Bientôt disponible
Ce manuel est en cours de finalisation et sera très prochainement disponible.
COURS 1


1
Vecteurs du plan




Application et méthode

Énoncé

Reproduire la figure ci-contre.
1. Tracer le vecteur FF′→\overrightarrow{\text{FF}'} tel que FF′→=AB→+CD→.\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.
2. Tracer le vecteur c→ \overrightarrow{c} d’origine O\text{O} tel que c→=AB→+AE→.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
Somme de vecteurs

Méthode

 1. On construit le vecteur BB′→\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}} égal au vecteur CD→\overrightarrow{\mathrm{CD}} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert AB′→=AB→+BB′→\overrightarrow{\text{AB}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BB}^{\prime}} puis FF′→.\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}.

2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge AA′→=AB→+AE→ \overrightarrow{\text{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}} puis le vecteur c→\overrightarrow{c} d'origine O.\text{O}.

SOLUTION

Somme de vecteurs


Pour s'entraîner : exercices 39 ; 40 et 41 p. 186

Application et méthode


SOLUTION

Vecteurs du plan

D′B→=r→=r1→=r′→\overrightarrow{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}}=\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{1}}=\overrightarrow{r^{\prime}} et BA′→=s→=s1→=s′→.\overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}=\overrightarrow{s^{\prime}}.

Pour s'entraîner : exercices 15 et 18 p. 183 ; 28 et 29 p. 184

Méthode

 1. On construit l’image du point D\text{D} par la translation du vecteur s1→,\overrightarrow{s_{1}} , égal au vecteur s→,\overrightarrow{s} , puis l’image du point obtenu par la translation de vecteur r1→,\overrightarrow{r_{1}} , égal au vecteur r→.\overrightarrow{r}. On obtient ainsi le point A.\text{A} .

2. On construit le vecteur r′→=r→\overrightarrow{r^{\prime}}=\overrightarrow{r} dont l’extrémité est B. \text{B} . Son origine est D′.\text{D}'.
De même on obtient A′\text{A}' avec le vecteur s′→=s→\overrightarrow{s^{\prime}}=\overrightarrow{s} d'origine B.\text{B}.

Énoncé

1. Construire le point A,\text{A} , image du point D\text{D} par la translation du vecteur s⃗\vec{s} suivie de la translation du vecteur r⃗.\vec{r}.
2. Construire les points D′\text{D}' et A′\text{A}' sachant que :
A′\text{A}' est l’image de B\text{B} par la translation de vecteur s⃗\vec{s} ;
B\text{B} est l’image de D′\text{D}' par la translation de vecteur r⃗\vec{r} .
3. Indiquer des vecteurs égaux.

Vecteurs du plan

B
Somme de vecteurs


Propriétés

Pour tous points du plan A,\text{A} , B,\text{B} , C\text{C} et D,\text{D} , on a :
1. la relation de Chasles : AB→+BD→=AD→.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.
2. la propriété du parallélogramme : AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.
Somme de vecteurs

Remarque

On admet que pour trois vecteurs r→\overrightarrow{r} , s→\overrightarrow{s} et t→\overrightarrow{t} du plan :
r→+s→=s→+r→\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s} + \overrightarrow{r} et (r→+s→)+t→(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}) + \overrightarrow{t} = r→+(s→+t→).\overrightarrow{r}+ ( \overrightarrow{s} + \overrightarrow{t}).

DÉMONSTRATION

Relation de Chasles
La translation qui transforme A\text{A} en B\text{B} suivie de la translation qui transforme B\text{B} en D\text{D} est la translation qui transforme A\text{A} en D.\text{D}. D’après la définition, on a bien AB→+BD→=AD→.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.

Propriété du parallélogramme
  • Si AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} alors, d'après la relation de Chasles, AB→+AC→=AC→+CD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}} soit encore AB→=CD→.\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}. Donc ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

  • Réciproquement, si ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme alors AC→=BD→.\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}. Donc AB→+AC→=AB→+BD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} soit encore AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} d'après la relation de Chasles.

