COURS 2


2
Vecteurs dans un repère




A
Coordonnées d’un vecteur


Définition

Dans un repère (O;I,J),(\text{O}; \text{I}, \text{J}) , les coordonnées du vecteur u \overrightarrow{u} sont les coordonnées de l’unique point M\text{M} tel que OM=u. \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}.

DÉMONSTRATION

1. On considère le point M(x;y)\text{M} (x\,;y) tel que OM=AB.\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}. OMBA\text{OMBA} étant un parallélogramme, les segments [OB][\text{OB}] et [AM][\text{AM}] ont le même milieu I(xI;yI). \text{I}( x_{\text{I}}\,; y_{\text{I}}).
Ainsi, l’abscisse de I\text{I} est xI=xB+02,x_{\mathrm{I}}=\dfrac{x_{\mathrm{B}}+0}{2}, mais aussi xI=xA+x2.x_{\mathrm{I}}= \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
Par conséquent, xB2=xA+x2.\dfrac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
On en déduit que x=xBxA.x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}. Par analogie, on démontre que y=yByA.y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.

2. Si u=v \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} alors il existe un unique point M(x;y)\mathrm{M}(x\, ; y) tel que u=v=OM. \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{OM}}. Donc u=v \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} ont les même coordonnées (x;y).(x\,;y).

NOTATION

Si on a u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} alors on peut écrire u=xOI+yOJ. \vec{u}=x\,\overrightarrow{\mathrm{OI}}+y\,\overrightarrow{\mathrm{OJ}}.

NOTATION

En posant OI=i\overrightarrow{\text{OI}} = \overrightarrow{i} et OJ=j,\overrightarrow{\text{OJ}} = \overrightarrow{j}, le repère (O;I,J),(\text{O}; \text{I}, \text{J}) , peut désormais s'écrire le repère (O;i,j).(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Propriétés

1. Dans un repère, si A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,; \,y_{\mathrm{B}}\right) alors AB\overrightarrow{\text{AB}} a pour coordonnées AB(xBxAyByA). \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}\\ {y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}\end{pmatrix}. On écrit aussi AB(xBxA;yByA).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right).

2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

Application et méthode


Notion de vecteur

Méthode

1. Les coordonnées de A\text{A} sont (3;1)(-3\,;1) et celles de B\text{B} sont (1;1).(1\,;- 1).
Ainsi, xBA=xAxB=4x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4 et yBA=yAyB=4.y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.
Donc BA(44).\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}. De même, on trouve CA(60). \overrightarrow{\mathrm{CA}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point D(xD;yD)\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\, ; y_{\mathrm{D}}\right) tel que BA(44)\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et CD(xD2yD3)\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-2} \\ {y_{\mathrm{D}}-3}\end{pmatrix} aient les mêmes coordonnées.
On trouve xD=2x_{\mathrm{D}}=-2 et yD=7.y_{\mathrm{D}}=7.

Énoncé

On considère la figure suivante.
1. Lire les coordonnées de BA\overrightarrow{\text{BA}} et de CA\overrightarrow{\text{CA}} puis calculer les coordonnées de BA+CA.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.
2. Calculer les coordonnées du point D\text{D} tel que BA=CD.\overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{CD}}.

SOLUTION

1. Le vecteur BA\overrightarrow{\text{BA}} a pour coordonnées (44)\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et CA\overrightarrow{\text{CA}} a pour coordonnées (60).\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}. Les coordonnées de BA+CA\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} sont (104).\begin{pmatrix}{-10} \\ {4}\end{pmatrix}.
2. Le point D\text{D} a pour coordonnées (2;7).(-2\:;7).

Pour s'entraîner : exercices 53 p. 188 ; 59 et 60 p. 189

B
Coordonnées d’une somme

Remarque

Il ne faut pas confondre (xy)\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} avec xy.\dfrac{x}{y}.

DÉMONSTRATION

Soit le point M\text{M} tel que OM=r.\overrightarrow{\mathrm{\text{OM}}}=\overrightarrow{r}. Alors M\text{M} a pour coordonnées (x;y). (x\,; y). On note N(xN;yN)\mathrm{N}\left(x_{\mathrm{N}}\,; y_{\mathrm{N}}\right) le point tel que MN=s.\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{s}. Ainsi, r+s=OM+MN=ON\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}} et le vecteur r\overrightarrow{r}+ s\overrightarrow{s} a donc les mêmes coordonnées que le point N. \text{N}. Mais puisque s=MN, \overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{MN}}, les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc x=xNxx^{\prime}=x_{\mathrm{N}}-x et y=yNy.y^{\prime}=y_{\mathrm{N}}-y. On obtient xN=x+xx_{\mathrm{N}}=x+x^{\prime} et yN=y+y.y_{\mathrm{N}}=y+y^{\prime}.
Les coordonnées de r+s\overrightarrow{r} + \overrightarrow{s} sont donc(x+x;y+y). \left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right).

Propriété

Soient r(xy)\vec{r}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et s(xy)\vec{s}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix} deux vecteurs d'un repère du plan.
Les coordonnées de r+s\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} sont alors (x+xy+y).\begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.
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