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Résolution d'équations et d'inéquations




Exercices

Les méthodes de résolution sont rappelées dans les Rappels de collège page 330.


89
[Représenter.]
On considère un triangle ABC\text{ABC} et un nombre réel x.x . On suppose que AB=x+2\text{AB} = x + 2, BC=2x+9\text{BC} = 2x + 9 et CA=3x2.\text{CA} = 3x - 2 .
Déterminer le plus grand intervalle de R\R auquel appartient x.x .

85
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans R.\R.

1. 2x+1>32 x+1>3

2. 3x273x - 2 \leqslant 7

3. 5x+123-5 x+\dfrac{1}{2} \geqslant 3

4. 2x<52-x\lt 5

5. 5(x+11)>65(x+11)>-6

6. 9x+15>11\dfrac{-9 x+1}{5}>11

7. 24x32-4 x \leqslant 3

8. x21>1x \sqrt{2}-1>1


90
[Calculer.]
Soit mm, un nombre réel strictement positif. On considère l’inéquation suivante dans laquelle l’inconnue est le nombre réel xx : mx+2m.mx + 2 \geqslant m.

1. Résoudre dans R\R cette inéquation en fonction de m.m.

2. À quel intervalle doit appartenir mm pour que 22 soit solution de l’inéquation ?

3. Reprendre les questions précédentes avec m<0.m \lt 0 .


96
[Modéliser.]
Les dépenses d’un service hospitalier sont de deux types : les charges fixes qui s’élèvent à 1 500 € et les charges variables qui s’élèvent à 300 € par patient.

1. Écrire, en fonction du nombre xx de patients, le montant des dépenses du service hospitalier.

2. Le service a dépensé 6 900 €. Combien de patients a-t-il soignés ?

99
[Représenter.]
1. Si j’augmente de 7 cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire de ce carré augmente de 74 cm2. Quelle est l’aire de ce carré ?

84
[Représenter.]
Marc pense à trois nombres entiers naturels consécutifs. Leur somme est 147.147 . Quels sont ces trois nombres ?

100
[Communiquer.]
Après avoir retranché 3 au quadruple d’un nombre, on obtient un nombre strictement positif. De plus, après avoir retranché 4 au triple de ce même nombre, on obtient un nombre strictement négatif.

1. Donner un encadrement de ce nombre.

2. En déduire le seul entier naturel qui convient.

101
[Représenter.]
On considère le triangle ci-dessous, dans lequel les côtés dépendent d’un nombre réel x>1.x > 1 .

Résolution d'équations et d'inéquations


1. Pour quelle valeur de xx a-t-on AB=AC\text{AB} = \text{AC} ? Pour cette valeur de xx , quelle est la longueur de chacun des côtés de ABC\text{ABC} ?

2. Déterminer toutes les valeurs de xx pour lesquelles le triangle ABC\text{ABC} est isocèle.

3. Peut-on trouver une valeur de xx pour laquelle le triangle ABC\text{ABC} est équilatéral ?

81
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans R.\R .

1. 3x+7=x13 x+7=x-1

2. 6x=x+146-x=x+14

3. 3(x+7)=4x+93(x+7)=4 x+9

4. 2(x4)=7x22(x-4)=7 x-2


95
[Calculer.]
Soit mm un nombre réel. On considère l’équation suivante dans laquelle l’inconnue est le réel xx : 5mx+7=x+m.5mx + 7 = x +m.
Résoudre cette équation dans R\R et discuter l’existence d’une solution selon la valeur de m.m.


98
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
L’unité de température en vigueur aux USA est le degré Fahrenheit (°F). Pour effectuer la conversion avec les degrés Celsius, on utilise la formule suivante : Tf=1,8Tc+32\mathrm{T}_{f}=1{,}8\: \mathrm{T}_{\mathrm{c}}+32Tf\mathrm{T}_{f} est la température en degré et Tc\mathrm{T}_{\mathrm{c}} en degré Celsius.

1. Convertir en degré Celsius les températures suivantes : 4F,212F,40F-4^{\circ} \mathrm{F}{,}\, 212^{\circ} \mathrm{F}{,}\, -40^{\circ} \mathrm{F}

2. Les deux échelles de températures sont elle proportionnelles ?

3. Donner une expression permettant de faire la conversion contraire.

83
[Calculer.]
On considère l’expression A(x)=2x+3x+7\mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x+3}{x+7} définie pour tout x7.x \neq-7.

