[a\, ; +\infty[ puis à l’intervalle ]−∞ ;a]]-\infty\, ; a] et enfin à l’intervalle ]−∞ ;a[.]-\infty\, ; a[ .

18
PYTHON
 [Calculer.]
On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.
Algorithme Scratch et intervalle

def DansIntervalle(a, b, x) :
	if x > a and x < b:
  	return(True)
  else:
  	return(False)

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme pour qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a ;b][a\, ; b] puis à l’intervalle ]a ;b]]a\, ; b] et enfin à l’intervalle [a ;b[.[a\, ; b[ .

28
VRAI / FAUX
[Chercher.]
Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, 1+x2=∣1+x2∣. 1+x^{2}=\left|1+x^{2}\right|.

2. Pour tout k∈Zk \in \mathbb{Z}, ∣k∣=−k. \left|k\right|=-k.

3. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, ∣(−x)2∣=−x2. \left|(-x)^{2}\right|=-x^{2}.

4. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, ∣n2−n∣=n2−n. \left|n^{2}-n\right|=n^{2}-n.


24
[Calculer.]
Calculer les valeurs absolues suivantes.

1. ∣10−7−10−3∣\left|10^{-7}-10^{-3}\right|

2. ∣17−25∣|17-25|

3. ∣1−2∣|1-\sqrt{2}|

4. ∣−3−π∣|-3-\pi|


21
[Raisonner.]
Écrire chaque condition sous forme d’intersection et trouver l’ensemble des réels aa appartenant à cette intersection.

1. a<3a \lt 3 et a>−6a > -6

2. a⩾−5a \geqslant -5 et −a⩾−7-a \geqslant -7

3. 2a+1<32a+1 \lt 3 et 3a−1⩾03a-1\geqslant 0

4. 3(2−a)<33(2-a)\lt 3 et a−1⩾2a-1 \geqslant 2

32
[Modéliser.]
Dans la boîte de nuit le Macumba, il faut avoir strictement plus de 32 ans pour entrer. Dans la boîte de nuit la Playa, il faut avoir au plus 40 ans.

1. Dans quel intervalle d’âge doit se situer une personne qui veut pouvoir rentrer dans les deux boîtes de nuit ?

2. Dans quel ensemble doit se situer l’âge d’une personne qui veut pouvoir entrer dans l’une des deux boîtes de nuit ?


Anecdote
Le symbole ∞\infty pour représenter l’infini a été introduit par John Wallis en 1655.

15
 [Raisonner.]
Compléter avec ∈\in ou ∉.\notin.

1. 22 ]1 ;3[] 1\, ; 3[

2. 00 [−1 ;2[[-1\, ; 2[

3. 13\dfrac{1}{3} [0 ;3][0\, ; 3]

4. 22 ]−2 ;2[]-2\, ; 2[

5. 2\sqrt{2} [−3 ;1][-3\, ; 1]

6. 00 ]0 ;+∞[] 0\, ;+\infty[

7. −100-100 ]−∞ ;1[]-\infty \, ; 1[

8. 110\dfrac{1}{10} [0,01 ;0,2[[0{,}01\, ; 0{,}2[

29
[Calculer.]
Quel est le plus grand intervalle auquel appartient xx dans chacun des cas suivants ?

1. ∣x−2∣⩽3\left|x-2\right| \leqslant 3

2. x⩽15x \leqslant 15

3. ∣x∣⩽1\left|x\right| \leqslant 1

4. 0⩽x⩽20 \leqslant x \leqslant 2


26
[Raisonner.]
Pour chacune des inégalités suivantes, justifier si elle est vérifiée par le nombre 22 ou non.

1. ∣x−3∣⩽2 \left|x-3 \right| \leqslant 2

2. ∣x−3∣<1\left|x-3\right|\lt 1

3. ∣x+3∣⩽2\left|x+3 \right| \leqslant 2

4. ∣x−2∣<1\left|x-2 \right|\lt 1


22
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux à leur valeur absolue ?

