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Calcul numérique
P.19-21



Calcul numérique




Cours


Voir les Rappels de collège pages 331 et 332 pour le cours sur les fractions et les puissances.

Définition
Soit aa un nombre réel positif. La racine carré de aa est l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à a.a .
Pour tout a0a \geqslant 0 , (a)2=a.(\sqrt{a})^2 = a.

Notation

La racine carrée de aa s’écrit a.\sqrt{a}.

Remarque

0=0\sqrt{0} = 0
1=1\sqrt{1} = 1

Propriétés
Soient aa et bb deux nombres réels positifs. On a alors :
1. ab=ab\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
2. Si b0b \ne 0, ab=ab.\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
3. Si aa et bb sont strictements positifs, alors a+b<a+b.\sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.

DÉMONSTRATION

1. On considère aa et bb des nombres réels positifs. On en déduit que ab0ab \geqslant 0 donc (ab)2=ab.(\sqrt{a b})^{2}=a b.
De plus, (ab)2=a2b2=ab.(\sqrt{a} \sqrt{b})^{2}=\sqrt{a}^{2} \sqrt{b}^{2}=a b.
Ainsi, ab\sqrt{ab} et ab\sqrt{a} \sqrt{b} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
2. Avec b0b \ne 0, on a ab0\dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc (ab)2=ab.\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^{2}=\dfrac{a}{b}. De plus, (ab)2=a2b2=ab.\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{a}^{2}}{\sqrt{b}^{2}}=\dfrac{a}{b}.
Par conséquent, ab\sqrt{\dfrac{a}{b}} et ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
3. Considérons le triangle rectangle ABC\text{ABC} suivant.
Calcul numérique

D’après le théorème de Pythagore, BC=AB2+AC2=a2+b2=a+b.\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}}=\sqrt{a+b}.
Les points ne sont pas alignés. L’inégalité triangulaire nous donne par ailleurs BC<AB+AC.\text{BC} \lt \text{AB} + \text{AC} .
On a alors : a+b<a+b.\sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.

Démonstrations au programme





Exemples
  • 28=4×7=4×7=27\sqrt{28}=\sqrt{4 \times 7}=\sqrt{4} \times \sqrt{7}=2 \sqrt{7}
  • 16+9=25=5\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 et 16+9=4+3=7.\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7. On a bien 5<75 \lt 7

Propriété

Pour tout nombre réel aa , on a a2=a.\sqrt{a^{2}}=\left|a\right|.

DÉMONSTRATION

Pour tout a0a \geqslant 0, a2=a×a=a×a=(a)2=a=a.\sqrt{a^{2}}=\sqrt{a \times a}=\sqrt{a} \times \sqrt{a}=(\sqrt{a})^{2}=a=\left|a\right|.
Pour tout a<0a \lt 0, a2=(a)2.a^{2}=(-a)^{2}. On a donc a>0-a > 0 et a2=(a)2=a=a.\sqrt{a^{2}}=\sqrt{(-a)^{2}}=-a=\left|a\right|.

Exercices

1
Racines carrées


34
[Calculer.]
Effectuer les calculs suivants.

1. 4\sqrt{4}

2. (6)2\sqrt{(-6)^{2}}

3. 112\sqrt{11}^{2}

4. 54\sqrt{5^{4}}


35
[Calculer.]
Déterminer les valeurs exactes des nombres suivants.

1. 72+32\sqrt{7^{2}+3^{2}}

2. 169×144\sqrt{169 \times 144}

3. 169144\sqrt{169}-\sqrt{144}

4. 169144\sqrt{169-144}

36
[Raisonner.]
Sans utiliser la calculatrice, déterminer, si elle existe, la racine carrée des nombres suivants.

1. 256256

2. 16-16

3. 256\sqrt{256}

4. (2)2(-2)^2

37
[Calculer.]
Écrire sous la forme a\sqrt{a} avec a>0.a > 0 .

1. 7×6\sqrt{7} \times \sqrt{6}

2. 15÷5\sqrt{15} \div \sqrt{5}

3. 16+9\sqrt{16}+\sqrt{9}

4. 434 \sqrt{3}

38
[Calculer.]
Écrire sous la forme a\sqrt{a} avec a>0.a > 0 .

1. 232 \sqrt{3}

2. 323 \sqrt{2}

3. 575 \sqrt{7}

4. 626 \sqrt{2}

39
[Calculer.]
Écrire sous la forme aba\sqrt{b}aa et bb sont des nombres entiers strictement positifs, bb étant le plus petit possible.

1. 50\sqrt{50}

2. 200\sqrt{200}

3. 147\sqrt{147}

4. 54\sqrt{54}

40
[Chercher.]
Écrire sous la forme aba\sqrt{b}aa et bb avec la valeur de bb donnée.

1. 50+8+18\sqrt{50}+\sqrt{8}+\sqrt{18} avec b=2.b=2.

2. 75+48+12\sqrt{75}+\sqrt{48}+\sqrt{12} avec b=3.b=3.

3. 2712+300\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{300} avec b=3.b=3.

4. 175+63+28\sqrt{175}+\sqrt{63}+\sqrt{28} en déterminant b.b.

41
[Chercher.]
Écrire sous la forme aba\sqrt{b}bb est un entier naturel non nul le plus petit possible.

1. 80+545\sqrt{80}+5 \sqrt{45}

2. 2723502 \sqrt{72}-3 \sqrt{50}

42
[Chercher.]
On considère un triangle ABC\text{ABC} dont les côtés mesurent : AB=43,\text{AB} = 4\sqrt{3}, BC=212\text{BC} = 2\sqrt{12} et CA=46.\text{CA} = 4\sqrt{6} .
Quelle est la nature de ce triangle ?

