Calcul numérique

$a$ un nombre réel positif. La racine carré de $a$ est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a.$ Pour tout $a⩾0$, $(\sqrt{a}{)}^2=a.$

La racine carrée de $a$ s'écrit $\sqrt{a}.$

• $\sqrt{0}=0$
• $\sqrt{1}=1$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. On a alors :
1. $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
2. Si $b\ne 0$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$
3. Si $a$ et $b$ sont strictements positifs, alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}.$

1. On considère $a$ et $b$ des nombres réels positifs. On en déduit que $ab⩾0$ donc $(\sqrt{ab}{)}^2=ab.$ De plus, $(\sqrt{a}\sqrt{b}{)}^2={\sqrt{a}}^2{\sqrt{b}}^2=ab.$ Ainsi, $\sqrt{ab}$ et $\sqrt{a}\sqrt{b}$ sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
2. Avec $b\ne 0$, on a $\frac{a}{b}⩾0$ donc ${\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)}^2=\frac{a}{b}.$ De plus, ${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{{\sqrt{a}}^2}{{\sqrt{b}}^2}=\frac{a}{b}.$
Par conséquent, $\sqrt{\frac{a}{b}}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
3. Considérons le triangle rectangle $\text{ABC}$ suivant.

D'après le théorème de Pythagore, $\mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}=\sqrt{{\sqrt{a}}^2+{\sqrt{b}}^2}=\sqrt{a+b}.$
Les points ne sont pas alignés. L'inégalité triangulaire nous donne par ailleurs $\text{BC}<\text{AB}+\text{AC}.$
On a alors : $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Pour tout nombre réel $a$, on a $\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

Pour tout $a⩾0$, $\sqrt{a^2}=\sqrt{a\times a}=\sqrt{a}\times \sqrt{a}=(\sqrt{a}{)}^2=a=\left|a\right|.$ Pour tout $a<0$, $a^2=(-a{)}^2.$ On a donc $-a>0$ et $\sqrt{a^2}=\sqrt{(-a{)}^2}=-a=\left|a\right|.$

34

[Calculer.]
Effectuer les calculs suivants. 1. $\sqrt{4}$

2. $\sqrt{(-6{)}^2}$

3. ${\sqrt{11}}^2$

4. $\sqrt{5^4}$

35

[Calculer.]
Déterminer les valeurs exactes des nombres suivants. 1. $\sqrt{7^2+3^2}$

Insérer une formule mathématique

2. $\sqrt{169\times 144}$

Insérer une formule mathématique

3. $\sqrt{169}-\sqrt{144}$

Insérer une formule mathématique

4. $\sqrt{169-144}$

Insérer une formule mathématique

36

[Raisonner.]
Sans utiliser la calculatrice, déterminer, si elle existe, la racine carrée des nombres suivants. 1. $256$

2. $-16$

3. $\sqrt{256}$

4. $(-2{)}^2$

37

[Calculer.]
Écrire sous la forme $\sqrt{a}$ avec $a>0.$ 1. $\sqrt{7}\times \sqrt{6}$

2. $\sqrt{15}÷\sqrt{5}$

3. $\sqrt{16}+\sqrt{9}$

4. $4\sqrt{3}$

38

[Calculer.]
Écrire sous la forme $\sqrt{a}$ avec $a>0.$ 1. $2\sqrt{3}$

Insérer une formule mathématique

2. $3\sqrt{2}$

Insérer une formule mathématique

3. $5\sqrt{7}$

Insérer une formule mathématique

4. $6\sqrt{2}$

Insérer une formule mathématique

39

[Calculer.]
Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers strictement positifs, $b$ étant le plus petit possible. 1. $\sqrt{50}$

2. $\sqrt{200}$

3. $\sqrt{147}$

4. $\sqrt{54}$

41

[Chercher.]
Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est un entier naturel non nul le plus petit possible. 1. $\sqrt{80}+5\sqrt{45}$

2. $2\sqrt{72}-3\sqrt{50}$

42

[Chercher.] On considère un triangle $\text{ABC}$ dont les côtés mesurent : $\text{AB}=4\sqrt{3},$ $\text{BC}=2\sqrt{12}$ et $\text{CA}=4\sqrt{6}.$ Quelle est la nature de ce triangle ?

