Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{A}}$ est appelé vecteur nul et se réduit au point $\text{A}.$ On note $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{A}}=\overrightarrow{0}.$

Remarque

Rappel : $\text{AB}=\sqrt{(x_{\text{B}}-x_{\text{A}}{)}^2+(y_{\text{B}}-y_{\text{A}}{)}^2}$

DÉMONSTRATION

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ si, et seulement si, la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ transforme $\text{C}$ en $\text{D}$ donc si, et seulement si, $[\text{AD}]$ et $[\text{BC}]$ ont le même milieu et donc si, et seulement si, $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

DÉMONSTRATION

$\text{M}$ est le milieu de $[\text{AB}]$ $\iff \mathrm{M}\in [\mathrm{A}\mathrm{B}]$ et $\text{MA}=\text{MB}$
$\iff$ les points $\text{A},$ $\text{M}$ et $\text{B}$ sont alignés dans cet ordre et $\text{MA}=\text{MB}$
$\iff$ les droites $(\text{AM})$ et $(\text{MB})$ sont parallèles, le sens de $\text{A}$ vers $\text{M}$ est celui de $\text{M}$ vers $\text{B}$ et $\text{MA}=\text{MB}$
$\iff$ $\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}.$

Remarque

$-\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}$

1. Construire le point $\text{A},$ image du point $\text{D}$ par la translation du vecteur $\overrightarrow{s}$ suivie de la translation du vecteur $\overrightarrow{r}.$
2. Construire les points ${\text{D}}^{\prime }$ et ${\text{A}}^{\prime }$ sachant que :
${\text{A}}^{\prime }$ est l'image de $\text{B}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{s}$ ;
$\text{B}$ est l'image de ${\text{D}}^{\prime }$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{r}$ .
3. Indiquer des vecteurs égaux.

Méthode

1. On construit l'image du point $\text{D}$ par la translation du vecteur $\overrightarrow{s_1},$ égal au vecteur $\overrightarrow{s},$ puis l'image du point obtenu par la translation de vecteur $\overrightarrow{r_1},$ égal au vecteur $\overrightarrow{r}.$ On obtient ainsi le point $\text{A}.$

2. On construit le vecteur $\overrightarrow{r^{\prime }}=\overrightarrow{r}$ dont l'extrémité est $\text{B}.$ Son origine est ${\text{D}}^{\prime }.$
De même on obtient ${\text{A}}^{\prime }$ avec le vecteur $\overrightarrow{s^{\prime }}=\overrightarrow{s}$ d'origine $\text{B}.$

SOLUTION

$\overrightarrow{{\mathrm{D}}^{\prime }\mathrm{B}}=\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{r^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{B}\mathrm{A}}^{\prime }}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_1}=\overrightarrow{s^{\prime }}.$

On admet que pour trois vecteurs $\overrightarrow{r}$ , $\overrightarrow{s}$ et $\overrightarrow{t}$ du plan :
$\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s}+\overrightarrow{r}$ et $(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s})+\overrightarrow{t}$ = $\overrightarrow{r}+(\overrightarrow{s}+\overrightarrow{t}).$

DÉMONSTRATION

Relation de Chasles
La translation qui transforme $\text{A}$ en $\text{B}$ suivie de la translation qui transforme $\text{B}$ en $\text{D}$ est la translation qui transforme $\text{A}$ en $\text{D}.$ D'après la définition, on a bien $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.$

Propriété du parallélogramme

Si $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ alors, d'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CD}}$ soit encore $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}.$ Donc $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

Réciproquement, si $\text{ABDC}$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}.$ Donc $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}$ soit encore $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ d'après la relation de Chasles.

Reproduire la figure ci-contre.
1. Tracer le vecteur $\overrightarrow{{\text{FF}}^{\prime }}$ tel que $\overrightarrow{{\mathrm{F}\mathrm{F}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}.$
2. Tracer le vecteur $\overrightarrow{c}$ d'origine $\text{O}$ tel que $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}.$

Méthode

1. On construit le vecteur $\overrightarrow{{\mathrm{B}\mathrm{B}}^{\prime }}$ égal au vecteur $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}$ puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert $\overrightarrow{{\text{AB}}^{\prime }}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{{\text{BB}}^{\prime }}$ puis $\overrightarrow{{\mathrm{F}\mathrm{F}}^{\prime }}.$

2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge $\overrightarrow{{\text{AA}}^{\prime }}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}$ puis le vecteur $\overrightarrow{c}$ d'origine $\text{O}.$

SOLUTION