    • Définition

    La translation de vecteur u→ \overrightarrow{u} suivie de la translation de vecteur v→ \overrightarrow{v} est une translation de vecteur w→ \overrightarrow{w} défini par u→+v→=w→.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}.

    Somme de vecteurs

    A
    Définitions


    Remarque
    −AB→=BA→-\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}

    Propriété
    Pour tous points distincts du plan A\text{A} et B:\text{B} : AM→=MB→\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}} si, et seulement si, M\text{M} est le milieu de [AB].[\text{AB}] .


    Le vecteur AA→\overrightarrow{\mathrm{AA}} est appelé vecteur nul et se réduit au point A.\text{A}. On note AA→=0→.\overrightarrow{\mathrm{AA}} = \overrightarrow{0}.

    Définition
    L’opposé du vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} est le vecteur noté −AB→-\overrightarrow{\text{AB}} tel que AB→\overrightarrow{\text{AB}} et −AB→-\overrightarrow{\text{AB}} soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.

    Définition
    Soient A\text{A} et B\text{B} deux points distincts du plan. La translation de vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} est la transformation du plan qui associe à tout point C\text{C} un unique point D\text{D} tel que [AD][\text{AD}] et [BC][\text{BC}] aient le même milieu.

    DÉMONSTRATION

    M\text{M} est le milieu de [AB][\text{AB}] ⇔M∈[AB] \Leftrightarrow \mathrm{M} \in[\mathrm{AB}] et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    ⇔ \Leftrightarrow les points A,\text{A} , M\text{M} et B\text{B} sont alignés dans cet ordre et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    ⇔ \Leftrightarrow les droites (AM)(\text{AM}) et (MB)(\text{MB}) sont parallèles, le sens de A\text{A} vers M\text{M} est celui de M\text{M} vers B\text{B} et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    ⇔ \Leftrightarrow AM→=MB→.\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}.

    NOTATION
    On peut nommer un vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} sous la forme de vecteur u→.\overrightarrow{u}. On note dans ce cas AB→=u→.\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u} .

    LOGIQUE
    Si et seulement si est utilisé pour une équivalence : la propriété est donc vraie dans les deux sens.

    Remarque
    Rappel : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 \text{AB} = \sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}

    Définitions
  • Un vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} est caractérisé par sa norme (la longueur AB\text{AB}), sa direction (inclinaison de la droite (AB)(\text{AB})) et son sens (de A\text{A} vers B\text{B}). Il définit la translation de vecteur AB→ \overrightarrow{\text{AB}} transformant A\text{A} en B. \text{B} .
  • Le point A\text{A} est l’origine du vecteur AB→ \overrightarrow{\text{AB}} et le point B\text{B} en est l’extrémité.

    • NOTATION
    La norme du vecteur AB→ \overrightarrow{\text{AB}} se note ∥AB→∥.\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|.

    Définition
    L’égalité AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} signifie que la translation de vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} transforme le point C\text{C} en D.\text{D}. Les vecteurs AB→\overrightarrow{\text{AB}} et CD→\overrightarrow{\text{CD}} ont alors la même direction, le même sens et la même norme.

    DÉMONSTRATION

    AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, la translation de vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} transforme C\text{C} en D\text{D} donc si, et seulement si, [AD][\text{AD}] et [BC][\text{BC}] ont le même milieu et donc si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

    MAT2_CH6_p174

    Propriété
    AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme (éventuellement aplati).
    page 172-173
    page 176-177
    Connectez-vous pour ajouter des favoris

    Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

    Se connecter

    J'ai oublié mon mot de passe
    Livre du professeur

    Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

    Votre avis nous intéresse !
    Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

    Peu probable
    Très probable

    Cliquez sur le score que vous voulez donner.

    Dites-nous qui vous êtes !

    Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
    Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

    Nous envoyer un message




    Nous contacter?

    Votre fiche établissement

    Renseigner ce formulaire vous permettra d'ajouter votre établissement.