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Ch. A
Statistiques continues

Ch. B
Statistiques bivariées

Ch. C
Probabilités conditionnelles

Ch. D
Valeur absolue

Nombres et calculs

Fonctions

Ch. 1
Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

Géométrie

Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6
Notion de vecteur

Ch. 7
Colinéarité de vecteurs

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Ch. 8
Équations de droites

Statistiques et probabilités

Ch. 9
Informations chiffrées

Ch. 10
Statistiques descriptives

Ch. 11
Probabilités et échantillonnage

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de collège

Jeux de société

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Chapitre 0

Cours et exercices

Calcul littéral

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Cours

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pour revoir les propriétés de distributivité.

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Propriété

Soient

a

b

des nombres réels quelconques. On a alors :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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Démonstration

Pour tous réels

a

b

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a \times a - a \times b - b \times a + b \times b = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a \times a - a \times b + b \times a - b \times b = a^{2} - b^{2}$

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Exemple

$(y + 3)^{2} = y^{2} + 6 y + 9$
$(2 y - 7)^{2} = (2 y)^{2} - 28 y + 49$
$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$

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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

Illustration géométrique de (a+b)² = a² + 2ab + b²

Genially

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Soient

a

b

deux nombres positifs. On considère le carré suivant. L'aire du carré

ABDC

est

(a + b)^{2} .

Elle peut aussi se calculer comme la somme des aires des carrés

AIHL

HJDK

et des aires des rectangles

BKHL

HJCI

, c'est-à-dire

a^{2} + ab + ab + b^{2} .

On peut alors écrire :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} .

Démonstration visuelle des identités remarquables

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EXCLU. PREMIUM 2023

Démonstration visuelle de l'identité remarquable $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Diagramme géométrique : carré blanc avec un gnomon, illustrant une identité remarquable.

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Exercices

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Pour tous les exercices de cette partie

Sauf indication contraire,

x

est un réel quelconque.

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Histoire des maths

Au IX^e siècle, les mathématiciens arabes écrivaient les équations en toutes lettres. L'inconnue était appelée « la chose » et le carré de l'inconnue « le carré ».

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61
[Calculer.]
Choisir pour chaque expression sa forme développée. 1.

(x + 7)^{2} =

(x + 7)^{2} =

(x - 7) (x + 7) =

(x^{2} + 7) (x^{2} - 7) =

(x - 7)^{2} =

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62
[Calculer.]
À l'aide de l'identité remarquable donnée, développer les expressions algébriques suivantes.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(x + 3)^{2}

(2 x + 8)^{2}

(4 + 3 x)^{2}

(\frac{1}{3} + y)^{2}, y \in R

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(x - 9)^{2}

(3 x - 4)^{2}

(2 - 5 x)^{2}

(2 - 5 y)^{2}, y \in R

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(x + 14) (x - 14)

(7 x + 9) (9 - 7 x)

(\frac{2}{3} + \frac{x}{4}) (\frac{2}{3} - \frac{x}{4})

(z + \frac{7}{4}) (z - \frac{35}{20}), z \in R

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63
[Calculer.]
À l'aide de l'identité remarquable donnée, factoriser les expressions algébriques suivantes.

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

x^{2} + 10 x + 25

9 x^{2} + 6 x + 1

2 y + 1 + y^{2}, y \in R

4 x^{2} + 20 x + 25

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

x^{2} - 8 x + 16

9 x^{2} - 6 x + 1

z^{2} - z + \frac{1}{4}, z \in R

25 + 25 x^{2} - 50 x

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a^{2} - 144, a \in R

9 x^{2} - 16

\frac{x ^{2}}{4} - \frac{4}{9}

x^{2} - 7

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64
[Calculer.]
À l'aide de l'identité remarquable la plus adaptée, factoriser, pour tout nombre réel

x

, les expressions algébriques suivantes.

x^{2} + 14 x + 49

9 x^{2} - 30 x + 25

x^{2} - \frac{16}{81}

16 x^{2} - 4900

6, 25 + x^{2} - 5 x

x^{2} + 2 x + \frac{1}{2}

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65
[Calculer.]
À l'aide de l'identité remarquable la plus adaptée, développer les expressions algébriques suivantes.

