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Vecteurs du plan

DÉMONSTRATION

Relation de Chasles
La translation qui transforme $\text{A}$ en $\text{B}$ suivie de la translation qui transforme $\text{B}$ en $\text{D}$ est la translation qui transforme $\text{A}$ en $\text{D}.$ D’après la définition, on a bien $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.$

Propriété du parallélogramme

Si $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ alors, d'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}}$ soit encore $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}.$ Donc $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

Réciproquement, si $\text{ABDC}$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}.$ Donc $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}}$ soit encore $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ d'après la relation de Chasles.

On admet que pour trois vecteurs $\overrightarrow{r}$ , $\overrightarrow{s}$ et $\overrightarrow{t}$ du plan :
$\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s} + \overrightarrow{r}$ et $(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}) + \overrightarrow{t}$ = $\overrightarrow{r}+ ( \overrightarrow{s} + \overrightarrow{t}).$

DÉMONSTRATION

$\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}$ si, et seulement si, la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ transforme $\text{C}$ en $\text{D}$ donc si, et seulement si, $[\text{AD}]$ et $[\text{BC}]$ ont le même milieu et donc si, et seulement si, $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

DÉMONSTRATION

$\text{M}$ est le milieu de $[\text{AB}]$ $\Leftrightarrow \mathrm{M} \in[\mathrm{AB}]$ et $\text{MA} = \text{MB}$
$\Leftrightarrow$ les points $\text{A} ,$ $\text{M}$ et $\text{B}$ sont alignés dans cet ordre et $\text{MA} = \text{MB}$
$\Leftrightarrow$ les droites $(\text{AM})$ et $(\text{MB})$ sont parallèles, le sens de $\text{A}$ vers $\text{M}$ est celui de $\text{M}$ vers $\text{B}$ et $\text{MA} = \text{MB}$
$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}.$

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AA}}$ est appelé vecteur nul et se réduit au point $\text{A}.$ On note $\overrightarrow{\mathrm{AA}} = \overrightarrow{0}.$

Remarque

$-\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}$

Remarque

Rappel : $\text{AB} = \sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}$

SOLUTION

Pour s'entraîner : exercices 39 ; 40 et 41 p. 186

Méthode

1. On construit le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}$ égal au vecteur $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert $\overrightarrow{\text{AB}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BB}^{\prime}}$ puis $\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}.$

2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge $\overrightarrow{\text{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}$ puis le vecteur $\overrightarrow{c}$ d'origine $\text{O}.$

Reproduire la figure ci-contre.
1. Tracer le vecteur $\overrightarrow{\text{FF}'}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.$
2. Tracer le vecteur $\overrightarrow{c}$ d’origine $\text{O}$ tel que $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}.$

Méthode

1. On construit l’image du point $\text{D}$ par la translation du vecteur $\overrightarrow{s_{1}} ,$ égal au vecteur $\overrightarrow{s} ,$ puis l’image du point obtenu par la translation de vecteur $\overrightarrow{r_{1}} ,$ égal au vecteur $\overrightarrow{r}.$ On obtient ainsi le point $\text{A} .$

2. On construit le vecteur $\overrightarrow{r^{\prime}}=\overrightarrow{r}$ dont l’extrémité est $\text{B} .$ Son origine est $\text{D}'.$
De même on obtient $\text{A}'$ avec le vecteur $\overrightarrow{s^{\prime}}=\overrightarrow{s}$ d'origine $\text{B}.$

1. Construire le point $\text{A} ,$ image du point $\text{D}$ par la translation du vecteur $\vec{s}$ suivie de la translation du vecteur $\vec{r}.$
2. Construire les points $\text{D}'$ et $\text{A}'$ sachant que :
$\text{A}'$ est l’image de $\text{B}$ par la translation de vecteur $\vec{s}$ ;
$\text{B}$ est l’image de $\text{D}'$ par la translation de vecteur $\vec{r}$ .
3. Indiquer des vecteurs égaux.

SOLUTION

$\overrightarrow{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}}=\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{1}}=\overrightarrow{r^{\prime}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}=\overrightarrow{s^{\prime}}.$

Pour s'entraîner : exercices 15 et 18 p. 183 ; 28 et 29 p. 184