Mathématiques 2de
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Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
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Fonctions affines
Ch. 4
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Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 6
Cours 2
Vecteurs dans un repère
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ACoordonnées d'un vecteur
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Définition
Dans un repère (\text{O}; \text{I}, \text{J}) , les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} sont les coordonnées de
l'unique point \text{M} tel que \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}.
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En posant \overrightarrow{\text{OI}} = \overrightarrow{i} et \overrightarrow{\text{OJ}} = \overrightarrow{j}, le repère (\text{O}; \text{I}, \text{J}) , peut désormais s'écrire le repère (\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).
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Propriété
1. Dans un repère, si \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,; \,y_{\mathrm{B}}\right) alors \overrightarrow{\text{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}\\ {y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}\end{pmatrix}. On écrit aussi \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right).
2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
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Si on a \vec{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} alors on peut écrire \vec{u}=x\,\overrightarrow{\mathrm{OI}}+y\,\overrightarrow{\mathrm{OJ}}.
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Démonstration
1. On considère le point \text{M} (x\,;y) tel que \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}. \text{OMBA} étant un parallélogramme, les segments [\text{OB}] et [\text{AM}] ont le même milieu \text{I}( x_{\text{I}}\,; y_{\text{I}}).
Ainsi, l'abscisse de \text{I} est x_{\mathrm{I}}=\dfrac{x_{\mathrm{B}}+0}{2}, mais aussi x_{\mathrm{I}}= \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
Par conséquent, \dfrac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
On en déduit que x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}. Par analogie, on démontre que y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.
2. Si \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} alors il existe un unique point \mathrm{M}(x\, ; y) tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{OM}}. Donc \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} ont les même coordonnées (x\,;y).
Ainsi, l'abscisse de \text{I} est x_{\mathrm{I}}=\dfrac{x_{\mathrm{B}}+0}{2}, mais aussi x_{\mathrm{I}}= \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
Par conséquent, \dfrac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
On en déduit que x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}. Par analogie, on démontre que y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.
2. Si \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} alors il existe un unique point \mathrm{M}(x\, ; y) tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{OM}}. Donc \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} ont les même coordonnées (x\,;y).
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BCoordonnées d'une somme
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Propriété
Soient \vec{r}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \vec{s}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix} deux vecteurs d'un repère du plan.
Les coordonnées de \overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} sont alors \begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} sont alors \begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.
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Démonstration
Soit le point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{\text{OM}}}=\overrightarrow{r}. Alors \text{M} a pour coordonnées (x\,; y). On note \mathrm{N}\left(x_{\mathrm{N}}\,; y_{\mathrm{N}}\right) le point tel que \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{s}.
Ainsi, \overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}} et le vecteur \overrightarrow{r}+ \overrightarrow{s} a donc les mêmes coordonnées que le point \text{N}. Mais puisque \overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{MN}}, les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc x^{\prime}=x_{\mathrm{N}}-x et y^{\prime}=y_{\mathrm{N}}-y.
On obtient x_{\mathrm{N}}=x+x^{\prime} et y_{\mathrm{N}}=y+y^{\prime}.
Les coordonnées de \overrightarrow{r} + \overrightarrow{s} sont donc \left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right).
Les coordonnées de \overrightarrow{r} + \overrightarrow{s} sont donc \left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right).
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Il ne faut pas confondre \begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} avec \dfrac{x}{y}.
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Application et méthode
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Énoncé
On considère la figure suivante.
1. Lire les coordonnées de \overrightarrow{\text{BA}} et de \overrightarrow{\text{CA}} puis calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.
2. Calculer les coordonnées du point \text{D} tel que \overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{CD}}.
1. Lire les coordonnées de \overrightarrow{\text{BA}} et de \overrightarrow{\text{CA}} puis calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.
2. Calculer les coordonnées du point \text{D} tel que \overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{CD}}.
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1. Les coordonnées de \text{A} sont (-3\,;3) et celles de \text{B} sont (1\,;- 1).
Ainsi, x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4 et y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.
Donc \overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}. De même, on trouve \overrightarrow{\mathrm{CA}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point \mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\, ; y_{\mathrm{D}}\right) tel que \overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-3} \\ {y_{\mathrm{D}}-3}\end{pmatrix} aient les mêmes coordonnées.
On trouve x_{\mathrm{D}}=-1 et y_{\mathrm{D}}=7.
Ainsi, x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4 et y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.
Donc \overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}. De même, on trouve \overrightarrow{\mathrm{CA}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point \mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\, ; y_{\mathrm{D}}\right) tel que \overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-3} \\ {y_{\mathrm{D}}-3}\end{pmatrix} aient les mêmes coordonnées.
On trouve x_{\mathrm{D}}=-1 et y_{\mathrm{D}}=7.
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Solution
1. Le vecteur \overrightarrow{\text{BA}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{CA}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.
Les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} sont \begin{pmatrix}{-10} \\ {4}\end{pmatrix}.
2. Le point \text{D} a pour coordonnées (-1\:;7).
2. Le point \text{D} a pour coordonnées (-1\:;7).
Pour s'entraîner
exercices p. 188 ;
p. 189
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