(x + 11)^{2}

(3 x - 7)^{2}

(x - \frac{2}{3}) (x + \frac{2}{3})

(5 x - 9) (5 x + 9)

(2 x - 1, 5)^{2}

(x + 2)^{2}

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66
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Le carré d'un nombre réel est toujours positif.

2. Pour tout

x \in R

, on a :

(3 x + 7)^{2} - (x - 1)^{2} = 8 x^{2} + 44 x + 48.

3. La somme des carrés de deux nombres rationnels est toujours égale au carré de la somme de ces deux nombres.

4. Pour tout réel

x

différent de

- 3

3

, on a :

\frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} - 9} = \frac{x + 3}{x - 3} .

5. Pour tout

x \in R

x^{2} - 16 x + 64

est toujours positif ou nul.

6. Pour tout

x \in R

x^{2} + 6 x + 8

est toujours positif ou nul.

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67
[Calculer.]
Soit

a

un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue

x

(x + 3)^{2} = (x + a) (x - a) + 6 a .

1. Montrer que, pour tout

a \in R

(x + a) (x - a) + 6 a = x^{2} + 6 a - a^{2} .

2. Montrer que l'équation se ramène à

6 x + 9 = 6 a - a^{2} .

3. En déduire que

6 x = - (a - 3)^{2} .

4. En déduire

x

en fonction de

a .

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68
[Calculer.]

Dans un plan, on considère une unité de longueur donnée. Soient les deux figures suivantes : un rectangle dont les côtés mesurent

x - 1

x + 1

et un carré dont le côté mesure

x

et dans lequel on a enlevé un carré de

1

de côté.

Surface et périmètre d'un carré et d'un rectangle

1. À quel plus grand intervalle

x

peut-il appartenir ?

2. À l'aide d'une calculatrice, calculer l'aire de chacune de ces figures pour différentes valeurs de

x .

3. Que peut-on conjecturer ?

4. Montrer que, pour tout

x > 1

, ces deux figures ont la même aire.

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69
[Calculer.]
Pour tous réels

x

y

, montrer les identités suivantes. 1.

\frac{1}{2} ((x + y)^{2} + (x - y)^{2}) = x^{2} + y^{2}

\frac{1}{4} ((x + y)^{2} - (x - y)^{2}) = x y

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70
[Calculer.]
Compléter les égalités suivantes. 1. Pour tout

x \in R

(x - 2) (x + 2) + (x - 2) (x + 7) = (x -

) (2 x +

) .

2. Pour tout

x \in R

(2 x + 1) (1 - x) + (2 x + 1) (3 - 2 x) = (2 x +

) (4 -

) .

3. Pour tout

x \in R

x (x + 2) + (x - 4) x =

(2 x - 2) .

4. Pour tout

z \in R

(z +

)

(2 z + 2) - (z +

)

(z + 8) = (z + 3) (z - 6) .

5. Pour tout

x \in R

(x - 3) (x - 1) + (x -

)

(x + 5) = (x - 3) (2 x +

) .

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71
[Calculer.]
Soient

x

y

m

trois réels. Factoriser les expressions littérales suivantes.

x (x - 2) + (x - 1) x

2 x (x + y) + 4 x (y^{2} + 1)

(7 - m) (m + 1) - (7 - m) (3 m - 1)

(2 x + 3)^{2} - (2 x + 3) (x - 5)

(7 y + 3)^{2} - 25

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72
[Calculer.]
Dans cet exercice, on cherche à trouver une méthode pour calculer facilement

9 9^{2} .

9 9^{2} = (100 -

)^{2} = 10 0^{2} - 2 \times

\times

+ 1^{2} =

2. En remarquant que

999 = 1000 - 1

et avec une méthode similaire, calculer

99 9^{2} .

3. Avec une méthode similaire, calculer

100 1^{2}

95 \times 105.

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73
[Calculer.]
On cherche à trouver deux nombres réels

a

b

tels que, pour tout

x \in R, x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (a x + b) .

