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Calcul littéral




Cours


Voir les Rappels de collège pages 330 pour revoir les propriétés de distributivité.

Propriété

Soient aa et bb des nombres réels quelconques. On a alors :
  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
  • (ab)2=a22ab+b2(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}
  • (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

DÉMONSTRATION

Pour tous réels aa et bb :
  • (a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a \times a+a \times b+b \times a+b \times b=a^{2}+2 a b+b^{2}
  • (ab)2=(ab)(ab)=a×aa×bb×a+b×b=a22ab+b2(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a \times a-a \times b-b \times a+b \times b=a^{2}-2 a b+b^{2}
  • (a+b)(ab)=a×aa×b+b×ab×b=a2b2(a+b)(a-b)=a \times a-a \times b+b \times a-b \times b=a^{2}-b^{2}

Démonstration au programme



Exemples

  • (y+3)2=y2+6y+9(y+3)^{2}=y^{2}+6 y+9
  • (2y7)2=(2y)228y+49(2 y-7)^{2}=(2 y)^{2}-28 y+49
  • (x+5)(x5)=x225(x+5)(x-5)=x^{2}-25

Soient aa et bb deux nombres positifs. On considère le carré suivant. L’aire du carré ABDC\text{ABDC} est (a+b)2.(a+b)^{2}. Elle peut aussi se calculer comme la somme des aires des carrés AIHL\text{AIHL} et HJDK\text{HJDK} et des aires des rectangles BKHL\text{BKHL} et HJCI\text{HJCI}, c’est-à-dire a2+ab+ab+b2.a^{2}+a b+a b+b^{2}. On peut alors écrire : (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}.

Démonstration visuelle des identités remarquables

Exercices

Sauf indication contraire, xx est un réel quelconque.


61
[Calculer.]
Choisir pour chaque expression sa forme développée.

1. (x+7)2=(x+7)^{2} =
2. (x+7)2=(x+\sqrt{7})^{2}=
3. (x7)(x+7)=(x-7)(x+7)=
4. (x2+7)(x27)=\left(x^{2}+7\right)\left(x^{2}-7\right)=
5. (x7)2=(x-7)^{2}=

Histoire des maths

Au IXe siècle, les mathématiciens arabes écrivaient les équations en toutes lettres. L’inconnue était appelée « la chose » et le carré de l’inconnue « le carré ».

62
[Calculer.]
À l’aide de l’identité remarquable donnée, développer les expressions algébriques suivantes.

1. (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
a. (x+3)2(x+3)^{2}

b. (2x+8)2(2 x+8)^{2}

c. (4+3x)2(4+3 x)^{2}

d. (13+y)2,yR\left(\dfrac{1}{3}+y\right)^{2}, y \in \mathbb{R}


2. (ab)2=a22ab+b2(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}
a. (x9)2(x-9)^{2}

b. (3x4)2(3 x-4)^{2}

c. (25x)2(2-5 x)^{2}

d. (25y)2,yR(2-5 y)^{2}, y \in \mathbb{R}


3. (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
a. (x+14)(x14)(x+14)(x-14)

b. (7x+9)(97x)(7x+9)(9-7x)

c. (23+x4)(23x4)\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{x}{4}\right)\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{x}{4}\right)

d. (z+74)(z3520),zR\left(z+\dfrac{7}{4}\right)\left(z-\dfrac{35}{20}\right), z \in \mathbb{R}


63
[Calculer.]
À l’aide de l’identité remarquable donnée, factoriser les expressions algébriques suivantes.

1. a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}
a. x2+10x+25x^{2}+10 x+25

b. 9x2+6x+19 x^{2}+6 x+1

c. 2y+1+y2,yR2 y+1+y^{2}, y \in \mathbb{R}

d. 4x2+20x+254 x^{2}+20 x+25


2. a22ab+b2=(ab)2a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}
a. x28x+16x^{2}-8 x+16

b. 9x26x+19 x^{2}-6 x+1

c. z2z+14,zRz^{2}-z+\dfrac{1}{4}, z \in \mathbb{R}

d. 25+25x250x25+25 x^{2}-50 x


3. a2b2=(a+b)(ab)a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
a. a2144,aRa^{2}-144, a \in \mathbb{R}

b. 9x2169 x^{2}-16

c. x2449\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{4}{9}

d. x27x^{2}-7


64
[Calculer.]
À l’aide de l’identité remarquable la plus adaptée, factoriser, pour tout nombre réel xx, les expressions algébriques suivantes.

