Partie 1
Histoire des mathématiques


Nombres et calculs





❚❙❙ Emmy Noether et l’entre-deux-guerres

Portrait de Emmy Noether

Emmy Noether (Erlangen, Bavière, 1882 - Princeton, 1935) est une des mathématiciennes les plus brillantes de tous les temps. Sa force principale fut de savoir faire le lien entre diverses approches mathématiques. Elle laissera à la postérité un grand nombre de théorèmes (dont le théorème de Noether en sciences physiques qu’Einstein qualifiera de « monument de la pensée mathématique ») et participera à l’évolution de la théorie des ensembles. Einstein, mais aussi d’autres scientifiques comme Hilbert ou Klein reconnaissent son génie et son travail, mais la discrimination à l’égard des femmes sur le sujet l’empêchera d’obtenir un poste d’enseignant universitaire. En 1933, les lois raciales du régime nazi l’obligent à émigrer aux États-Unis où elle sera nommée dans une petite université réservée aux femmes.


Questions


1. Trouver un encadrement de π\pi en utilisant les deux hexagones de la figure.


2. Replacer la vie d’Emmy Noether dans le contexte historico-social de son époque.

❚❙❙ Archimède et une valeur approchée de π\pi

π\pi est défini comme étant le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre.
Pour les Pythagoriciens, tout nombre est entier ou s’exprime comme étant le rapport de deux nombres entiers (nombre rationnel). En –530, Hippase de Métaponte démontre l’irrationalité de 2,\sqrt{2}, ce qui provoque une crise de pensée des mathématiciens de l’Antiquité.
Même si différentes valeurs approchées de π\pi étaient connues bien avant, Archimède (Syracuse, de –287 à –212) a été le premier à proposer une méthode mathématique pour en trouver un encadrement par deux fractions. Il détermine les périmètres de polygones inscrits et tangents au cercle en partant de deux hexagones et en doublant leur nombre de côtés. Pour 96 côtés, il obtient : 3+1071<π<3+17.3+\dfrac{10}{71} \lt \pi \lt3+\dfrac{1}{7}.
Approche d'un cercle par un polygone à 6 cotés - Histoire des maths
Approche d'un cercle par un polygone à 12 cotés - Histoire des maths

Questions


1. Sachant que 1, 24 51 10 est un nombre en base 60 (24 signifiant 24 soixantièmes), retrouver sa valeur en base 10. Que représente ce nombre ?


2. Quels sont les liens entre le nombre rouge, le nombre bleu, le nombre noir et la figure géométrique gravés sur la tablette ?

❚❙❙ Histoire des nombres et racine carrée

L’histoire des nombres remonte à la Préhistoire. L’opération de compter est un processus symbolique qui caractérise l’espèce humaine mais dont l’origine est difficile à dater. Des dénombrements par entailles (os d’Ishango, Congo, 18 000 av. J.-C.) précèdent les premières traces d’écriture. La transcription des numérations écrites marque le passage à l’Histoire. Depuis plus de 5 000 ans, l’Homme ne cesse d’améliorer les systèmes utilisés, pour faciliter les calculs, mais aussi, et surtout, en découvrant de nouveaux outils mathématiques et de nouveaux nombres.
La tablette YBC 7289 est une des plus anciennes traces de la pensée scientifique de l’être humain et la première apparition du nombre 2.\sqrt{2}. Elle représente également un lien entre la géométrie et les longueurs. Les nombres qui y sont gravés sont en écriture cunéiforme.
Elle a été écrite entre –1900 et –1600 en Mésopotamie et est conservée à l’université de Yale, aux États-Unis.

Tablette de calcul
Tablette YBC 7289 et sa traduction en numération actuelle.

Eras

  1. -5000 - -700 : Civilisations anciennes : Mésopotamie, Égypte et Chine
  2. -700 - 800 : Les mathématiques grecques
  3. 800 - 1500 : Les mathématiques du monde arabe
  4. 1500 - 1600 : La renaissance italienne
  5. 1600 - 1730 : Fort développement des sciences
  6. 1730 - 1840 : L'âge d'or de l'analyse
  7. 1840 - 2010 : L'essor des mathématiques

