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Vecteurs dans un repère

DÉMONSTRATION

1. On considère le point $\text{M}(x;y)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}.$ $\text{OMBA}$ étant un parallélogramme, les segments $[\text{OB}]$ et $[\text{AM}]$ ont le même milieu $\text{I}(x_{\text{I}};y_{\text{I}}).$
Ainsi, l’abscisse de $\text{I}$ est $x_{\mathrm{I}}=\frac{x_{\mathrm{B}}+0}{2},$ mais aussi $x_{\mathrm{I}}=\frac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.$
Par conséquent, $\frac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\frac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.$
On en déduit que $x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}.$ Par analogie, on démontre que $y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.$

2. Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ alors il existe un unique point $\mathrm{M}(x;y)$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text{OM}}.$ Donc $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ ont les même coordonnées $(x;y).$

Il ne faut pas confondre $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ avec $\frac{x}{y}.$

DÉMONSTRATION

Soit le point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{r}.$ Alors $\text{M}$ a pour coordonnées $(x;y).$ On note $\mathrm{N}\left(x_{\mathrm{N}};y_{\mathrm{N}}\right)$ le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\overrightarrow{s}.$ Ainsi, $\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}+\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{N}}$ et le vecteur $\overrightarrow{r}$+ $\overrightarrow{s}$ a donc les mêmes coordonnées que le point $\text{N}.$ Mais puisque $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}},$ les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $x^{\prime }=x_{\mathrm{N}}-x$ et $y^{\prime }=y_{\mathrm{N}}-y.$ On obtient $x_{\mathrm{N}}=x+x^{\prime }$ et $y_{\mathrm{N}}=y+y^{\prime }.$
Les coordonnées de $\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}$ sont donc$\left(x+x^{\prime };y+y^{\prime }\right).$

On considère la figure suivante.
1. Lire les coordonnées de $\overrightarrow{\text{BA}}$ et de $\overrightarrow{\text{CA}}$ puis calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}.$
2. Calculer les coordonnées du point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{CD}}.$

Méthode

1. Les coordonnées de $\text{A}$ sont $(-3;1)$ et celles de $\text{B}$ sont $(1;-1).$
Ainsi, $x_{\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4$ et $y_{\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.$
Donc $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right).$ De même, on trouve $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\end{array}\right).$
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point $\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}};y_{\mathrm{D}}\right)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{D}}-3\\ y_{\mathrm{D}}-3\end{array}\right)$ aient les mêmes coordonnées.
On trouve $x_{\mathrm{D}}=-1$ et $y_{\mathrm{D}}=7.$

SOLUTION

1. Le vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{CA}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\end{array}\right).$ Les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}$ sont $\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right).$
2. Le point $\text{D}$ a pour coordonnées $(-1;7).$