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Synthèse





Histoire des maths


Georg Cantor (1845-1918)

Georg Cantor (1845-1918) était un mathématicien allemand. Il est le fondateur de la théorie des ensembles. Il a démontré en particulier que l’intervalle [0;1][0\, ; 1] contient plus de nombres que l’ensemble des nombres entiers naturels, alors que l’ensemble des nombres entiers relatifs contient autant de nombres que l’ensemble des nombres entiers naturels.

133
[Chercher.]
On considère l’inéquation n+1n+4n+3n+7\dfrac{n+1}{n+4} \leqslant \dfrac{n+3}{n+7} , dans laquelle nn est un nombre réel.
1. Déterminer l’ensemble de définition de cette inéquation.


2. Résoudre cette inéquation dans N.\N .

129
[Calculer.]
On considère les deux programmes de calcul suivants.
Programme A Programme B
  • Choisir un nombre ;
  • soustraire 55 ;
  • multiplier ce résultat par le triple du nombre de départ ;
  • ajouter 33 au résultat.
  • Choisir un nombre ;
  • multiplier ce nombre par 33 ;
  • ajouter 99 ;
  • prendre l’opposé du résultat.

On note A(x)\mathrm{A}(x) et B(x)\mathrm{B}(x) les résultats des programmes A\mathrm{A} et B\mathrm{B} quand on choisit le nombre réel x.x .

1. Quel résultat obtient-on avec chaque programme lorsque l’on choisit le nombre 33 ? Et le nombre 12\dfrac{1}{2} ?


2. Exprimer A(x)\mathrm{A}(x) et B(x)\mathrm{B}(x) en fonction de x.x .


3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient chacun des nombres A(0)\mathrm{A}(0), B(0)\mathrm{B}(0), A(1)\mathrm{A}(1), B(5)\mathrm{B}(-5)?


4. Résoudre B(x)=0.\mathrm{B}(x)=0.


5. À l’aide d’un tableur ou de la calculatrice, résoudre, à 0,010{,}01 près, A(x)=0.\mathrm{A}(x)=0.

6. Montrer que A(x)=B(x)\mathrm{A}(x) = \mathrm{B}(x) est équivalent à 3x212x+12=0.3x^2 - 12x + 12 = 0 .


7. À l’aide d’une identité remarquable, résoudre A(x)=B(x).\mathrm{A}(x) = \mathrm{B}(x). Que peut-on en déduire sur les deux programmes de calculs ?

136
[Calculer.]
Soient aa et bb deux nombres réels qui ne sont ni égaux, ni opposés. On considère l’expression C=3ab.\mathrm{C}=\dfrac{3}{a-b}.
1. Montrer que C=3(a+b)a2b2.\text{C}=\dfrac{3(a+b)}{a^{2}-b^{2}}.


2. En déduire que385=8+5.\dfrac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}=\sqrt{8}+\sqrt{5}.

132
[Représenter.]
On considère l’intervalle [0;1].[0\, ; 1] . On lui applique l’algorithme suivant :
  • Couper l’intervalle en 3 parties égales.
  • Retirer la partie du milieu.
  • Recommencer les étapes 1 et 2 avec les deux segments restants.
  • Recommencer les étapes 1 et 2 avec les quatre segments restants.

Nombres et calculs

1. Quelle est la longueur totale des 8 segments restants ?


2. 118\dfrac{1}{18} appartient-il à l’un des 8 segments restants ?

130
[Calculer.]
On considère l’équation x3x=0.x^{3}-x=0.
1. Montrer que, pour tout xRx \in \R , x3x=x(x21).x^{3}-x=x\left(x^{2}-1\right).


2. En déduire toutes les solutions de l’équation x3x=0.x^{3}-x=0.


3. Quel est le plus petit ensemble de nombres qui les contient toutes ?

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
; et

Club de Maths


140
APPROFONDISSEMENT

Un nombre possède un développement décimal illimité périodique lorsque son développement décimal est illimité et qu’une séquence de nombres se répète.
Par exemple, 107=1,428571428571\dfrac{10}{7}=1{,}428571428571 \ldots La période est 428571428\,571 et on note alors : 107=1,428571.\dfrac{10}{7}=1{,} \overline{428571}.
1. Quelle est la période des nombres 13\dfrac{1}{3} et 4511\dfrac{45}{11} ?


2. On cherche le nombre rationnel xx tel que x=39,27.x = 39{,}\overline{27}.
a. Comment écrire 100x100x ?

b. Calculer alors 100xx100x - x et en déduire une écriture fractionnaire de x.x .

c. Simplifier au maximum cette écriture fractionnaire et vérifier à la calculatrice.


