Mathématiques 2de

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Ch. 5
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Chapitre 6
Cours 1

Vecteurs du plan

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A
Définitions

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Définition
Soient \text{A} et \text{B} deux points distincts du plan. La translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}} est la transformation du plan qui associe à tout point \text{C} l'unique point \text{D} tel que [\text{AD}] et [\text{BC}] aient le même milieu.
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Définition
  • Un vecteur \overrightarrow{\text{AB}} est caractérisé par sa norme (la longueur \text{AB}), sa direction (inclinaison de la droite (\text{AB})) et son sens (de \text{A} vers \text{B}). Il définit la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}} transformant \text{A} en \text{B} .
  • Le point \text{A} est l'origine du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} et le point \text{B} en est l'extrémité.
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    Notation

    La norme du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} se note \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|.
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    Remarque

    Rappel : \text{AB} = \sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}
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    Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AA}} est appelé vecteur nul et se réduit au point \text{A}. On note \overrightarrow{\mathrm{AA}} = \overrightarrow{0}.
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    Définition
    L'égalité \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} signifie que la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}} transforme le point \text{C} en \text{D}. Les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CD}} ont alors la même direction, le même sens et la même norme.
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    Notation

    On peut nommer un vecteur \overrightarrow{\text{AB}} sous la forme de vecteur \overrightarrow{u}. On note dans ce cas \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u} .
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    Propriété

    \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, \text{ABDC} est un parallélogramme (éventuellement aplati).
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    Logique

    Si et seulement si est utilisé pour une équivalence : la propriété est donc vraie dans les deux sens.
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    Démonstration
    \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}} transforme \text{C} en \text{D} donc si, et seulement si, [\text{AD}] et [\text{BC}] ont le même milieu et donc si, et seulement si, \text{ABDC} est un parallélogramme.

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    Vecteurs égaux

    Déplacer les points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{D} pour modifier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC}.

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    Propriété
    Pour tous points distincts du plan \text{A} et \text{B} : \overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}} si, et seulement si, \text{M} est le milieu de [\text{AB}] .
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    Démonstration
    \text{M} est le milieu de [\text{AB}] \Leftrightarrow \mathrm{M} \in[\mathrm{AB}] et \text{MA} = \text{MB}
    \Leftrightarrow les points \text{A} , \text{M} et \text{B} sont alignés dans cet ordre et \text{MA} = \text{MB}
    \Leftrightarrow les droites (\text{AM}) et (\text{MB}) sont parallèles, le sens de \text{A} vers \text{M} est celui de \text{M} vers \text{B} et \text{MA} = \text{MB}
    \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}.
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    Définition
    L'opposé du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} est le vecteur noté -\overrightarrow{\text{AB}} tel que \overrightarrow{\text{AB}} et -\overrightarrow{\text{AB}} soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.
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    Remarque

    -\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}
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    Application et méthode

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    Énoncé

    1. Construire le point \text{A} , image du point \text{D} par la translation du vecteur \vec{s} suivie de la translation du vecteur \vec{r}.
    2. Construire les points \text{D}' et \text{A}' sachant que :
    \text{A}' est l'image de \text{B} par la translation de vecteur \vec{s} ;
    \text{B} est l'image de \text{D}' par la translation de vecteur \vec{r} .
    3. Indiquer des vecteurs égaux.

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    Méthode

    1. On construit l'image du point \text{D} par la translation du vecteur \overrightarrow{s_{1}} , égal au vecteur \overrightarrow{s} , puis l'image du point obtenu par la translation de vecteur \overrightarrow{r_{1}} , égal au vecteur \overrightarrow{r}. On obtient ainsi le point \text{A} .

    2. On construit le vecteur \overrightarrow{r^{\prime}}=\overrightarrow{r} dont l'extrémité est \text{B} . Son origine est \text{D}'.
    De même on obtient \text{A}' avec le vecteur \overrightarrow{s^{\prime}}=\overrightarrow{s} d'origine \text{B}.

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    Solution
    Vecteurs du plan
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    \overrightarrow{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}}=\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{1}}=\overrightarrow{r^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}=\overrightarrow{s^{\prime}}.


    Pour s'entraîner
    exercices ;
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    B
    Somme de vecteurs

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    Définition
    La translation de vecteur \overrightarrow{u} suivie de la translation de vecteur \overrightarrow{v} est une translation de vecteur \overrightarrow{w} défini par \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}.

    Somme de vecteurs
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    Remarque

    On admet que pour trois vecteurs \overrightarrow{r} , \overrightarrow{s} et \overrightarrow{t} du plan : \overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s} + \overrightarrow{r} et (\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}) + \overrightarrow{t} = \overrightarrow{r}+ ( \overrightarrow{s} + \overrightarrow{t}).
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    Propriété
    Pour tous points du plan \text{A} , \text{B} , \text{C} et \text{D} , on a :
    1. la relation de Chasles : \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.
    2. la propriété du parallélogramme : \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} si, et seulement si, \text{ABDC} est un parallélogramme.
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    Démonstration
    Relation de Chasles
    La translation qui transforme \text{A} en \text{B} suivie de la translation qui transforme \text{B} en \text{D} est la translation qui transforme \text{A} en \text{D}. D'après la définition, on a bien \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.

    Propriété du parallélogramme
  • Si \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} alors, d'après la relation de Chasles, \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}} soit encore \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}. Donc \text{ABDC} est un parallélogramme.

  • Réciproquement, si \text{ABDC} est un parallélogramme alors \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}. Donc \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} soit encore \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} d'après la relation de Chasles.
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    Somme de vecteurs

    Placeholder pour Somme de vecteursSomme de vecteurs
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    Somme de vecteurs

    Déplacer le curseur pour tracer la somme des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

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    Application et méthode

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    Énoncé
    Reproduire la figure ci-contre. 1. Tracer le vecteur \overrightarrow{\text{FF}'} tel que \overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.
    2. Tracer le vecteur \overrightarrow{c} d'origine \text{O} tel que \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
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    Méthode

    1. On construit le vecteur \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}} égal au vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert \overrightarrow{\text{AB}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BB}^{\prime}} puis \overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}.

    2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge \overrightarrow{\text{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}} puis le vecteur \overrightarrow{c} d'origine \text{O}.
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