1. Montrer que, pour tout

x \in R

(x + 2) (a x + b) = a x^{2} + (2 a + b) x + 2 b .

2. En déduire que

a = 1

;

2 a + b = 5

2 b = 6.

3. En déduire

a

b .

4. En utilisant une méthode similaire, trouver

a

b

c

tels que, pour tout

x \in R, x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 = (x - 1) (a x^{2} + b x + c) .

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74
[Calculer.]
On considère l'expression littérale

A (x) = x^{2} + 8 x + 15

définie pour tout réel

x .

1. Montrer que

A (x) = (x + 4)^{2} - 1.

2. Montrer que

A (x) = (x + 3) (x + 5) .

3. En choisissant la forme de

A (x)

la plus adaptée à un calcul mental, calculer

A (0), A (- 3), A (- 4)

A (- 5) .

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75
[Chercher.]
On considère l'expression suivante définie pour tout

n \in Z

par

U (n) = n^{2} + 14 n + 33.

1. Parmi les expressions suivantes, une seule n'est pas égale à

U (n),

laquelle ?

(n + 7)^{2} - 16

n (n + 14) + 33

n^{2} + 33

(n + 3) (n + 11)

2. En choisissant la forme qui convient, calculer

U (0)

U (- 3)

U (- 11)

U (- 7) .

3. Résoudre

U (n) = 0.

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76
[Calculer.]
Soient

x

k

a

des nombres réels. À l'aide d'une ou de plusieurs identités remarquables, développer les expressions algébriques suivantes.

(x + 11)^{2} + (x - 11)^{2}

((7 - 3 k) (7 + 3 k))^{2}

(x - \frac{2}{3}) (x + \frac{2}{3}) (x^{2} + \frac{4}{9})

(18 - 10 a) (9 + 5 a)

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77
[Calculer.]
Montrer que, pour tous nombres réels

a

b

c

d

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} .

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78
Démo
[Raisonner.]
Cette figure montre la décomposition en plusieurs solides d'un cube d'arête

a + b

où

a

b

sont des nombres réels positifs.

1. a. Déterminer le nombre de solides.

b. Déterminer le volume d'un solide en fonction de

a

b .

2. Montrer que

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} .

3. Cette égalité est-elle démontrée pour tous réels

a

b

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79
[Calculer.]
On considère l'expression suivante définie pour tout réel

x

B (x) = (4 x + 5)^{2} - (4 x + 5) (7 - x) .

1. Pour tout nombre réel

x

, développer et réduire

B (x) .

2. Pour tout nombre réel

x

, factoriser

B (x)

à l'aide d'un facteur commun.

3. En déduire la résolution dans

R

20 x^{2} + 17 x - 10 = 0.

Photographie d'un homme en costume vaporisant des formules mathématiques colorées sur un mur.

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Ch. AStatistiques continues

Ch. BStatistiques bivariées

Ch. CProbabilités conditionnelles

Ch. DValeur absolue

Nombres et calculs

Ch. 1Généralités sur les fonctions

Ch. 2Variations de fonctions

Ch. 3Fonctions affines

Ch. 4Fonctions de référence

Ch. 5Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6Notion de vecteur

Ch. 7Colinéarité de vecteurs

Ch. 8Équations de droites

Ch. 9Informations chiffrées

Ch. 10Statistiques descriptives

Ch. 11Probabilités et échantillonnage

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de collège

Jeux de société

Calcul littéral

Cours

Exemple

Démonstration au programme

Illustration géométrique de (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Genially

Démonstration visuelle de l'identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2

Exercices

Pour tous les exercices de cette partie

Histoire des maths

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Ch. A
Statistiques continues

Ch. B
Statistiques bivariées

Ch. C
Probabilités conditionnelles

Ch. D
Valeur absolue

Ch. 1
Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6
Notion de vecteur

Ch. 7
Colinéarité de vecteurs

Ch. 8
Équations de droites

Ch. 9
Informations chiffrées

Ch. 10
Statistiques descriptives

Ch. 11
Probabilités et échantillonnage

Illustration géométrique de (a+b)² = a² + 2ab + b²

Démonstration visuelle de l'identité remarquable $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$