Évènements

  1. -625 - -547 :Thalès de Milet dit Thales | Thales est un des sept sages de l’Antiquité grecque. Philosophe et scientifique, c’est lors d’un de ses séjours en égypte qu’il ramène en Grèce des éléments fondateurs de la géométrie. Cinq théorèmes fondamentaux portent son nom, dont celui enseigné au collège en France sur les longueurs de triangles à côtés parallèles, mais aussi celui du triangle et de son cercle circonscrit. En tant qu’astronome, on lui doit une prédiction d’une éclipse totale de soleil, une tentative de calcul des dimensions du soleil et de la lune ainsi que l’interprétation des solstices et des équinoxes (qui ont défini les tropiques). Son nom est entré dans l’Histoire comme celui du premier savant et du premier mathématicien. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Thal%C3%A8s" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Thales.
  2. -580 - -495 :Pythagore | Dans sa jeunesse, Pythagore aurait remporté toutes les compétitions de pugilat lors d’une Olympiade. Il part ensuite dans de nombreuses régions du monde et en revient avec différents savoirs. Pythagore devient avant tout un philosophe (dont il est l’inventeur du nom) et un réformateur religieux. Dans sa doctrine, on lui doit l’idée que “tout est nombre” (entier ou rationnel). Il influence alors fortement les domaines de l’arithmétique (nombres parfaits, nombres excessifs, triplets pythagoriciens, etc.), la géométrie, la musique (création de la gamme) et l’astronomie (sphéricité de la terre). Bien que des traces remontent à l’antique Babylone, il énonce le théorème qui porte son nom et qui sera démontré par Euclide. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pythagore" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Pythagore.
  3. -500 - :Hippase de Métaponte | Philosophe et mathématicien, il est l&#x27;un des disciples de Pythagore et sera le maître d’Héraclite. On lui doit des résultats en acoustique et en géométrie (construction du pentagone régulier et nombre d’or). Sa découverte de l&#x27;irrationalité de <span class="sc-ktHwxA kLoJAe"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{2}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.13278em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.90722em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord">2</span></span></span><span style="top:-2.86722em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.13278em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> vient contredire les théories de Pythagore et provoque ce que l’on considère comme la première crise des mathématiques. Les circonstances de sa mort lors d’un naufrage sont alors sujet à polémiques. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Hippase_de_M%C3%A9taponte" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Hippase de Métaponte.
  4. -287 - -212 :Archimède | Il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Pour apprendre Euclide il se rend à Alexandrie où il rencontre Ératosthène. Il revient s’installer à Syracuse où il fera ses découvertes. Il élabore une méthode permettant de donner une approximation précise de <span class="sc-ktHwxA kLoJAe"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π</span></span></span></span></span></span>. Il établit des tables de sinus. Il calcule des aires curvilignes ainsi que l&#x27;aire et le volume du cylindre et de la sphère par la méthode d’exhaustion. Ses travaux sur les tangentes et les quadratures l&#x27;amènent à envisager ce qui sera la base du calcul différentiel et intégral 2000 ans plus tard. En mettant en rapport deux suites l’une arithmétique et l’autre géométrique, il influencera Neper pour ses calculs de logarithmes. Il entrevoie la structure de l’ensemble des réels (ensemble archimédien). En philosophie, son traité sur l’infinité du nombre de grains de sable permet pour la première fois d’aborder mathématiquement la notion d’infini. Archimède est aussi un brillant physicien et ingénieur : il est l&#x27;inventeur de la vis sans fin, du boulon et de la roue dentée. Mais il se distingue en statique et en hydrostatique où il énonce la théorie du levier, introduit la notion de centre de gravité et élabore la célèbre loi de la poussée (Eurêka !). Sur la fin de sa vie, il tiendra en échec pendant plus de trois ans les forces romaines venues assiéger Syracuse. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A8de" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Archimède.
