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Arithmétique
P.28-29


Arithmétique




Cours


Définition
Soient aa et bb deux nombres entiers relatifs. aa est un diviseur de bb lorsqu’il existe kZk \in \Z tel que b=k×a.b = k \times a .
On peut alors dire que : bb est un multiple de aa ; aa divise bb ; bb est divisible par a.a .

Exemple

33 est un diviseur de 3636 car 36=3×12.36 = 3 \times 12 .

Définitions
Soit aZ.a \in \Z. aa est un nombre :
  • pair lorsqu’il existe kZk \in \Z tel que a=2×ka = 2 \times k ;
  • impair lorsqu’il existe kZk \in \Z tel que a=2×k+1.a = 2 \times k + 1 .

Remarque

Un nombre pair est un nombre qui est divisible par 2.2 .

Remarque

Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair.

Exemples

  • 17=8×2+117=8 \times 2+1 est un nombre impair.
  • 38=2×1938=2 \times 19 est un nombre pair.

Propriété

Soit aZ.a \in \Z . L’entier relatif a2a^2 est impair si, et seulement si, aa est impair.

Logique

On a aussi : l’entier relatif a2a^2 est pair si, et seulement si, aa est pair.

DÉMONSTRATION

Soit aa un nombre impair. Il existe kZk \in \Z tel que a=2k+1.a = 2k + 1 . On a alors :
(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1.(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 .
Posons k=2k2+2k.k' = 2k^2 + 2k. kZk' \in \Z donc a2=2k+1a^2 = 2k' + 1 et, par définition, a2a^2 est impair. On démontre de même que si aa est un entier pair alors a2a^2 est pair.
Par contraposée, si a2a^2 est impair alors aa est impair. L’équivalence est bien démontrée.

Démonstration au programme



Théorème

Soit aZ.a \in \Z. Si bb et bb' sont deux multiples de aa alors b+bb + b' est un multiple de a.a .

DÉMONSTRATION

Soit aZa \in \Z et soient bb et bb' deux multiples de a.a . Il existe deux entiers relatifs kk et kk' tels que b=k×ab = k \times a et b=k×a.b' = k' \times a .
Donc b+b=k×a+k×a=(k+k)a.b + b' = k \times a + k' \times a = (k + k')a . k+kZk + k' \in \Z donc b+bb + b' est un multiple de a.a .

Démonstration au programme



Définition

Un entier naturel non nul est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Exemple

22 ; 33 ; 55 et 77 sont des nombres premiers. 11 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.

Exercices


112
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, indiquer si ils sont multiples de 55, multiples de 1717 et/ou multiples de 6.6 . Justifier.

1. 1010

2. 8585

3. 510510

4. 2828

5. 3434

6. 6060

7. 7272

8. 9797

113
ALGO
[Modéliser.]
1. Le nombre 1515 est-il un multiple de 3?3\:? Justifier.

2. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de tester si un nombre mm est un multiple d’un entier naturel non nul n.n .

3. Programmer cet algorithme à l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur et faire des tests.



114
[Calculer.]
On considère les nombres a=35a = 35 et b=25.b = 25 .

1. Donner un multiple de aa et un multiple de b.b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de aa et bb , c’est un multiple commun à aa et à b.b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de aa et bb , quel est le plus petit ?

115
[Calculer.]
On considère les nombres a=24a = 24 et b=18.b = 18 .

1. Donner un multiple de aa et un multiple de b.b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de aa et b.b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de aa et bb , quel est le plus petit ?

116
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, déduire le plus grand diviseur commun aux deux nombres.

1. 1515 et 3535

2. 6060 et 4040

3. 4545 et 6464

4. 270270 et 180180

117
[Calculer.]
Dans chaque cas, chercher le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis mettre la fraction sous forme irréductible.

1. 4520\dfrac{45}{20}

2. 6342\dfrac{63}{42}

3. 12156\dfrac{121}{56}

4. 5185\dfrac{51}{85}

118
[Calculer.]
Trouver tous les diviseurs premiers des nombres suivants.

1. 2121

2. 5656

3. 256256

4. 301301

119
[Chercher.]
1. Déterminer la liste de tous les nombres premiers compris entre 11 et 30.30.

2. Parmi ces nombres, quels sont ceux qui sont pairs ?

3. Existe-t-il d’autres nombres premiers pairs ? Justifier.

120
[Chercher.]
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égal à 44 est la somme de deux nombres premiers ».

1. Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l’intervalle [10;20][10\, ; 20 ]

2. Trouver tous les nombres premiers pp et pp' tels que 100=p+p.100 = p + p' .

121
[Représenter.]
Soient aa et aa' deux nombres impairs. Montrer que a2+(a)2a^2 + (a')^2 est un nombre pair.

122
DÉMO
[Raisonner.]
Démontrer la proposition suivante : « Un entier est pair si, et seulement si, son carré est pair. »

123
DÉMO
[Raisonner.]
Soit aa un nombre impair. Démontrer que a3a^3 est un nombre impair.

124
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Déterminer, en justifiant, si chacune des expressions suivantes est vraie ou fausse.

1. Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs.

2. Il y a plus de nombres premiers entre 2020 et 3030 qu’entre 4040 et 50.50.

3. Un diviseur d’un nombre premier est forcément premier.

125
[Modéliser.]
Une crèche dispose de 60 dalles carrées en mousse. Elle souhaite les placer de manière à former un rectangle.

1. Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle ?

2. Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

126
[Modéliser.]
Lors d’un tournoi de pétanque, il y a 8080 hommes et 6060 femmes inscrits. L’organisation veut constituer un maximum d’équipes mixtes contenant toutes le même nombre d’hommes et le même nombre de femmes.
Combien d’équipes peuvent être constituées ?
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