Dans un repère (\text{O}; \text{I}, \text{J}) , les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} sont les coordonnées de l'unique point \text{M} tel que \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{u}.

En posant \overrightarrow{\text{OI}} = \overrightarrow{i} et \overrightarrow{\text{OJ}} = \overrightarrow{j}, le repère (\text{O}; \text{I}, \text{J}) , peut désormais s'écrire le repère (\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

1. Dans un repère, si \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,; \,y_{\mathrm{B}}\right) alors \overrightarrow{\text{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}\\ {y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}\end{pmatrix}. On écrit aussi \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right).

2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

Si on a \vec{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} alors on peut écrire \vec{u}=x\,\overrightarrow{\mathrm{OI}}+y\,\overrightarrow{\mathrm{OJ}}.

1. On considère le point \text{M} (x\,;y) tel que \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}. \text{OMBA} étant un parallélogramme, les segments [\text{OB}] et [\text{AM}] ont le même milieu \text{I}( x_{\text{I}}\,; y_{\text{I}}).
Ainsi, l'abscisse de \text{I} est x_{\mathrm{I}}=\dfrac{x_{\mathrm{B}}+0}{2}, mais aussi x_{\mathrm{I}}= \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
Par conséquent, \dfrac{x_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x}{2}.
On en déduit que x=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}. Par analogie, on démontre que y=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.

2. Si \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} alors il existe un unique point \mathrm{M}(x\, ; y) tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{OM}}. Donc \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} ont les même coordonnées (x\,;y).

Soient \vec{r}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \vec{s}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix} deux vecteurs d'un repère du plan.
Les coordonnées de \overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} sont alors \begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.

Il ne faut pas confondre \begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} avec \dfrac{x}{y}.

Soit le point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{\text{OM}}}=\overrightarrow{r}. Alors \text{M} a pour coordonnées (x\,; y). On note \mathrm{N}\left(x_{\mathrm{N}}\,; y_{\mathrm{N}}\right) le point tel que \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{s}. Ainsi, \overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}} et le vecteur \overrightarrow{r}+ \overrightarrow{s} a donc les mêmes coordonnées que le point \text{N}. Mais puisque \overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{MN}}, les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc x^{\prime}=x_{\mathrm{N}}-x et y^{\prime}=y_{\mathrm{N}}-y. On obtient x_{\mathrm{N}}=x+x^{\prime} et y_{\mathrm{N}}=y+y^{\prime}.
Les coordonnées de \overrightarrow{r} + \overrightarrow{s} sont donc \left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right).

1. Les coordonnées de \text{A} sont (-3\,;3) et celles de \text{B} sont (1\,;- 1).
Ainsi, x_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}=-4 et y_{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}=4.
Donc \overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}. De même, on trouve \overrightarrow{\mathrm{CA}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}.
Pour calculer les coordonnées du vecteur somme, on ajoute les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

2. On recherche le point \mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\, ; y_{\mathrm{D}}\right) tel que \overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-3} \\ {y_{\mathrm{D}}-3}\end{pmatrix} aient les mêmes coordonnées.
On trouve x_{\mathrm{D}}=-1 et y_{\mathrm{D}}=7.

1. Le vecteur \overrightarrow{\text{BA}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{CA}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{-6} \\ {0}\end{pmatrix}. Les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} sont \begin{pmatrix}{-10} \\ {4}\end{pmatrix}.
2. Le point \text{D} a pour coordonnées (-1\:;7).

exercices

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59 et 60

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