Vecteurs dans un repère

Dans un repère $(\text{O};\text{I},\text{J}),$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ sont les coordonnées de l'unique point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{u}.$

En posant $\overrightarrow{\text{OI}}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{\text{OJ}}=\overrightarrow{j},$ le repère $(\text{O};\text{I},\text{J}),$ peut désormais s'écrire le repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$

1. Dans un repère, si $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right)$ alors $\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\\ y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\end{array}\right).$ On écrit aussi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right).$

2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

Si on a $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ alors on peut écrire $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\mathrm{OI}}+y\overrightarrow{\mathrm{OJ}}.$

1. Les coordonnées de $\text{A}$ sont $(-3;3)$ et celles de $\text{B}$ sont $(1;-1).$
Ainsi, $x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4$ et $y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.$
Donc $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right).$ De même, on trouve $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\end{array}\right).$
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

2. On recherche le point $\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}};y_{\mathrm{D}}\right)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{D}}-3\\ y_{\mathrm{D}}-3\end{array}\right)$ aient les mêmes coordonnées.
On trouve $x_{\mathrm{D}}=-1$ et $y_{\mathrm{D}}=7.$

1. Le vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{CA}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\end{array}\right).$ Les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ sont $\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\end{array}\right).$
2. Le point $\text{D}$ a pour coordonnées $(-1;7).$

exercices

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59 et 60

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