1. x2+14x+49x^{2}+14 x+49

2. 9x230x+259 x^{2}-30 x+25

3. x21681x^{2}-\dfrac{16}{81}

4. 16x2490016 x^{2}-4\,900

5. 6,25+x25x6{,}25+x^{2}-5 x

6. x2+2x+12x^{2}+\sqrt{2} x+\dfrac{1}{2}

65
[Calculer.]
À l’aide de l’identité remarquable la plus adaptée, développer les expressions algébriques suivantes.

1. (x+11)2(x+11)^{2}

2. (3x7)2(3 x-7)^{2}

3. (x23)(x+23)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)

4. (5x9)(5x+9)(5 x-9)(5 x+9)

5. (2x1,5)2(2 x-1{,}5)^{2}

6. (x+2)2(x+\sqrt{2})^{2}

66
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Le carré d’un nombre réel est toujours positif.

2. Pour tout xRx \in \R , on a : (3x+7)2(x1)2=8x2+44x+48.(3 x+7)^{2}-(x-1)^{2}=8 x^{2}+44 x+48.

3. La somme des carrés de deux nombres rationnels est toujours égale au carré de la somme de ces deux nombres.

4. Pour tout réel xx différent de 3-3 et 33, on a : x2+6x+9x29=x+3x3.\dfrac{x^{2}+6 x+9}{x^{2}-9}=\dfrac{x+3}{x-3}.

5. Pour tout xRx \in \R , x216x+64x^{2}-16 x+64 est toujours positif ou nul.

6. Pour tout xRx \in \R , x2+6x+8x^{2}+6 x+8 est toujours positif ou nul.

67
[Calculer.]
Soit aa un nombre réel. On considère l’équation d’inconnue xx : (x+3)2=(x+a)(xa)+6a.(x+3)^{2}=(x+a)(x-a)+6 a.

1. Montrer que, pour tout aRa \in \R , (x+a)(xa)+6a=x2+6aa2.(x+a)(x-a)+6 a=x^{2}+6 a-a^{2}.

2. Montrer que l’équation se ramène à 6x+9=6aa2.6 x+9=6 a-a^{2}.

3. En déduire que 6x=(a3)2.6 x=-(a-3)^{2}.

4. En déduire xx en fonction de a.a .

68
[Calculer.]
Dans un plan, on considère une unité de longueur donnée. Soient les deux figures suivantes : un rectangle dont les côtés mesurent x1x - 1 et x+1x + 1 et un carré dont le côté mesure xx et dans lequel on a enlevé un carré de 11 de côté.
Surface et périmètre d'un carré et d'un rectangle

1. À quel plus grand intervalle xx peut-il appartenir ?

2. À l’aide d’une calculatrice, calculer l’aire de chacune de ces figures pour différentes valeurs de x.x .

3. Que peut-on conjecturer ?

4. Montrer que, pour tout x>1x \gt 1 , ces deux figures ont la même aire.

69
[Calculer.]
Pour tous réels xx et yy , montrer les identités suivantes.

1. 12((x+y)2+(xy)2)=x2+y2\dfrac{1}{2}\left((x+y)^{2}+(x-y)^{2}\right)=x^{2}+y^{2}

2. 14((x+y)2(xy)2)=xy\dfrac{1}{4}\left((x+y)^{2}-(x-y)^{2}\right)=x y

70
[Calculer.]
Recopier et compléter les égalités suivantes.

1. Pour tout xRx \in \R :
(x2)(x+2)+(x2)(x+7)=(x(x-2)(x+2)+(x-2)(x+7)=(x-)(2x+)(2 x+).).
2. Pour tout xRx \in \R :
(2x+1)(1x)+(2x+1)(32x)=(2x+(2 x+1)(1-x)+(2 x+1)(3-2 x)=(2 x+)(4)(4-).).
3. Pour tout xRx \in \R :
x(x+2)+(x4)x=x(x+2)+(x-4) x=(2x2).(2 x-2).
4. Pour tout zRz \in \R :
(z+(z+)(2z+2)(z+(2 z+2)-(z+)(z+8)=(z+3)(z6).(z+8)=(z+3)(z-6).
5. Pour tout xRx \in \R :
(x3)(x1)+(x(x-3)(x-1)+(x-)(x+5)=(x3)(2x+(x+5)=(x-3)(2 x+).).

71
[Calculer.]
Soient xx , yy et mm trois réels. Factoriser les expressions littérales suivantes.

1. x(x2)+(x1)xx(x-2)+(x-1) x

2. 2x(x+y)+4x(y2+1)2 x(x+y)+4 x\left(y^{2}+1\right)

3. (7m)(m+1)(7m)(3m1)(7-m)(m+1)-(7-m)(3 m-1)

4. (2x+3)2(2x+3)(x5)(2 x+3)^{2}-(2 x+3)(x-5)

5. (7y+3)225(7 y+3)^{2}-25


72
[Calculer.]
Dans cet exercice, on cherche à trouver une méthode pour calculer facilement 992.99^2.

