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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Chapitre 6
Cours 2
Vecteurs dans un repère
A
Coordonnées d'un vecteur
Définition
Dans un repère (O;I,J), les coordonnées du vecteuru sont les coordonnées de
l'unique point M tel que OM=u.
Notation
En posant OI=i et OJ=j, le repère (O;I,J), peut désormais s'écrire le repère (O;i,j).
Propriété
1. Dans un repère, si A(xA;yA) et B(xB;yB) alors AB a pour coordonnées AB(xB−xAyB−yA). On écrit aussi AB(xB−xA;yB−yA).
2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
Notation
Si on a u(xy) alors on peut écrire u=xOI+yOJ.
Démonstration
1. On considère le point M(x;y) tel que OM=AB.OMBA étant un parallélogramme, les segments [OB] et [AM] ont le même milieu I(xI;yI).
Ainsi, l'abscisse de I est xI=2xB+0, mais aussi xI=2xA+x.
Par conséquent, 2xB=2xA+x.
On en déduit que x=xB−xA. Par analogie, on démontre que y=yB−yA.
2. Si u=v alors il existe un unique point M(x;y) tel que u=v=OM. Donc u=v ont les même coordonnées (x;y).
B
Coordonnées d'une somme
Propriété
Soient r(xy) et s(x′y′) deux vecteurs d'un repère du plan.
Les coordonnées de r+s sont alors
(x+x′y+y′).
Remarque
Il ne faut pas confondre (xy) avec yx.
Démonstration
Soit le point M tel que OM=r. Alors M a pour coordonnées (x;y). On note N(xN;yN) le point tel que MN=s.
Ainsi, r+s=OM+MN=ON et le vecteur r+ s a donc les mêmes coordonnées que le point N. Mais puisque s=MN, les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc x′=xN−x et y′=yN−y.
On obtient xN=x+x′ et yN=y+y′.
Les coordonnées de r+s sont donc(x+x′;y+y′).
Application et méthode
Énoncé
On considère la figure suivante. 1. Lire les coordonnées de BA et de CA puis calculer les coordonnées de
BA+CA. 2. Calculer les coordonnées du point D tel que BA=CD.
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Méthode
1. Les coordonnées de A sont (−3;3) et celles de B sont (1;−1).
Ainsi, xBA=xA−xB=−4 et yBA=yA−yB=4.
Donc BA(−44). De même, on trouve CA(−60).
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point D(xD;yD) tel que BA(−44) et CD(xD−3yD−3) aient les mêmes coordonnées.
On trouve xD=−1 et yD=7.
Solution
1. Le vecteur BA a pour coordonnées (−44) et CA a pour coordonnées (−60).
Les coordonnées de BA+CA sont (−104). 2. Le point D a pour coordonnées (−1;7).