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Résolutions de systèmes




Exercices


103
[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x;y)(x\,;y)
{x+y=42x+3y=7\left\{\begin{aligned} x+y &=4 \\ 2 x+3 y &=7 \end{aligned}\right.

110
[Modéliser.]
Max a 10 pièces dans son porte-monnaie. Ce sont uniquement des pièces de 1 € et 2 €. Le montant contenu dans le porte monnaie est de 15 €.
Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?

106
[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x;y)(x\,;y)
{7x+2y=12x+3y=5\left\{\begin{array}{l}{7 x+2 y=1} \\ {2 x+3 y=5}\end{array}\right.

109
[Modéliser.]
Dans le panier de Mme Martin, il y a 5 kg de pommes et 2 kg de carottes. Dans le panier de M. Bernard, il y a 3 kg de pommes et 7 kg de carottes. Mme Martin a payé 18,5 € alors que M. Bernard a payé 28,5 €.
Quel est le prix d’un kg de pommes et d’un kg de carottes ?

111
[Représenter.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x;y).(x\, ; y).
{x2+y2=252x2y2=23\left\{\begin{array}{r}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {2 x^{2}-y^{2}=23}\end{array}\right.

104
[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x;y)(x\,;y)
{5x+2y=42x+3y=5\left\{\begin{array}{l}{5 x+2 y=4} \\ {2 x+3 y=-5}\end{array}\right.

107
[Raisonner.]
Justifier que le système suivant admet une infinité de solutions :
{2xy=16x+3y=3\left\{\begin{aligned} 2 x-y &=1 \\-6 x+3 y &=-3 \end{aligned}\right.

108
[Modéliser.]
Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. On compte 120 têtes et 298 pattes. Combien y a-t-il de lapins et de poules dans la ferme ?

105
[Calculer.]
Résoudre le système suivant d’inconnue (x;y)(x\,;y)
{x2y=42x+3y=6\left\{\begin{aligned} x-2 y &=4 \\ 2 x+3 y &=-6 \end{aligned}\right.

Cours


Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues xx et yy revient à déterminer tous les couples (x;y)(x\, ; y) qui vérifient les deux équations en même temps.
On cherche à résoudre le système suivant d’inconnue (x;y)(x\, ; y) : {2x+3y=83x2y=1\left\{\begin{array}{l}{2 x+3 y=8} \\ {3 x-2 y=-1}\end{array}\right.

Méthode 1 : par combinaisons linéaires
  • En multipliant chacune des deux équations par un nombre adéquat, on égalise les coefficients de l’une des inconnues dans chaque équation.
    {(2x+3y)×3=8×3(3x2y)×2=(1)×2{6x+9y=246x4y=2\left\{\begin{aligned}(2 x+3 y) \color{red}{\times 3}&= 8 \color{red}{\times 3} \\ (3 x-2 y) \color{blue}{\times 2} &=(-1) \color{blue}{\times 2} \end{aligned} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{6 x+9 y=24} \\ {6 x-4 y=-2}\end{array}\right.\right.
  • On soustrait l’une des deux équations à l’autre. Ainsi, on obtient une équation ne comportant plus qu’une seule inconnue.
    6x+9y(6x4y)=24(2)6 x+9 y-(6 x-4 y)=24-(-2)
  • On résout l’équation ainsi obtenue.
    13y=2613 y=26 d'où y=2y=2
  • On reporte la valeur trouvée dans l’une des deux équations de départ et on résout l’équation ainsi obtenue.
    Puisque 2x+3y=82 x+3 y=8, alors 2x=83y=86=22 x=8-3 y=8-6=2 d'où x=1.x=1.
  • La solution du système est donc le couple (1;2).(1\, ;2).

Méthode 2 : par substitution
  • À l’aide de l’une des deux équations, on exprime l’une des deux inconnues en fonction de l’autre.
    La première équation peut s’écrire x=41,5y.x=4-1{,}5 y.
  • On remplace, dans la deuxième équation, cette inconnue par l’expression obtenue.
    3(41,5y)2y=13(4-1{,}5 y)-2 y=-1 c'est à dire 126,5y=1.12-6{,}5 y=-1.
  • On obtient ainsi une équation, à une seule inconnue, que l’on résout.
    On obtient y=2.y=2.
  • On reporte la valeur obtenue à l’étape précédente dans l’une des deux équations. On obtient alors une nouvelle équation à une inconnue, que l’on résout pour obtenir la valeur de la deuxième inconnue.
    En reportant dans la première équation on obtient 2x+6=82 x+6=8 d'où x=1.x=1.
  • La solution du système est donc le couple (1;2).(1\, ;2).
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