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Préparer la première - Nombres et calculs





8
Soit nN.n \in \N . Simplifier le plus possible les nombres suivants.

1. 3×2n6×2n3 \times 2^{n}-6 \times 2^{n}


2. 5×5n5n5 \times 5^{n}-5^{n}


3. 2×(1)n3×(1)n2 \times(-1)^{n}-3 \times(-1)^{n}


4. 13n13\dfrac{1-3^{n}}{1-3}


5. 5×10,5n10,55 \times \dfrac{1-0{,}5^{n}}{1-0{,}5}


6. 25×1(15)n115\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{5}}

2
Résoudre les systèmes suivants.

1. (S1){3x2y=25x4y=0\left(\mathrm{S}_{1}\right)\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=2} \\ {5 x-4 y=0}\end{array}\right.


2. (S2){x+2y=13x+3y=2\left(\mathrm{S}_{2}\right)\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=-1} \\ {3 x+3 y=2}\end{array}\right.

22
1. Justifier que pour tous réels aa et bb, on a :

a. a2+2ab=(a+b)2b2a^{2}+2 a b=(a+b)^{2}-b^{2}


b. a22ab=(ab)2b2a^{2}-2 a b=(a-b)^{2}-b^{2}


2. Pour tout réel xx , écrire les expressions suivantes sous la forme a(xα)2+βa(x-\alpha)^{2}+\beta, où aa , α\alpha et β\beta sont des réels tels que a0.a \ne 0 .

a. x2+2x5x^{2}+2 x-5


b. x23x+2x^{2}-3 x+2


c. x2+7xx^{2}+7 x


d. 5x215x+105 x^{2}-15 x+10


e. 2x2+6x+82 x^{2}+6 x+8


Remarque : La forme a(xα)2+βa(x-\alpha)^{2}+\beta est appelée forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.

5
Démontrer les égalités suivantes.

1. 12=22\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}


2. 123=2+3\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}


3. 17+1=716\dfrac{1}{\sqrt{7}+1}=\dfrac{\sqrt{7}-1}{6}


4. 1x=xx\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x} avec x>0 x>0


5. 1x+5=x5x25\dfrac{1}{\sqrt{x}+5}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{x-25} avec x0 x\geqslant 0 et x25x\ne 25


6. n+1n=1n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} avec nN n\in \N



18
Soit nN.n \in \N . Démontrer que 3n13n - 1 divise 6n22n.6n^2 - 2n .



23
Résoudre les équations suivantes dans R.\R . On pourra, si besoin, utiliser la technique de l’exercice précédent.

1. x2+2x+1=0x^{2}+2 x+1=0


2. x2+2x5=0x^{2}+2 x-5=0


3. x2+7x+3=3x^{2}+7 x+3=3


4. 3x2+18x6=03 x^{2}+18 x-6=0


5. 2x28x=10-2 x^{2}-8 x=10



21
Soient qq un réel différent de 11 et nN.n \in \N^* .

1. On pose Gn=1+q+q2++qn\mathrm{G}_{n}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}
a. Déterminer une expression simple de (1q)Gn(1 -q) \text{G}_n en fonction de qq et n.n .

b. En déduire une expression de Gn\text{G}_n en fonction de qq et n.n .


2. Melvin décide d’acheter une nouvelle console de jeux. Pour cela, il a besoin de 299 €. Ses parents lui donne 5 euros le premier mois et augmentent ensuite son argent de poche de 10 % tous les mois. Cela signifie que, tous les mois, le montant est multiplié par 1,1.1{,}1.
En utilisant la question précédente et une calculatrice, déterminer le nombre de mois nécessaires pour que Melvin puisse acheter la console.


Tirelire argent

20
On considère un entier naturel nn non nul.

1. On pose Sn=1+2+3++(n2)+(n1)+n.\mathrm{S}_{n}=1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n.
a. En remarquant que Sn=n+(n1)+(n2)++3+2+1\mathrm{S}_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1 déterminer une expression de 2Sn2\mathrm{S}_n en fonction de n.n .

b. En déduire une expression de Sn\mathrm{S}_n en fonction de n.n .

c. Calculer 1+2+3++1031.1+2+3+\dots+1\,031.