1. Résoudre A(x)=0.\text{A}(x)=0.

2. Résoudre A(x)=3.\mathrm{A}(x)=3.

3. Résoudre A(x)=2.\mathrm{A}(x)=-2.


88
[Représenter.]
On considère un triangle ABC\text{ABC} et un nombre réel x.x . On a AB=x+1\text{AB} = x + 1 , BC=4\text{BC} = 4 et CA=15.\text{CA} = 15 .

1. Montrer que l’on a nécessairement x+119x+1 \leqslant 19 et x+515.x+5\geqslant15.

2. Donner le plus grand intervalle de R\R auquel appartient x.x .


93
[Calculer.]
Soit kk un nombre réel. On considère l’équation suivante dans laquelle l’inconnue est le réel xx : k2x+7=x2k.k^{2} x+7=x-2 k.

1. Résoudre cette équation dans R\R en fonction de k.k .

2. Pour quelles valeurs de kk n’existe-t-il pas de solution ?

3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient kk lorsque 00 est une solution de l’équation ?


92
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans R.\R .

1. (x+3)2=x(x2)(x+3)^{2}=x(x-2)

2. 25x+8=13(x7)\dfrac{2}{5} x+8=\dfrac{1}{3}(x-7)


82
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans R.\R .

1. (x+3)(x7)=0(x+3)(x-7)=0

2. (2x3)(x+6)=0(2 x-3)(x+6)=0

3. x(x+1)=0x(x+1)=0

4. x3x=0x^{3}-x=0


80
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans R.\R .

1. 3x+7=03 x+7=0

2. 6x=46-x=4

3. 3(x+7)=93(x+7)=9

4. x8=0x - 8 = 0


86
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans R.\R.

1. 7x+3>2x57 x+3>2 x-5

2. 5x38x65 x-3 \leqslant 8 x-6

3. 7(x+1)>52x7(x+1)>5-2 x

4. 5x+32(x5)-5 x+3 \geqslant 2(x-5)


97
[Raisonner.]
Hans, Julien et Kelly cherchent à résoudre l’équation suivante : (4x+2)(3x1)2(2x2)(3x1)=0(4 x+2)(3 x-1)-2(2 x-2)(3 x-1)=0xx est un nombre réel. Philippe leur demande, de surcroît, dans quel ensemble de nombres se trouvent les solutions de cette équation.
  • Hans propose de factoriser par 3x13x - 1 pour obtenir une équation produit nul.
  • Julien propose de développer l’équation car les termes en x2x^2 se simplifient.
  • Kelly pense qu’il est impossible de résoudre cette équation car c’est une équation du second degré.
Qui a raison ?

91
[Calculer.]
Soit xx un nombre entier naturel. On considère la fraction 7x+315.\dfrac{7 x+3}{15}.
Pour quelles valeurs de xx cette fraction est-elle supérieure ou égale à 25\dfrac{2}{5} ?

Anecdote

Le symbole <\lt s’appelle un chevron.
Le symbole ÷\div de la division s’appelle un obélus.

102
[Modéliser.]
Soit λ\lambda un nombre réel. A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont trois points tels que AB=20λ+12\text{AB} = 20\lambda + 12, BC=15(λ+1)\text{BC} = 15(\lambda +1) et AC=25λ+19.\text{AC} = 25\lambda + 19. On considère le point D\text{D} tel que ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme.

1. Faire un schéma et rappeler une condition nécessaire et suffisante pour qu’un parallélogramme soit un rectangle.

2. Déterminer toutes les valeurs de λ\lambda pour lesquelles ABCD\text{ABCD} est un rectangle.

3. Quelle est alors la longueur BD\text{BD} ?

87
[Calculer.]
On considère un nombre réel aa et l’inéquation ax+5<7ax + 5 \lt 7 dans laquelle l’inconnue est x.x . Résoudre cette inéquation dans R\R en fonction du signe de a.a .

94
[Représenter.]
On considère un cercle de rayon 2 cm.

1. Quelle est la longueur du côté d’un carré qui a le même périmètre que ce cercle ?

2. Quelle est la longueur du côté d’un triangle équilatéral qui a le même périmètre que ce cercle ?

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