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Chapitre 0 - Nombres et calculs

Cours



1
Ensemble de nombres

Entiers naturels et relatifs

L’ensemble des entiers naturels, noté N\mathbb{N}, est l’ensemble des entiers positifs ou nuls : 0 ;1 ;2 ;0 \ ; 1 \ ; 2 \ ; …

L’ensemble des entiers relatifs, noté Z\mathbb{Z}, est l’ensemble des entiers positifs, négatifs, ou nuls : ;3 ;2 ;1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;… ; –3\ ; –2\ ; –1 \ ; 0 \ ; 1 \ ; 2 \ ; 3 \ ; …

Exemples

5 5 est un entier naturel et un entier relatif.
5–5 est un entier relatif, mais pas un entier naturel.

Nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels, noté Q\mathbb{Q}, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme ab\dfrac{a}{b} avec aZa \in \mathbb{Z} et bNb \in \mathbb{N}^*.

En particulier, l’ensemble des nombres décimaux, noté D\mathbb{D}, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme a10n\dfrac{a}{10^n} avec aZa \in \mathbb{Z} et nNn \in \mathbb{N}.

Exemples

  • 0,57=571000{,}57 = \dfrac{57}{100} est un nombre rationnel et un nombre décimal.
  • 13\dfrac{1}{3} est un nombre rationnel, mais pas un nombre décimal.
  • 7=71−7 = \dfrac{−7}{1} est un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre décimal.
  • 2\sqrt{2} n’est pas un nombre rationnel, on dit qu’il est irrationnel.
  • Nombres réels

    L’ensemble des nombres réels, noté R\mathbb{R}, est l’ensemble des nombres xx tels que x20.x^2 \geqslant 0.

    Tout nombre réel est représenté par l’abscisse d’un point sur la droite numérique.

    Droite des réels

    Exemples

  • 11 est un nombre entier naturel, un nombre entier relatif, un nombre rationnel, un nombre décimal et un réel.
  • π\pi est un nombre réel mais n’est ni entier, ni un nombre rationnel, ni un nombre décimal.
  • Inclusions

    On a NZDQR\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
    Ensembles de nombres et leurs inclusions


    2
    Intervalles

    Notion d’intervalle

    Soient aa et bb deux nombres réels tels que aba \leqslant b.

    Notation Signification Type d’intervalle
    [a;b][a;b] L’ensemble des xx tels que axba \leqslant x \leqslant b Intervalle fermé
    ]a;b[]a;b[ L’ensemble des xx tels que a<x<ba \lt x \lt b Intervalle ouvert
    ]a;b]]a;b] L’ensemble des xx tels que a<xba \lt x \leqslant b Intervalle semi-ouvert à gauche
    [a;b[[a;b[ L’ensemble des xx tels que ax<ba \leqslant x \lt b Intervalle semi-ouvert à droite
    [a;+[[a; + \infty[ L’ensemble des xx tels que axa \leqslant x Intervalle semi-ouvert à droite
    ]a;+[]a; + \infty[ L’ensemble des xx tels que a<xa \lt x Intervalle ouvert
    ];a]] − \infty; a] L’ensemble des xx tels que xax \leqslant a Intervalle semi-ouvert à gauche
    ];a[] − \infty; a[ L’ensemble des xx tels que x<a x \lt a Intervalle ouvert

    Exemple

    ]2;7[]2\, ;7[ est un intervalle ouvert. Il contient tous les réels strictement compris entre 22 et 77. On peut le représenter sur la droite numérique comme suit.

    Intervalles et valeur absolue : représentation graphique

    Union d’intervalles

    L’union de deux intervalles I\text{I} et J\text{J}, noté IJ\text{I} \cup \text{J}, est l’ensemble des réels appartenant à I\text{I} ou à J\text{J}.

    Exemples

    L’union des intervalles ]2;3[]2\, ;3[ et [4;5[[4\, ;5[ est l’ensemble ]2;3[  [4;5[]2\, ;3[ \ \cup \ [4\,;5[.

    Union des intervalles

    L’union des intervalles ]2;3[]2\, ;3[ et [2,5;5][2{,}5\, ;5] est l’ensemble ]2;3[  [2,5;5]]2\, ;3[ \ \cup \ [2{,}5\, ;5], c’est-à-dire l’intervalle ]2;5]]2\, ;5].

    Union des intervalles

    Remarque : on peut ainsi voir que l'union de deux intervalles n'est pas forcément un intervalle.

