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2. Vecteurs dans un repère
P.176-177
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COURS 2


2
Vecteurs dans un repère




A
Coordonnées d’un vecteur


Définition
Dans un repère (O;I,J),(\text{O}; \text{I}, \text{J}) , les coordonnées du vecteur u→ \overrightarrow{u} sont les coordonnées de l’unique point M\text{M} tel que OM→=u→. \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}.

NOTATION
En posant OI→=i→\overrightarrow{\text{OI}} = \overrightarrow{i} et OJ→=j→,\overrightarrow{\text{OJ}} = \overrightarrow{j}, le repère (O;I,J),(\text{O}; \text{I}, \text{J}) , peut désormais s'écrire le repère (O;i→,j→).(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Propriétés
1. Dans un repère, si A(xA ;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB ; yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,; \,y_{\mathrm{B}}\right) alors AB→\overrightarrow{\text{AB}} a pour coordonnées AB→(xB−xAyB−yA). \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}\\ {y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}\end{pmatrix}. On écrit aussi AB→(xB−xA ;yB−yA).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right).

2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

NOTATION
Si on a u→(xy)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} alors on peut écrire u→=x OI→+y OJ→. \overrightarrow{u}=x\,\overrightarrow{\mathrm{OI}}+y\,\overrightarrow{\mathrm{OJ}}.

DÉMONSTRATION

1. On considère le point M(x ;y)\text{M} (x\,;y) tel que OM→=AB→.\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}. OMBA\text{OMBA} étant un parallélogramme, les segments [OB][\text{OB}] et [AM][\text{AM}] ont le même milieu I(xI ;yI). \text{I}( x_{\text{I}}\,; y_{\text{I}}).
Ainsi, l’abscisse de I\text{I} est xI=xB+02,x_{\mathrm{I}}=\dfrac{x_{\mathrm{B}}+0}{2}, mais aussi xI=xA+x2.x_{\mathrm{I}}= \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
Par conséquent, xB2=xA+x2.\dfrac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
On en déduit que x=xB−xA.x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}. Par analogie, on démontre que y=yB−yA.y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.

2. Si u→=v→ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} alors il existe un unique point M(x ;y)\mathrm{M}(x\, ; y) tel que u→=v→=OM→. \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{OM}}. Donc u→=v→ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} ont les même coordonnées (x ;y).(x\,;y).

B
Coordonnées d’une somme


Propriété

Soient r→(xy)\overrightarrow{r}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et s→(x′y′)\overrightarrow{s}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix} deux vecteurs d'un repère du plan.
Les coordonnées de r→+s→\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} sont alors (x+x′y+y′).\begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.

Remarque

Il ne faut pas confondre (xy)\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} avec xy.\dfrac{x}{y}.

DÉMONSTRATION

Soit le point M\text{M} tel que OM→=r→.\overrightarrow{\mathrm{\text{OM}}}=\overrightarrow{r}. Alors M\text{M} a pour coordonnées (x ;y). (x\,; y). On note N(xN ;yN)\mathrm{N}\left(x_{\mathrm{N}}\,; y_{\mathrm{N}}\right) le point tel que MN→=s→.\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{s}. Ainsi, r→+s→=OM→+MN→=ON→\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}} et le vecteur r→\overrightarrow{r}+ s→\overrightarrow{s} a donc les mêmes coordonnées que le point N. \text{N}. Mais puisque s→=MN→, \overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{MN}}, les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc x′=xN−xx^{\prime}=x_{\mathrm{N}}-x et y′=yN−y.y^{\prime}=y_{\mathrm{N}}-y. On obtient xN=x+x′x_{\mathrm{N}}=x+x^{\prime} et yN=y+y′.y_{\mathrm{N}}=y+y^{\prime}.
Les coordonnées de r→+s→\overrightarrow{r} + \overrightarrow{s} sont donc(x+x′ ;y+y′). \left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right).

Application et méthode

Énoncé

On considère la figure suivante.
1. Lire les coordonnées de BA→\overrightarrow{\text{BA}} et de CA→\overrightarrow{\text{CA}} puis calculer les coordonnées de BA→+CA→.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.
2. Calculer les coordonnées du point D\text{D} tel que BA→=CD→.\overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{CD}}.

Notion de vecteur

Méthode

 1. Les coordonnées de A\text{A} sont (−3 ;1)(-3\,;1) et celles de B\text{B} sont (1 ;−1).(1\,;- 1).
Ainsi, xBA→=xA−xB=−4x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4 et yBA→=yA−yB=4.y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.
Donc BA→(−44).\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}. De même, on trouve CA→(−60). \overrightarrow{\mathrm{CA}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point D(xD ;yD)\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\, ; y_{\mathrm{D}}\right) tel que BA→(−44)\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et CD→(xD−3yD−3)\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-3} \\ {y_{\mathrm{D}}-3}\end{pmatrix} aient les mêmes coordonnées.
On trouve xD=−1x_{\mathrm{D}}=-1 et yD=7.y_{\mathrm{D}}=7.


SOLUTION

1. Le vecteur BA→\overrightarrow{\text{BA}} a pour coordonnées (−44)\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et CA→\overrightarrow{\text{CA}} a pour coordonnées (−60).\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}. Les coordonnées de BA→+CA→\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} sont (−104).\begin{pmatrix}{-10} \\ {4}\end{pmatrix}.
2. Le point D\text{D} a pour coordonnées (−1 ;7).(-1\:;7).

Pour s'entraîner : exercices 53 p. 188 ; 59 et 60 p. 189
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