43
[Calculer.]
On considère un champ carré dont la diagonale mesure 7 dam.

Champ fleurs

1. Quelle est la longueur exacte de son côté ?

2. Quelle est son aire ?

44
[Calculer.]
Calculer pour x=3x=\sqrt{3} et y=2.y=\sqrt{2}.

1. x4yx^{4}-y

2. 2x2+2x+32 x^{2}+2 x+3

3. (x+2)(x3)(x+2)(x-3)

4. x3×y3x^{3} \times y^{3}

2
Fractions


45
[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée.

1. 23+715\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{15}

2. 1330715+53\dfrac{13}{30}-\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{3}

3. 29815\dfrac{-2}{9}-\dfrac{-8}{15}

4. 211+2\dfrac{2}{11}+2


46
[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée.

1. 71256×12\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{2}

2. 74÷216×23\dfrac{7}{4} \div 2-\dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{-3}

3. 712÷(56+12)\dfrac{7}{12} \div\left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}\right)

4. (35)256\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}-\dfrac{-5}{6}


47
[Calculer.]
Sans utiliser de calculatrice, déterminer la forme simplifiée des nombres suivants.

1. 23(2+34)\dfrac{2}{3}\left(2+\dfrac{3}{4}\right)

2. 23×2+34\dfrac{2}{3} \times 2+\dfrac{3}{4}

3. 12+1316\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}

4. 12÷13÷14÷15\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{4} \div \dfrac{1}{5}


48
[Chercher.]
On considère les fractions suivantes : 23\dfrac{2}{3} ; 728\dfrac{7}{28} ; 2114\dfrac{21}{14} ; 1520\dfrac{15}{20} ; 728.-\dfrac{7}{28}.

1. Deux d’entre elles ont pour somme 1, lesquelles ?

2. Deux d’entre elles sont inverses, lesquelles ?

3. Laquelle de ces fractions est la plus petite ?


49
[Chercher.]
Déterminer l’écriture simplifiée de l’expression : 1+12+13+14+15+16+17.1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}.


50
[Calculer.]
Montrer que pour tout entier naturel nn non nul,1n21n1n2+1n=1n1+n.\dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1-n}{1+n}.


51
[Calculer.]
Montrer que pour tout entier naturel n0n \ne 0,1n+11n=1n(n+1).\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.


52
[Calculer.]
Soient aa , bb , cc et dd quatre nombres réels non nuls tels que ad+bc0ad + bc \neq 0.
Montrer que (ab+cd)×bdad+bc=1.\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right) \times \dfrac{b d}{a d+b c}=1.

3
Puissances


53
VRAI / FAUX
[Calculer.]
Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse.

1. 2302^{-3} \leqslant 0

2. (2)30(-2)^{-3} \leqslant 0

3. (3)20(-3)^{-2} \leqslant 0

4. 220-2^{2} \leqslant 0


54
[Calculer.]
Lesquelles de ces expressions sont égales ? Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice.

1. 21002^{100}

2. 1420×(2)60\dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

3. 1002100^{2}

4. 54×245^{4} \times 2^{4}

5. (220)5\left(2^{20}\right)^{5}

6. 2002200^{2}

7. 50450^{4}

8. (2)99×2(-2)^{99} \times 2

9. 1000010\, 000

55
[Calculer.]
Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice.

1. 1+321+3^{2}

2. 2×532 \times 5^{3}

3. (2×5)3(2 \times 5)^{3}

4. 21+522^{-1}+5^{-2}


56
[Calculer.]
Écrire les nombres suivants en notation scientifique.

1. 232232

2. 75,775{,}7

3. 0,9580{,}958

4. 100000100\,000


57
[Modéliser.]
La vitesse de la lumière dans le vide est de 3×1083 \times 10^8 m·s–1. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année de 365 jours ? Donner l’écriture scientifique du résultat.


58
[Modéliser.]

Calcul numérique

L’énergie cinétique d’un objet de masse mm (en kg) et de vitesse vv (en m·s–1) est Ec=12mv2.\mathrm{E}_{c}=\dfrac{1}{2} m v^{2}.
Quelle est la vitesse d’un objet de masse 75 kg et dont l’énergie cinétique est de 2 400 J (J = Joule) ?


59
[Modéliser.]
Une molécule d’hydrogène pèse 1,0081{,}008 unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente 1,660538922×10271{,}660\,538\,922 \times 10^{-27} kg. Dans un litre d’hydrogène, il y a 5,38×10225{,}38 \times 10^{22} molécules.
Quelle est la masse d’un litre d’hydrogène ?


60
ALGO
[Modéliser.]
Une puissance d’un nombre positif aa est un nombre qui s’écrit sous la forme ana^n avec nN.n \in \N . Par exemple, les premières puissances de 22 sont : 20=12^0 = 1 ; 21=22^1 = 2 ; 22=42^2 = 4 , etc.

1. a. Quelle est la cinquième puissance de 22 ?

b. Déterminer la plus petite puissance de 22 supérieure ou égale à 100.100.

c. Déterminer la plus grande puissance de 22 inférieure ou égale à 1000.1\,000.

2. Répondre aux trois questions précédentes avec les puissances de 3.3.

3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite puissance de 22 supérieure ou égale à 10000.10\,000.

n0Tant que 2n<10000, faire :nn+1Fin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } n \leftarrow 0 \\ \text{Tant que } 2^n \lt 10\, 000 \text {, faire :}\\ \quad n \leftarrow n+1 \\ \text {Fin Tant que} \end{array} }

Quelle sera la dernière valeur de nn calculée par l’algorithme ?

4. Modifier l’algorithme précédent pour obtenir la plus grande puissance de 22 inférieure ou égale à 50000.50\,000.



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