    Intersection d’intervalles

    L’intersection de deux intervalles I\text{I} et J\text{J}, noté IJ\text{I} \cap \text{J}, est l’ensemble des réels appartenant à la fois à I\text{I} et à J\text{J}.

    Exemples

    L’intersection des intervalles ]2 ;3[]2\ ;3[ et [4 ;5[[4\ ;5[ est l’ensemble ]2 ;3[[4 ;5[]2\ ;3[ \cap [4\ ;5[, c’est à dire l’ensemble vide \emptyset car aucun réel n'appartient à ces deux intervalles à la fois.

    Union des intervalles

    L’intersection des intervalles ]2 ;3[]2\ ;3[ et [2,5 ;5][2{,}5\ ;5] est l’ensemble ]2 ;3[[2,5 ;5]]2\ ;3[ \cap [2{,}5\ ;5], c’est à dire l’intervalle [2,5 ;3[[2{,}5\ ;3[.

    Union des intervalles


    3
    Calcul numérique

    Inverse et opposé

    L’inverse d’un nombre réel aa non nul est le nombre 1a.\dfrac{1}{a}.

    L’opposé d’un nombre réel aa est le nombre a−a.

    Exemple

    L’inverse du nombre 22 est le nombre 12\dfrac{1}{2}. L’opposé du nombre 22 est le nombre 2–2.

    Valeur absolue

    La valeur absolue d’un nombre réel xx est la distance entre xx et 00 lorsqu’on le place sur la droite numérique. On la note x\mid x \mid.

    Exemples

    On a 2=2\mid 2 \mid = 2 et 4,5=4,5\mid −4{,}5 \mid = 4{,}5.

    Propriété : Soit xRx \in \mathbb{R}. On a x={x si x0x si x<0.\mid x \mid = \begin{cases} x \text{ si } x \geqslant 0 \\ −x \text{ si } x \lt 0 \end{cases} .

    Puissances

    Pour tout aa réel, on note a2=a×aa^2 = a \times a le carré du nombre aa. On dit aussi qu’on met le nombre aa à la puissance 22.
    Pour tout aa réel, on note a3=a×a×aa^3 = a \times a \times a le cube du nombre aa. On dit aussi qu’on met le nombre aa à la puissance 33.

    De manière générale, pour tout nNn \in \mathbb{N}^* , an=a××an foisa^n = \underbrace{a \times \ldots \times a}_\text{n fois} est la puissance n-ième de aa. On lit « aa puissance nn ».

    Racine carrée

    Soit aa un nombre réel positif. La racine carré de aa est l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à aa : (a)2=a.\left(\sqrt{a}\right)^2 = a.

    Attention
    Pour tout réel aa, on n’a pas a2=a\sqrt{a^2} = a mais a2=a\sqrt{a^2} = \mid a \mid !


    4
    Arithmétique

    Diviseur et multiple

    Soient aa et bb deux nombres entiers relatifs. aa est un diviseur de bb lorsqu’il existe kZk \in \mathbb{Z} tel que b=k×ab = k \times a.
    On peut aussi dire que bb est un multiple de aa, que aa divise bb ou que bb est divisible par aa.

    Exemple

    33 est un diviseur de 3636 car 36=12×336 = 12 \times 3. On peut aussi dire que 3636 est un multiple de 33.

    Propriété : Soient aZa \in \mathbb{Z}. Si bb et bb' sont deux multiples de aa alors b+bb+b' est un multiple de aa.

    Parité

    Soit aZa \in \mathbb{Z}.
    • aa est un nombre pair s’il peut s’écrire sous la forme a=2×ka = 2 \times k avec kZk \in \mathbb{Z}, c’est à dire si aa est un multiple de 22.
    • aa est un nombre impair s’il peut s’écrire sous la forme a=2×k+1a = 2 \times k + 1 avec kZk \in \mathbb{Z}.

    Exemples

    17=2×8+117 = 2 \times 8 + 1 est un nombre impair. 38=2×1938 = 2 \times 19 est un nombre pair.

    Propriété : Soit aZa \in \mathbb{Z}. L’entier relatif a2a^2 est impair si, et seulement si, aa est impair.
    De même, l’entier relatif a2a^2 est pair si, et seulement si, aa est pair.

    Nombre premier

    Un entier naturel non nul est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts : 11 et lui-même.

    Exemples

  • 2;3;5;72 \,; 3 \,; 5 \,; 7 sont des nombres premiers.
  • 11 n’est pas un nombre premier car il ne possède pas exactement deux diviseurs, il n’en possède qu’un : lui-même.
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