1. 992=(10099^{2}=(100-)2=10022×)^{2}=100^{2}-2 \times ×\times +12=+1^{2}=
2. En remarquant que 999=10001999 = 1000 - 1 et avec une méthode similaire, calculer 9992.999^2.

3. Avec une méthode similaire, calculer 100121001^2 et 95×105.95 \times 105 .

73
[Calculer.]
On cherche à trouver deux nombres réels aa et bb tels que, pour tout xR,x2+5x+6=(x+2)(ax+b).x \in \mathbb{R}, x^{2}+5 x+6=(x+2)(a x+b).

1. Montrer que, pour tout xRx \in \mathbb{R}, (x+2)(ax+b)=ax2+(2a+b)x+2b.(x+2)(a x+b)=a x^{2}+(2 a+b) x+2 b.

2. En déduire que a=1a= 1 ; 2a+b=52 a+b=5 et 2b=6.2 b=6.

3. En déduire aa et b.b .

4. En utilisant une méthode similaire, trouver aa , bb et cc tels que, pour tout xR,x34x2+5x2=(x1)(ax2+bx+c).x \in \R, x^{3}-4 x^{2}+5 x-2=(x-1)\left(a x^{2}+b x+c\right).

74
[Calculer.]
On considère l’expression littérale A(x)=x2+8x+15\mathrm{A}(x)=x^{2}+8 x+15 définie pour tout réel x.x.

1. Montrer que A(x)=(x+4)21.\mathrm{A}(x)=(x+4)^{2}-1.

2. Montrer que A(x)=(x+3)(x+5).\text{A}(x)=(x+3)(x+5).

3. En choisissant la forme de A(x)\mathrm{A}(x) la plus adaptée à un calcul mental, calculer A(0),A(3),A(4)\mathrm{A}(0){,}\, \mathrm{A}(-3){,} \, \mathrm{A}(-4) et A(5). \mathrm{A}(-5).

75
[Chercher.]
On considère l’expression suivante définie pour tout nZn \in \Z par U(n)=n2+14n+33.\mathrm{U}(n)=n^{2}+14 n+33.

1. Parmi les expressions suivantes, une seule n’est pas égale à U(n),\mathrm{U}(n), laquelle ?
a. (n+7)216(n+7)^{2}-16
b. n(n+14)+33n(n+14)+33
c. n2+33n^{2}+33
d. (n+3)(n+11)(n+3)(n+11)

2. En choisissant la forme qui convient, calculer U(0)\mathrm{U}(0), U(3)\mathrm{U}(-3), U(11)\mathrm{U}(-11) et U(7).\mathrm{U}(-7).

3. Résoudre U(n)=0.\mathrm{U}(n)=0.

76
[Calculer.]
Soient xx , kk et aa des nombres réels. À l’aide d’une ou de plusieurs identités remarquables, développer les expressions algébriques suivantes.

1. (x+11)2+(x11)2(x+11)^{2}+(x-11)^{2}

2. ((73k)(7+3k))2((7-3 k)(7+3 k))^{2}

3. (x23)(x+23)(x2+49)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)\left(x^{2}+\dfrac{4}{9}\right)

4. (1810a)(9+5a)(18-10 a)(9+5 a)


77
[Calculer.]
Montrer que, pour tous nombres réels aa, bb, cc et dd (a2+b2)(c2+d2)=(acbd)2+(ad+bc)2.\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2}.

78
DÉMO
[Raisonner.]
Cette figure montre la décomposition en plusieurs solides d’un cube d’arête a+ba + baa et bb sont des nombres réels positifs.
Décomposition d'un cube : exercice sur le calcul littéral

1. a. Déterminer le nombre de solides.

b. Déterminer le volume d’un solide en fonction de aa et b.b .

2. Montrer que (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.

3. Cette égalité est-elle démontrée pour tous réels aa et bb ?


79
[Calculer.]
On considère l’expression suivante définie pour tout réel xx : B(x)=(4x+5)2(4x+5)(7x).\mathrm{B}(x)=(4 x+5)^{2}-(4 x+5)(7-x).
1. Pour tout nombre réel xx, développer et réduire B(x).\mathrm{B}(x).

2. Pour tout nombre réel xx, factoriser B(x)\mathrm{B}(x) à l’aide d’un facteur commun.

3. En déduire la résolution dans R\R de 20x2+17x10=0.20 x^{2}+17 x-10=0.


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