  5. 355 - 415 :Hypathie | Fille de Théon d’Alexandrie, d’une beauté remarquable, Hypathie aurait enseigné la philosophie néoplatonicienne, l’astronomie et les mathématiques d’Euclide au Mouseîon, un des plus importants centres intellectuels de l’époque. Elle est considérée comme la première mathématicienne de l’Histoire. Elle sera assassinée par des groupes de chrétiens poussés par Cyrille, l&#x27;évêque d’Alexandrie qui considérait ses enseignements comme un danger pour la religion. Au XX<sup class="sc-bXGyLb dNMNqR">e</sup> s., elle deviendra une icône du féminisme. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypatie" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Hypathie.
  6. 780 - 850 :Muhammad Ibn Mūsā al-Khwârizmî | L’histoire le retient comme l’inventeur de l’algèbre. Il publie un manuscrit intitulé <i data-reactroot="">Abrégé de calcul par la restauration</i> [al-jabr] et <i data-reactroot="">la comparaison</i> [al-muqabala]. Bien que ses méthodes sont basées sur des démonstrations géométriques, il propose des algorithmes utilisables par le lecteur pour résoudre « à la main » des équations du second degré. Pour résoudre une telle équation, il suffit alors d’appliquer, consigne après consigne, les indications qui mènent à la solution. « Al-jabr » a donné le mot « algèbre », et « Al-Khwârizmî » celui d’algorithme. Ce livre a ouvert la voie à l’algèbre moderne que nous connaissons. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Al-Khw%C3%A2rizm%C3%AE" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à al-Khwârizmî.
  7. 1501 - 1576 :Jérôme Cardan (Gerolamo Cardano) | Médecin, mathématicien, astrologue, chimiste,... Cardan avait plus d’une corde à son arc. En mathématiques, il développe les méthodes de résolutions des équations du 3<sup class="sc-bXGyLb dNMNqR">e</sup> degré reprises à Tartaglia. Il découvre les nombres complexes qu’il qualifie alors de « tanto sottile quanto inutile » que l&#x27;on peut traduire par « aussi subtile qu&#x27;inutile ». En géométrie, il découvre une propriété qui laissera son nom à un joint de transmission (le cardan) que l’on utilise de nos jours en particulier dans l’automobile. Son livre <i data-reactroot="">Liber de ludo aleae</i> constitue le premier exposé de calcul sur les probabilités. Malgré de nombreuses amitiés avec des cardinaux, il est accusé d’hérésie et condamné en 1572 par l’inquisition. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/J%C3%A9r%C3%B4me_Cardan" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Cardan.
  8. 1845 - 1918 :Georg Cantor | Né à St Pétersbourg, il fait ses études à Zurich puis à Berlin où il aura Kummer, Weierstrass et Kronecker comme professeurs. Dès 1869, il enseigne à l’université de Halle. Il étudie d’abord les séries de Fourier, et s’en inspire pour effectuer des travaux sur les ensembles infinis. Il est d’abord amené à clarifier la notion de nombre réel. En 1872, lors d’un voyage en Suisse, il rencontre Dedekind et les échanges épistolaires qui s’ensuivent donnent naissance à la théorie des ensembles. Le théorème de Cantor implique l’existence d’une infinité d’infinis, ce qui philosophiquement soulève bon nombre de critiques, dont celles de son professeur Kronecker. À partir de 1884, il souffre de plus en plus de dépression et il meurt dans un hôpital psychiatrique. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Georg Cantor.
  9. 1882 - 1935 :Emmy Noether | Elle est l&#x27;une des mathématiciennes les plus brillantes de tous les temps. Sa force principale est de savoir faire le lien entre diverses approches mathématiques. Elle laisse à la postérité grand nombre de théorèmes (dont le théorème de Noether en sciences physiques, qu’Einstein qualifie de « monument de la pensée mathématique ») et participe à l’évolution de la théorie des ensembles. Non seulement Einstein, mais d’autres scientifiques comme Hilbert ou Klein reconnaissent son génie et son travail, mais la discrimination à l’égard des femmes sur le sujet l&#x27;empêche d’obtenir un poste d’enseignant universitaire. En 1933, les lois raciales du régime nazi l’oblige à émigrer aux Etats Unis où elle sera nommée dans une petite université réservée aux femmes. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Emmy Noether.
  10. -3000 - :Mésopotamie, 1<sup class="sc-bXGyLb dNMNqR">ère</sup> numération en base 60 |
  11. -2700 - :Arithmétique chinoise |
  12. -1800 - :Babylone : <strong class="sc-gojNiO hJyaXg">tablette YBC 7289</strong> et calcul de <span class="sc-ktHwxA kLoJAe"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{2}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.13278em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.90722em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord">2</span></span></span><span style="top:-2.86722em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.13278em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> |
  13. -1650 - :Égypte, Papyrus de Rhind |
  14. 450 - :Apparition du 0 en tant que nombre (Inde) |
  15. 750 - :Adoption de la numération indienne par les arabes |
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