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Arithmétique




Cours


Propriété

Soit aZ.a \in \Z . L’entier relatif a2a^2 est impair si, et seulement si, aa est impair.

Démonstration au programme


Remarque

Un nombre pair est un nombre qui est divisible par 2.2 .

Définition

Un entier naturel non nul est dit premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Remarque

Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair.

Exemples

  • 17=8×2+117=8 \times 2+1 est un nombre impair.
  • 38=2×1938=2 \times 19 est un nombre pair.

Définitions
Soit aZ.a \in \Z. aa est un nombre :
  • pair lorsqu’il existe kZk \in \Z tel que a=2×ka = 2 \times k ;
  • impair lorsqu’il existe kZk \in \Z tel que a=2×k+1.a = 2 \times k + 1 .

Théorème

Soit aZ.a \in \Z. Si bb et bb' sont deux multiples de aa alors b+bb + b' est un multiple de a.a .

Logique

On a aussi : l’entier relatif a2a^2 est pair si, et seulement si, aa est pair.

Exemple

22 ; 33 ; 55 et 77 sont des nombres premiers. 11 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.

Démonstration au programme



DÉMONSTRATION

Soit aa un nombre impair. Il existe kZk \in \Z tel que a=2k+1.a = 2k + 1 . On a alors :
(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1.(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 .
Posons k=2k2+2k.k' = 2k^2 + 2k. kZk' \in \Z donc a2=2k+1a^2 = 2k' + 1 et, par définition, a2a^2 est impair. On démontre de même que si aa est un entier pair alors a2a^2 est pair.
Par contraposée, si a2a^2 est impair alors aa est impair. L’équivalence est bien démontrée.

DÉMONSTRATION

Soit aZa \in \Z et soient bb et bb' deux multiples de a.a . Il existe deux entiers relatifs kk et kk' tels que b=k×ab = k \times a et b=k×a.b' = k' \times a .
Donc b+b=k×a+k×a=(k+k)a.b + b' = k \times a + k' \times a = (k + k')a . k+kZk + k' \in \Z donc b+bb + b' est un multiple de a.a .

Définition
Soient aa et bb deux nombres entiers relatifs. aa est un diviseur de bb lorsqu’il existe kZk \in \Z tel que b=k×a.b = k \times a .
On peut alors dire que : bb est un multiple de aa ; aa divise bb ; bb est divisible par a.a .

Exemple

33 est un diviseur de 3636 car 36=3×12.36 = 3 \times 12 .

Exercices


113
ALGO
[Modéliser.]
1. Le nombre 1515 est-il un multiple de 3?3\:? Justifier.

2. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de tester si un nombre mm est un multiple d’un entier naturel non nul n.n .

3. Programmer cet algorithme à l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur et faire des tests.



115
[Calculer.]
On considère les nombres a=24a = 24 et b=18.b = 18 .

1. Donner un multiple de aa et un multiple de b.b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de aa et b.b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de aa et bb , quel est le plus petit ?

116
[Calculer.]
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, déduire le plus grand diviseur commun aux deux nombres.

1. 1515 et 3535

2. 6060 et 4040

3. 4545 et 6464

4. 270270 et 180180

125
[Modéliser.]
Une crèche dispose de 60 dalles carrées en mousse. Elle souhaite les placer de manière à former un rectangle.

1. Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle ?

2. Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

124
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Déterminer, en justifiant, si chacune des expressions suivantes est vraie ou fausse.

1. Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs.

2. Il y a plus de nombres premiers entre 2020 et 3030 qu’entre 4040 et 50.50.

3. Un diviseur d’un nombre premier est forcément premier.

123
DÉMO
[Raisonner.]
Soit aa un nombre impair. Démontrer que a3a^3 est un nombre impair.

121
[Représenter.]
Soient aa et aa' deux nombres impairs. Montrer que a2+(a)2a^2 + (a')^2 est un nombre pair.

122
DÉMO
[Raisonner.]
Démontrer la proposition suivante : « Un entier est pair si, et seulement si, son carré est pair. »

114
[Calculer.]
On considère les nombres a=35a = 35 et b=25.b = 25 .

1. Donner un multiple de aa et un multiple de b.b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de aa et bb , c’est un multiple commun à aa et à b.b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de aa et bb , quel est le plus petit ?

112
[Calculer.]
Parmi les nombres suivants, indiquer si ils sont multiples de 55, multiples de 1717 et/ou multiples de 6.6 . Justifier.

1. 1010

2. 8585

3. 510510

4. 2828

5. 3434

6. 6060

7. 7272

8. 9797

119
[Chercher.]
1. Déterminer la liste de tous les nombres premiers compris entre 11 et 30.30.

2. Parmi ces nombres, quels sont ceux qui sont pairs ?

3. Existe-t-il d’autres nombres premiers pairs ? Justifier.

126
[Modéliser.]
Lors d’un tournoi de pétanque, il y a 8080 hommes et 6060 femmes inscrits. L’organisation veut constituer un maximum d’équipes mixtes contenant toutes le même nombre d’hommes et le même nombre de femmes.
Combien d’équipes peuvent être constituées ?

118
[Calculer.]
Trouver tous les diviseurs premiers des nombres suivants.

1. 2121

2. 5656

3. 256256

4. 301301

120
[Chercher.]
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égal à 44 est la somme de deux nombres premiers ».

1. Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l’intervalle [10;20][10\, ; 20 ]

2. Trouver tous les nombres premiers pp et pp' tels que 100=p+p.100 = p + p' .

117
[Calculer.]
Dans chaque cas, chercher le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis mettre la fraction sous forme irréductible.

1. 4520\dfrac{45}{20}

2. 6342\dfrac{63}{42}

3. 12156\dfrac{121}{56}

4. 5185\dfrac{51}{85}
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