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2. Vecteurs dans un repère
P.176-177

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COURS 2


2
Vecteurs dans un repère




A
Coordonnées d’un vecteur


Définition

Dans un repère les coordonnées du vecteur sont les coordonnées de l’unique point tel que

NOTATION

En posant et le repère peut désormais s'écrire le repère

Propriétés

1. Dans un repère, si et alors a pour coordonnées On écrit aussi

2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

NOTATION

Si on a alors on peut écrire

DÉMONSTRATION

1. On considère le point tel que étant un parallélogramme, les segments et ont le même milieu
Ainsi, l’abscisse de est mais aussi
Par conséquent,
On en déduit que Par analogie, on démontre que

2. Si alors il existe un unique point tel que Donc ont les même coordonnées

B
Coordonnées d’une somme


Propriété

Soient et deux vecteurs d'un repère du plan.
Les coordonnées de sont alors

Remarque

Il ne faut pas confondre avec

DÉMONSTRATION

Soit le point tel que Alors a pour coordonnées On note le point tel que Ainsi, et le vecteur + a donc les mêmes coordonnées que le point Mais puisque les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc et On obtient et
Les coordonnées de sont donc

Application et méthode

Énoncé

On considère la figure suivante.
1. Lire les coordonnées de et de puis calculer les coordonnées de
2. Calculer les coordonnées du point tel que

Notion de vecteur

Méthode

1. Les coordonnées de sont et celles de sont
Ainsi, et
Donc De même, on trouve
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
2. On recherche le point tel que et aient les mêmes coordonnées.
On trouve et


SOLUTION

1. Le vecteur a pour coordonnées et a pour coordonnées Les coordonnées de sont
2. Le point a pour coordonnées

Pour s'entraîner : exercices 53 p. 188 ; 59 et 60 p. 189
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