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1. Vecteurs du plan
P.174-176

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COURS 1


1
Vecteurs du plan




A
Définitions


Définition

Soient et deux points distincts du plan. La translation de vecteur est la transformation du plan qui associe à tout point un unique point tel que et aient le même milieu.

Définitions

  • Un vecteur est caractérisé par sa norme (la longueur ), sa direction (inclinaison de la droite ) et son sens (de vers ). Il définit la translation de vecteur transformant en
  • Le point est l’origine du vecteur et le point en est l’extrémité.


  • Le vecteur est appelé vecteur nul et se réduit au point On note

    NOTATION

    La norme du vecteur se note

    Définition

    L’égalité signifie que la translation de vecteur transforme le point en Les vecteurs et ont alors la même direction, le même sens et la même norme.

    NOTATION

    On peut nommer un vecteur sous la forme de vecteur On note dans ce cas

    Remarque

    Rappel :

    Propriété

    si, et seulement si, est un parallélogramme (éventuellement aplati).

    LOGIQUE

    Si et seulement si est utilisé pour une équivalence : la propriété est donc vraie dans les deux sens.

    DÉMONSTRATION

    si, et seulement si, la translation de vecteur transforme en donc si, et seulement si, et ont le même milieu et donc si, et seulement si, est un parallélogramme.

    Vecteurs du plan

    Propriété

    Pour tous points distincts du plan et si, et seulement si, est le milieu de

    DÉMONSTRATION

    est le milieu de et
    les points et sont alignés dans cet ordre et
    les droites et sont parallèles, le sens de vers est celui de vers et

    Définition

    L’opposé du vecteur est le vecteur noté tel que et soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.

    Remarque

    Application et méthode

    Énoncé

    1. Construire le point image du point par la translation du vecteur suivie de la translation du vecteur
    2. Construire les points et sachant que :
    est l’image de par la translation de vecteur ;
    est l’image de par la translation de vecteur .
    3. Indiquer des vecteurs égaux.

    Vecteurs du plan

    Méthode

    1. On construit l’image du point par la translation du vecteur égal au vecteur puis l’image du point obtenu par la translation de vecteur égal au vecteur On obtient ainsi le point

    2. On construit le vecteur dont l’extrémité est Son origine est
    De même on obtient avec le vecteur d'origine


    SOLUTION

    Vecteurs du plan

    et

    Pour s'entraîner : exercices 15 et 18 p. 183 ; 28 et 29 p. 184

    B
    Somme de vecteurs


    Définition

    La translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est une translation de vecteur défini par

    Somme de vecteurs

    Remarque

    On admet que pour trois vecteurs , et du plan :
    et =

    Propriétés

    Pour tous points du plan et on a :
    1. la relation de Chasles :
    2. la propriété du parallélogramme : si, et seulement si, est un parallélogramme.
    Somme de vecteurs

    DÉMONSTRATION

    Relation de Chasles
    La translation qui transforme en suivie de la translation qui transforme en est la translation qui transforme en D’après la définition, on a bien

    Propriété du parallélogramme
  • Si alors, d'après la relation de Chasles, soit encore Donc est un parallélogramme.

  • Réciproquement, si est un parallélogramme alors Donc soit encore d'après la relation de Chasles.
  • Application et méthode

    Énoncé

    Reproduire la figure ci-contre.
    1. Tracer le vecteur tel que
    2. Tracer le vecteur d’origine tel que
    Somme de vecteurs

    Méthode

    1. On construit le vecteur égal au vecteur puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert puis

    2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge puis le vecteur d'origine

    SOLUTION

    Somme de vecteurs


    Pour s'entraîner : exercices 39 ; 40 et 41 p. 186