Remarque : Un nombre réel admet un développement décimal illimité périodique si, et seulement si, ce nombre est rationnel.

137
DÉFI

On considère la figure obtenue à l’aide de l’algorithme de l’exercice
132
(voir ci-dessous)
Nombres et calculs

Écrire un programme avec Python permettant de reproduire cette figure.





139
APPROFONDISSEMENT

On appelle développement décimal d’un nombre réel une façon de l’écrire à l’aide de puissances de 10.10. Par exemple, le développement décimal du nombre 13,67513{,}675 est : 13,675=1×101+3×100+6×101+7×102+5×103.13,675=1 \times 10^{1}+3 \times 10^{0}+6 \times 10^{-1}+7 \times 10^{-2}+5 \times 10^{-3}.
1. Donner le développement décimal de chacun des nombres suivants : 18,318{,}3 ; 105,42-105{,}42 ; 0,0030{,}003 ; 14\dfrac{1}{4} et 11225.\dfrac{112}{25}.


2. Pourquoi dit-on que les nombres π\pi ; 2\sqrt{2} et 107\dfrac{10}{7} ont un développement décimal illimité ?

138
ÉNIGME


1. Quel est le plus grand nombre premier inférieur à 1000010\, 000 ?


2. Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à 10001\,000 ? à 1000010\,000 ? à 100000100\,000 ?

141
CASSE-TÊTE

Soit pp un nombre premier supérieur ou égal à 5.5. Montrer que p21p^2 - 1 est un multiple de 24.24.



134
[Chercher.]
Pour tous nombres réels strictement positifs aa et bb , on note : A(a;b)=a+b2\mathrm{A}(a\:; b)=\dfrac{a+b}{2} et G(a;b)=ab.\mathrm{G}(a\:; b)=\sqrt{a b}.
A(a;b)\mathrm{A}(a\:; b) est appelée moyenne arithmétique de aa et b.b .
G(a;b)\mathrm{G}(a\:; b) est appelée moyenne géométrique de aa et b.b .

1. Calculer et comparer A(9;4)\mathrm{A}(9 \:; 4) et G(9;4). \mathrm{G}(9\:; 4).


2. Calculer et comparer A(2;32)\mathrm{A}(2\:; 32) et G(2;32). \mathrm{G}(2\:; 32).


3. Conjecturer une inégalité entre A(a;b)\mathrm{A}(a\:; b) et G(a;b). \mathrm{G}(a\:; b).


4. Pour tous réels aa et bb strictement positifs, développer (ab)2. (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}.


5. En déduire que, pour tous réels aa et bb strictement positifs, A(a;b)G(a;b). \mathrm{A}(a\:; b) \geqslant \mathrm{G}(a\:; b).

127
[Modéliser.]
La somme des carrés de trois nombres entiers consécutifs est 1085.1\,085. Quels sont ces trois nombres ?
On choisira astucieusement une seule inconnue, et on établira une équation que l’on résoudra.

128
DÉMO
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que 2\sqrt{2} n’est pas un nombre rationnel. On raisonne par l’absurde et on suppose que 2\sqrt{2} peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible ab\dfrac{a}{b}aa et bb sont des entiers naturels non nuls.
1. Montrer que 2b2=a2.2b^2 = a^2 .


2. En déduire que a2a^2 est un nombre pair puis que aa est pair.


3. Démontrer alors que bb est pair.


4. Relever une contradiction et conclure.

Démonstration au programme



135
[Raisonner.]
Pour tous nombres réels aa , bb et cc , on considère l’expression K=(a+b+c)2\mathrm{K}=(a+b+c)^{2} et on pose a+b=h.a + b = h .
1. Montrer que K=h2+2hc+c2.\mathrm{K}=h^{2}+2 h c+c^{2}.


2. En conclure que K=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\mathrm{K}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c

131
[Calculer.]
Soit nn un nombre entier naturel non nul.
1. À l’aide d’un tableur, vérifier que, pour toutes les valeurs de nn entières comprises entre 11 et 1515, la somme des nn premiers nombres pairs est égale à n(n+1).n(n + 1) . Dans la suite de l’exercice, on admettra que pour tout nNn \in \N^* , la somme des nn premiers nombres pairs est n(n+1).n(n + 1).


2. Démontrer que, pour tout entier naturel n0n \ne 0, n2+15n814=(n22)(n+37).n^{2}+15 n-814=(n-22)(n+37).


3. Trouver la valeur de nNn \in \N^* pour laquelle la somme des nn nombres pairs supérieurs ou égaux à 1616 est égale à 814.814.


4. Écrire un programme Python qui donne la solution sans résoudre l’équation.
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