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Chapitre 0
Cours et exercices

Résolutions de systèmes

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Cours

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Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues et revient à déterminer tous les couples qui vérifient les deux équations en même temps.
On cherche à résoudre le système suivant d'inconnue :
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Méthode 1
par combinaisons linéaires

  • En multipliant chacune des deux équations par un nombre adéquat, on égalise les coefficients de l'une des inconnues dans chaque équation.
    ❯
  • On soustrait l'une des deux équations à l'autre. Ainsi, on obtient une équation ne comportant plus qu'une seule inconnue.
    ❯
  • On résout l'équation ainsi obtenue.
    ❯ d'où
  • On reporte la valeur trouvée dans l'une des deux équations de départ et on résout l'équation ainsi obtenue.
    ❯ Puisque , alors d'où
  • La solution du système est donc le couple
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Méthode 2
par substitution

  • À l'aide de l'une des deux équations, on exprime l'une des deux inconnues en fonction de l'autre.
    ❯ La première équation peut s'écrire
  • On remplace, dans la deuxième équation, cette inconnue par l'expression obtenue.
    ❯ c'est à dire
  • On obtient ainsi une équation, à une seule inconnue, que l'on résout.
    ❯ On obtient
  • On reporte la valeur obtenue à l'étape précédente dans l'une des deux équations. On obtient alors une nouvelle équation à une inconnue, que l'on résout pour obtenir la valeur de la deuxième inconnue.
    ❯ En reportant dans la première équation on obtient d'où
  • La solution du système est donc le couple
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Exercices

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103
 [Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue

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104
 [Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue

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105
 [Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue

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106
 [Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue

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107
 [Raisonner.]
Justifier que le système suivant admet une infinité de solutions :
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108
 [Modéliser.]
Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. On compte 120 têtes et 298 pattes. Combien y a-t-il de lapins et de poules dans la ferme ?
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109
 [Modéliser.]
Dans le panier de Mme Martin, il y a 5 kg de pommes et 2 kg de carottes. Dans le panier de M. Bernard, il y a 3 kg de pommes et 7 kg de carottes. Mme Martin a payé 18,5 € alors que M. Bernard a payé 28,5 €.
Quel est le prix d'un kg de pommes et d'un kg de carottes ?
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110
 [Modéliser.]
Max a 10 pièces dans son porte-monnaie. Ce sont uniquement des pièces de 1 € et 2 €. Le montant contenu dans le porte monnaie est de 15 €.
Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?
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111
 [Représenter.]
Résoudre le système suivant d'inconnue
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