Mathématiques 2de

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Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
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Chapitre 0
Cours et exercices

Arithmétique

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Cours

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Définition
Soient a et b deux nombres entiers relatifs. a est un diviseur de b lorsqu'il existe k \in \Z tel que b = k \times a .
On peut alors dire que : b est un multiple de a ; a divise b ; b est divisible par a .
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Exemple
3 est un diviseur de 36 car 36 = 3 \times 12 .
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Définition
Soit a \in \Z. a est un nombre :
  • pair lorsqu'il existe k \in \Z tel que a = 2 \times k ;
  • impair lorsqu'il existe k \in \Z tel que a = 2 \times k + 1 .
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Remarque

Un nombre pair est un nombre qui est divisible par 2 .
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Exemple
17=8 \times 2+1 est un nombre impair.
38=2 \times 19 est un nombre pair.
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Remarque

Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair.
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Propriété
Soit a \in \Z . L'entier relatif a^2 est impair si, et seulement si, a est impair.
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Logique

On a aussi : l'entier relatif a^2 est pair si, et seulement si, a est pair.
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Démonstration
Soit a un nombre impair. Il existe k \in \Z tel que a = 2k + 1 . On a alors :
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 .
Posons k' = 2k^2 + 2k. k' \in \Z donc a^2 = 2k' + 1 et, par définition, a^2 est impair. On démontre de même que si a est un entier pair alors a^2 est pair.
Par contraposée, si a^2 est impair alors a est impair. L'équivalence est bien démontrée.
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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

Le carré d'un nombre impair est impair

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Théorème
Soit a \in \Z. Si b et b' sont deux multiples de a alors b + b' est un multiple de a .
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Démonstration
Soit a \in \Z et soient b et b' deux multiples de a . Il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = k \times a et b' = k' \times a .
Donc b + b' = k \times a + k' \times a = (k + k')a . k + k' \in \Z donc b + b' est un multiple de a .
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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

Le somme de deux multiples de a est un multiple de a

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Définition
Un entier naturel non nul est dit premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
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Exemple
2 ; 3 ; 5 et 7 sont des nombres premiers. 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur.
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Exercices

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112
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, indiquer si ils sont multiples de 5, multiples de 17 et/ou multiples de 6 . Justifier.

1. 10

2. 85

3. 510

4. 28

5. 34

6. 60

7. 72

8. 97
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113
Algo
[Modéliser.]
1. Le nombre 15 est-il un multiple de 3\:? Justifier.

2. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de tester si un nombre m est un multiple d'un entier naturel non nul n .

3. Programmer cet algorithme à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur et faire des tests.


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114
[Calculer.]
On considère les nombres a = 35 et b = 25 .

1. Donner un multiple de a et un multiple de b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de a et b , c'est un multiple commun à a et à b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de a et b , quel est le plus petit ?
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115
[Calculer.]
On considère les nombres a = 24 et b = 18 .

1. Donner un multiple de a et un multiple de b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de a et b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de a et b , quel est le plus petit ?
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116
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, déduire le plus grand diviseur commun aux deux nombres.

1. 15 et 35

2. 60 et 40

3. 45 et 64

4. 270 et 180
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117
[Calculer.]
Dans chaque cas, chercher le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis mettre la fraction sous forme irréductible.

1. \dfrac{45}{20}

2. \dfrac{63}{42}

3. \dfrac{121}{56}

4. \dfrac{51}{85}
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118
[Calculer.]
Trouver tous les diviseurs premiers des nombres suivants.

1. 21

2. 56

3. 256

4. 301
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119
[Chercher.]
1. Déterminer la liste de tous les nombres premiers compris entre 1 et 30.

2. Parmi ces nombres, quels sont ceux qui sont pairs ?

3. Existe-t-il d'autres nombres premiers pairs ? Justifier.
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120
[Chercher.]
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers ».

1. Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l'intervalle [10\, ; 20 ]

2. Trouver tous les nombres premiers p et p' tels que 100 = p + p' .
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121
[Représenter.]
Soient a et a' deux nombres impairs. Montrer que a^2 + (a')^2 est un nombre pair.
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122
Démo
[Raisonner.]
Démontrer la proposition suivante : « Un entier est pair si, et seulement si, son carré est pair. »
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123
Démo
[Raisonner.]
Soit a un nombre impair. Démontrer que a^3 est un nombre impair.
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125
[Modéliser.]
Une crèche dispose de 60 dalles carrées en mousse. Elle souhaite les placer de manière à former un rectangle.

1. Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle ?

2. Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?
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124
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Déterminer, en justifiant, si chacune des expressions suivantes est vraie ou fausse.

1. Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs.

2. Il y a plus de nombres premiers entre 20 et 30 qu'entre 40 et 50.

3. Un diviseur d'un nombre premier est forcément premier.
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126
[Modéliser.]
Lors d'un tournoi de pétanque, il y a 80 hommes et 60 femmes inscrits. L'organisation veut constituer un maximum d'équipes mixtes contenant toutes le même nombre d'hommes et le même nombre de femmes.
Combien d'équipes peuvent être constituées ?
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