1. 2 2

2. 3−83 3-\dfrac{8}{3}

3. 25−9π 25-9 \pi

4. 12−13 \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}

5. 2−5 \sqrt{2}-\sqrt{5}

6. −2+9×(−3) -2+9 \times(-3)

17
 [Représenter.]
On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M(x ;y)\text{M}(x\, ; y) tels que :
1<x<41 \lt x \lt 4 et 5⩽y⩽6.5 \leqslant y \leqslant 6 .

1. Représenter graphiquement cet ensemble.

Lancer le module Geogebra

2. Reprendre la question précédente avec l’ensemble des points N(x ;y)\text{N}(x\, ; y) tels que :
1⩽2x+1⩽1 \leqslant 2x + 1 \leqslant 4 et 5<2−5y<6.5 \lt 2 - 5y \lt 6 .

20
[Représenter.]
Chaque assertion suivante est supposée vraie. Dans chaque cas, écrire, sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles, le plus petit ensemble auquel appartient x.x .

1. x⩾3x \geqslant 3 ou x⩽0x \leqslant 0

2. x−6>0x-6 > 0 ou 5x⩽55x \leqslant 5

3. x⩽2x \leqslant 2 ou −4x⩽−20-4x\leqslant -20

4. x⩾3x \geqslant 3 ou 3x⩾123x \geqslant 12

5. 7x−4⩾37x-4 \geqslant 3 ou 1−x>01-x>0

6. 1−x>−31-x >-3 ou 2x+1⩽72x+1\leqslant 7

33
[Modéliser.]
L’Insee estime qu’un couple avec deux enfants appartient à la classe moyenne quand les revenus du foyer sont situés dans l’intervalle [3 253 ;5 609].[3\, 253\, ; 5\, 609].
M. Martin gagne 2 731 € et Mme Martin gagne 2 732 €. Ils ont deux enfants qui ne rapportent aucun revenu. La famille appartient-elle à la classe moyenne ?


27
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes.

1. ∣x∣=8 \left|x\right|=8

2. ∣x∣=−5\left|x\right|=-5

3. ∣x−1∣=3\left|x-1\right|=3

4. ∣2x+1∣=4\left|2 x+1\right|=4


14
 [Représenter.]
Recopier et compléter le tableau comme dans l’exemple suivant.

Inégalité Intervalle Représentation graphique
 2⩽x⩽42\leqslant x \leqslant 4 x∈[2 ;4]x\in[2\, ;4]
Représentation graphique d'intervalle


Inégalité Intervalle Représentation graphique
 0<x⩽50\lt x \leqslant 5 x∈]0 ;5]x\in]0\, ;5]
Représentation graphique d'intervalle
x∈]−3 ;7[x\in]-3\, ;7[
Représentation graphique d'intervalle
x∈]−∞ ;4]x\in]-\infty\, ;4]
Représentation graphique d'intervalle
 3⩽x3 \leqslant x
Représentation graphique d'intervalle
 
Représentation graphique d'intervalle
Représentation graphique d'intervalle

25
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner la distance entre les deux nombres réels donnés.

1. −2-2 et −12-12

2. 53\dfrac{5}{3} et 76\dfrac{7}{6}

3. −π-\pi et 2π2\pi

4. −4-4 et 66


23
[Calculer.]
Donner la valeur absolue des nombres suivants.

1. −5-5

2. −2−3\dfrac{-2}{-3}

3. −289-\sqrt{289}

4. 3−23×(6−4)3-\dfrac{2}{3} \times(6-4)


30
[Calculer.]
Donner un encadrement des nombres suivants à 10-3 près.

1. 17\dfrac{1}{7}

2. 0,75860{,}7586

3. 17\sqrt{17}

4. 2,356×10−32{,}356 \times 10^{-3}


31
[Calculer.]
Donner un encadrement d’amplitude 10-2 des nombres suivants.

1. −327,426-327{,}426

2. 58\dfrac{5}{8}

3. 2\sqrt{2}

4. 4,52686×1024{,}52686 \times 10^{2}

page 14-15
page 19-21
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Se connecter

J'ai oublié mon mot de passe
Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message