2. Déduire des questions précédentes que n(n+1)n(n + 1) est un nombre pair pour tout entier naturel nn non nul.

19
Soit N\N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N=a2b2N = a^2 - b^2aa et bb sont deux entiers naturels.

1. Montrer que aa et bb n’ont pas la même parité.


2. Montrer que NN peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels pp et q.q .


3. Quelle est la parité de pp et de qq ?

17
Démontrer les propositions suivantes.

1. Le carré d’un nombre pair est divisible par 4.


2. Le carré d’un nombre impair est impair.

13
On considère l’équation (E):31x21=0.(\mathrm{E}) : 3 \sqrt{\left|1-x^{2}\right|}-1=0.
À l’aide de tableaux de valeurs obtenus avec une calculatrice, donner :
1. un encadrement des solutions de l’équation (E)(\mathrm{E}) d'amplitude :
a. 11

b. 10210^{-2}


2. une valeur approchée à 10310^{-3} près de chacune des solutions.

14
L’objectif de cet exercice est de déterminer l’ensemble des entiers naturels xx vérifiant l’équation
(E):x(x+5)=36.(\mathrm{E}) : x(x+5)=36.

1. Donner l’ensemble des diviseurs positifs de 36.36.


2. En déduire les solutions de (E)(\mathrm{E})

10
Résoudre les équations suivantes dans R.\R .

1. (3x2)(25x)=0(3 x-2)(2-5 x)=0


2. (2x+6)(x+3)=2(2 x+6)(x+3)=2


3. (7x1)+(3x1)=0(7 x-1)+(3 x-1)=0

4
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions dont voici une expression.

1. f(x)=3x1xf(x)=\dfrac{3 x}{1-\sqrt{x}}


2. g(x)=9x24g(x)=\sqrt{9 x^{2}-4}


3. h(x)=4x+852xh(x)=\dfrac{4 x+8}{5-2 x}


4. i(x)=4x+852xi(x)=\dfrac{4 x+8}{\sqrt{5-2 x}}


Préparer la première - Nombres et calculs

Histoire des maths

Muhammad Al-Khwârizmî

Muhammad Al-Khwârizmî est un célèbre mathématicien du VIIIe siècle. Il est l’un des fondateurs de l’algèbre, la branche des mathématiques qui traite entre autres de la résolution d’équations. Il a été un des premiers à mettre en forme et à résoudre des équations du second degré.

3
Dans un repère du plan, dd et dd' sont deux droites d’équations respectives 2x3y+5=02x - 3y + 5 = 0 et 5y+4x1=0.5y + 4x - 1 = 0 .

Déterminer les coordonnées du point d’intersection de dd et d.d'.

16
On considère un entier naturel n.n .

1. Démontrer que si nn est pair, alors n(n+1)n(n + 1) est pair.


2. Démontrer que si nn est impair, alors n(n+1)n(n + 1) est pair.


3. Que peut-on conclure sur n(n+1)n(n + 1) ?

7
1. a. Développer et réduire l’expression suivante : (357)2.(3-5 \sqrt{7})^{2}.

b. Résoudre dans R\R l’équation : x2=184307.x^{2}=184-30 \sqrt{7}.


2. Résoudre dans R\R l’équation : x2=37203.x^{2}=37-20 \sqrt{3}.

15
En utilisant la même méthode que dans l'exercice précédent, résoudre dans N:\N\,:

1. x(x+5)=24x(x+5)=24


2. x(x+1)=42x(x+1)=42

11
xx et yy sont deux réels non nuls distincts.
Comparer les nombres A=2xyxy\mathrm{A}=\dfrac{-2 x y}{x-y} et B=xy2.\mathrm{B}=\dfrac{x-y}{2}.

9
On considère un réel xx tel que 3<x5.-3 \lt x \leqslant 5 .
Déterminer un encadrement de 52x.5 - 2x .

Histoire des maths

Carl Friedrich Gauss

Selon une légende, pendant un cours, l’instituteur de Carl Friedrich Gauss (célèbre mathématicien, 1777-1855) voulant obtenir le calme dans sa classe, demanda à ses élèves de calculer la somme 1+2++100.1+2+\dots+100. C’est en utilisant la technique précédente que Carl Friedrich trouva rapidement la réponse.

12
Déterminer le signe de 5(x2)2\dfrac{-5}{(x-2)^{2}} en fonction des valeurs du réel x.x .

1
Soient xx et yy deux réels tels que x=y382y.x=\dfrac{y-3}{8-2 y}.

1. Pour quelles valeurs de yy cette égalité est-elle définie ?


2. Exprimer yy en fonction de x.x . Préciser pour quelles valeurs de xx cette autre égalité est définie.

6
1. Calculer (1+6)2.(1+\sqrt{6})^{2}.


2. Calculer (1+6)4.(1+\sqrt{6})^{4}.


3. Calculer (1+6)6.(1+\sqrt{6})^{6}.
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