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COURS 1


1
Vecteurs du plan




B
Somme de vecteurs


DÉMONSTRATION

Relation de Chasles
La translation qui transforme A\text{A} en B\text{B} suivie de la translation qui transforme B\text{B} en D\text{D} est la translation qui transforme A\text{A} en D.\text{D}. D’après la définition, on a bien AB+BD=AD.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.

Propriété du parallélogramme
  • Si AB+AC=AD\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} alors, d'après la relation de Chasles, AB+AC=AC+CD\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}} soit encore AB=CD.\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}. Donc ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

  • Réciproquement, si ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme alors AC=BD.\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}. Donc AB+AC=AB+BD\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} soit encore AB+AC=AD\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} d'après la relation de Chasles.

  • Propriétés

    Pour tous points du plan A,\text{A} , B,\text{B} , C\text{C} et D,\text{D} , on a :
    1. la relation de Chasles : AB+BD=AD.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.
    2. la propriété du parallélogramme : AB+AC=AD\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.
    Somme de vecteurs

    Définition

    La translation de vecteur u \overrightarrow{u} suivie de la translation de vecteur v \overrightarrow{v} est une translation de vecteur w \overrightarrow{w} défini par u+v=w.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}.

    Somme de vecteurs

    Remarque

    On admet que pour trois vecteurs r\overrightarrow{r} , s\overrightarrow{s} et t\overrightarrow{t} du plan :
    r+s=s+r\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s} + \overrightarrow{r} et (r+s)+t(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}) + \overrightarrow{t} = r+(s+t).\overrightarrow{r}+ ( \overrightarrow{s} + \overrightarrow{t}).

    A
    Définitions


    Définitions

  • Un vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} est caractérisé par sa norme (la longueur AB\text{AB}), sa direction (inclinaison de la droite (AB)(\text{AB})) et son sens (de A\text{A} vers B\text{B}). Il définit la translation de vecteur AB \overrightarrow{\text{AB}} transformant A\text{A} en B. \text{B} .
  • Le point A\text{A} est l’origine du vecteur AB \overrightarrow{\text{AB}} et le point B\text{B} en est l’extrémité.

  • Définition

    Soient A\text{A} et B\text{B} deux points distincts du plan. La translation de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} est la transformation du plan qui associe à tout point C\text{C} un unique point D\text{D} tel que [AD][\text{AD}] et [BC][\text{BC}] aient le même milieu.

    NOTATION

    La norme du vecteur AB \overrightarrow{\text{AB}} se note AB.\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|.

    DÉMONSTRATION

    AB=CD\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, la translation de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} transforme C\text{C} en D\text{D} donc si, et seulement si, [AD][\text{AD}] et [BC][\text{BC}] ont le même milieu et donc si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

    Vecteurs du plan

    NOTATION

    On peut nommer un vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} sous la forme de vecteur u.\overrightarrow{u}. On note dans ce cas AB=u.\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u} .

    DÉMONSTRATION

    M\text{M} est le milieu de [AB][\text{AB}] M[AB] \Leftrightarrow \mathrm{M} \in[\mathrm{AB}] et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    \Leftrightarrow les points A,\text{A} , M\text{M} et B\text{B} sont alignés dans cet ordre et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    \Leftrightarrow les droites (AM)(\text{AM}) et (MB)(\text{MB}) sont parallèles, le sens de A\text{A} vers M\text{M} est celui de M\text{M} vers B\text{B} et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    \Leftrightarrow AM=MB.\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}.


    Le vecteur AA\overrightarrow{\mathrm{AA}} est appelé vecteur nul et se réduit au point A.\text{A}. On note AA=0.\overrightarrow{\mathrm{AA}} = \overrightarrow{0}.

    Remarque

    AB=BA-\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}

    Remarque

    Rappel : AB=(xBxA)2+(yByA)2 \text{AB} = \sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}

    LOGIQUE

    Si et seulement si est utilisé pour une équivalence : la propriété est donc vraie dans les deux sens.

    Définition

    L’opposé du vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} est le vecteur noté AB-\overrightarrow{\text{AB}} tel que AB\overrightarrow{\text{AB}} et AB-\overrightarrow{\text{AB}} soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.

    Définition

    L’égalité AB=CD\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} signifie que la translation de vecteur AB\overrightarrow{\text{AB}} transforme le point C\text{C} en D.\text{D}. Les vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}} et CD\overrightarrow{\text{CD}} ont alors la même direction, le même sens et la même norme.

    Propriété

    Pour tous points distincts du plan A\text{A} et B:\text{B} : AM=MB\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}} si, et seulement si, M\text{M} est le milieu de [AB].[\text{AB}] .

    Propriété

    AB=CD\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme (éventuellement aplati).

    Application et méthode


    SOLUTION

    Somme de vecteurs


    Pour s'entraîner : exercices 39 ; 40 et 41 p. 186

    Méthode

    1. On construit le vecteur BB\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}} égal au vecteur CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert AB=AB+BB\overrightarrow{\text{AB}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BB}^{\prime}} puis FF.\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}.

    2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge AA=AB+AE \overrightarrow{\text{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}} puis le vecteur c\overrightarrow{c} d'origine O.\text{O}.

    Énoncé

    Reproduire la figure ci-contre.
    1. Tracer le vecteur FF\overrightarrow{\text{FF}'} tel que FF=AB+CD.\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.
    2. Tracer le vecteur c \overrightarrow{c} d’origine O\text{O} tel que c=AB+AE.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
    Somme de vecteurs

    Application et méthode


    Méthode

    1. On construit l’image du point D\text{D} par la translation du vecteur s1,\overrightarrow{s_{1}} , égal au vecteur s,\overrightarrow{s} , puis l’image du point obtenu par la translation de vecteur r1,\overrightarrow{r_{1}} , égal au vecteur r.\overrightarrow{r}. On obtient ainsi le point A.\text{A} .

    2. On construit le vecteur r=r\overrightarrow{r^{\prime}}=\overrightarrow{r} dont l’extrémité est B. \text{B} . Son origine est D.\text{D}'.
    De même on obtient A\text{A}' avec le vecteur s=s\overrightarrow{s^{\prime}}=\overrightarrow{s} d'origine B.\text{B}.

    Énoncé

    1. Construire le point A,\text{A} , image du point D\text{D} par la translation du vecteur s\vec{s} suivie de la translation du vecteur r.\vec{r}.
    2. Construire les points D\text{D}' et A\text{A}' sachant que :
    A\text{A}' est l’image de B\text{B} par la translation de vecteur s\vec{s} ;
    B\text{B} est l’image de D\text{D}' par la translation de vecteur r\vec{r} .
    3. Indiquer des vecteurs égaux.

    Vecteurs du plan

    SOLUTION

    Vecteurs du plan

    DB=r=r1=r\overrightarrow{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}}=\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{1}}=\overrightarrow{r^{\prime}} et BA=s=s1=s.\overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}=\overrightarrow{s^{\prime}}.

    Pour s'entraîner : exercices 15 et 18 p. 183 ; 28 et 29 p. 184
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