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Vecteurs dans un repère

DÉMONSTRATION

1. On considère le point $\text{M} (x\,;y)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$ $\text{OMBA}$ étant un parallélogramme, les segments $[\text{OB}]$ et $[\text{AM}]$ ont le même milieu $\text{I}( x_{\text{I}}\,; y_{\text{I}}).$
Ainsi, l’abscisse de $\text{I}$ est $x_{\mathrm{I}}=\dfrac{x_{\mathrm{B}}+0}{2},$ mais aussi $x_{\mathrm{I}}= \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.$
Par conséquent, $\dfrac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.$
On en déduit que $x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}.$ Par analogie, on démontre que $y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.$

2. Si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$ alors il existe un unique point $\mathrm{M}(x\, ; y)$ tel que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{OM}}.$ Donc $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$ ont les même coordonnées $(x\,;y).$

Il ne faut pas confondre $\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix}$ avec $\dfrac{x}{y}.$

DÉMONSTRATION

Soit le point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{\text{OM}}}=\overrightarrow{r}.$ Alors $\text{M}$ a pour coordonnées $(x\,; y).$ On note $\mathrm{N}\left(x_{\mathrm{N}}\,; y_{\mathrm{N}}\right)$ le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{s}.$ Ainsi, $\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ et le vecteur $\overrightarrow{r}$+ $\overrightarrow{s}$ a donc les mêmes coordonnées que le point $\text{N}.$ Mais puisque $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{MN}},$ les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $x^{\prime}=x_{\mathrm{N}}-x$ et $y^{\prime}=y_{\mathrm{N}}-y.$ On obtient $x_{\mathrm{N}}=x+x^{\prime}$ et $y_{\mathrm{N}}=y+y^{\prime}.$
Les coordonnées de $\overrightarrow{r} + \overrightarrow{s}$ sont donc$\left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right).$

On considère la figure suivante.
1. Lire les coordonnées de $\overrightarrow{\text{BA}}$ et de $\overrightarrow{\text{CA}}$ puis calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.$
2. Calculer les coordonnées du point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{CD}}.$

Méthode

1. Les coordonnées de $\text{A}$ sont $(-3\,;1)$ et celles de $\text{B}$ sont $(1\,;- 1).$
Ainsi, $x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4$ et $y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.$
Donc $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}.$ De même, on trouve $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.$
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point $\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\, ; y_{\mathrm{D}}\right)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-3} \\ {y_{\mathrm{D}}-3}\end{pmatrix}$ aient les mêmes coordonnées.
On trouve $x_{\mathrm{D}}=-1$ et $y_{\mathrm{D}}=7.$

SOLUTION

1. Le vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{CA}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.$ Les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ sont $\begin{pmatrix}{-10} \\ {4}\end{pmatrix}.$
2. Le point $\text{D}$ a pour coordonnées $(-1\:;7).$

Pour s'entraîner : exercices 53 p. 188 ; 59 et 60 p. 189