Insérer une formule mathématique

43

[Calculer.]
On considère un champ carré dont la diagonale mesure 7 dam.
1. Quelle est la longueur exacte de son côté ?

2. Quelle est son aire ?

44

[Calculer.]
Calculer pour $x=\sqrt{3}$ et $y=\sqrt{2}.$ 1. $x^4-y$

2. $2x^2+2x+3$

3. $(x+2)(x-3)$

4. $x^3\times y^3$

45

[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée. 1. $\frac{2}{3}+\frac{7}{15}$

Insérer une formule mathématique

2. $\frac{13}{30}-\frac{7}{15}+\frac{5}{3}$

Insérer une formule mathématique

3. $\frac{-2}{9}-\frac{-8}{15}$

Insérer une formule mathématique

4. $\frac{2}{11}+2$

Insérer une formule mathématique

46

[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée. 1. $\frac{7}{12}-\frac{5}{6}\times \frac{1}{2}$

2. $\frac{7}{4}÷2-\frac{1}{6}\times \frac{2}{-3}$

3. $\frac{7}{12}÷\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{2}\right)$

4. ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2-\frac{-5}{6}$

47

[Calculer.]
Sans utiliser de calculatrice, déterminer la forme simplifiée des nombres suivants. 1. $\frac{2}{3}\left(2+\frac{3}{4}\right)$

2. $\frac{2}{3}\times 2+\frac{3}{4}$

3. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$

4. $\frac{1}{2}÷\frac{1}{3}÷\frac{1}{4}÷\frac{1}{5}$

48

[Chercher.]
On considère les fractions suivantes : $\frac{2}{3}$; $\frac{7}{28}$; $\frac{21}{14}$; $\frac{15}{20}$; $-\frac{7}{28}.$ 1. Deux d'entre elles ont pour somme 1, lesquelles ?

2. Deux d'entre elles sont inverses, lesquelles ?

3. Laquelle de ces fractions est la plus petite ?

49

[Chercher.]
Déterminer l'écriture simplifiée de l'expression : $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}.$

50

[Calculer.] Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,$\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}=\frac{1-n}{1+n}.$

51

[Calculer.] Montrer que pour tout entier naturel $n\ne 0$,$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}.$

52

[Calculer.] Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels non nuls tels que $ad+bc\ne 0$. Montrer que $\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\times \frac{bd}{ad+bc}=1.$

53

Vrai / Faux

[Calculer.]
Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse. 1. $2^{-3}⩽0$

Insérer une formule mathématique

2. $(-2{)}^{-3}⩽0$

Insérer une formule mathématique

3. $(-3{)}^{-2}⩽0$

Insérer une formule mathématique

4. $-2^2⩽0$

Insérer une formule mathématique

54

[Calculer.] Lesquelles de ces expressions sont égales ? Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice. 1. $2^{100}$

2. $\frac{1}{4^{-20}}\times (-2{)}^{60}$

3. $100^2$

4. $5^4\times 2^4$

5. ${\left(2^{20}\right)}^5$

6. $200^2$

7. $50^4$

8. $(-2{)}^{99}\times 2$

9. $10000$

55

[Calculer.]
Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice. 1. $1+3^2$

2. $2\times 5^3$

3. $(2\times 5{)}^3$

4. $2^{-1}+5^{-2}$

56

[Calculer.]
Écrire les nombres suivants en notation scientifique. 1. $232$

2. $75,7$

3. $0,958$

4. $100000$

57

[Modéliser.] La vitesse de la lumière dans le vide est de $3\times 10^8$ m·s^–1. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année de 365 jours ? Donner l'écriture scientifique du résultat.

59

[Modéliser.] Une molécule d'hydrogène pèse $1,008$ unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente $1,660538922\times 10^{-27}$ kg. Dans un litre d'hydrogène, il y a $5,38\times 10^{22}$ molécules. Quelle est la masse d'un litre d'hydrogène ?

58

[Modéliser.] L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse $v$ (en m·s^–1) est ${\mathrm{E}}_c=\frac{1}{2}m{v}^2.$
Quelle est la vitesse d'un objet de masse 75 kg et dont l'énergie cinétique est de 2 400 J (J = Joule) ?