Mathématiques 2de
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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Chapitre 6
Cours 1

Vecteurs du plan

A
Définitions

Définition
Soient et deux points distincts du plan. La translation de vecteur est la transformation du plan qui associe à tout point l'unique point tel que et aient le même milieu.
Définition
  • Un vecteur est caractérisé par sa norme (la longueur ), sa direction (inclinaison de la droite ) et son sens (de vers ). Il définit la translation de vecteur transformant en
  • Le point est l'origine du vecteur et le point en est l'extrémité.
  • Notation

    La norme du vecteur se note

    Remarque

    Rappel :

    Le vecteur est appelé vecteur nul et se réduit au point On note
    Définition
    L'égalité signifie que la translation de vecteur transforme le point en Les vecteurs et ont alors la même direction, le même sens et la même norme.

    Notation

    On peut nommer un vecteur sous la forme de vecteur On note dans ce cas
    Propriété

    si, et seulement si, est un parallélogramme (éventuellement aplati).

    Logique

    Si et seulement si est utilisé pour une équivalence : la propriété est donc vraie dans les deux sens.
    Démonstration
    si, et seulement si, la translation de vecteur transforme en donc si, et seulement si, et ont le même milieu et donc si, et seulement si, est un parallélogramme.

    Vecteurs du plan
    Le zoom est accessible dans la version Premium.
    Propriété
    Pour tous points distincts du plan et si, et seulement si, est le milieu de
    Démonstration
    est le milieu de et
    les points et sont alignés dans cet ordre et
    les droites et sont parallèles, le sens de vers est celui de vers et
    Définition
    L'opposé du vecteur est le vecteur noté tel que et soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.

    Remarque

    Application et méthode

    Énoncé

    1. Construire le point image du point par la translation du vecteur suivie de la translation du vecteur
    2. Construire les points et sachant que :
    est l'image de par la translation de vecteur ;
    est l'image de par la translation de vecteur .
    3. Indiquer des vecteurs égaux.

    Vecteurs du plan
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    Méthode

    1. On construit l'image du point par la translation du vecteur égal au vecteur puis l'image du point obtenu par la translation de vecteur égal au vecteur On obtient ainsi le point

    2. On construit le vecteur dont l'extrémité est Son origine est
    De même on obtient avec le vecteur d'origine

    Solution
    Vecteurs du plan
    Le zoom est accessible dans la version Premium.

    et


    Pour s'entraîner
    exercices ;

    B
    Somme de vecteurs

    Définition
    La translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est une translation de vecteur défini par

    Somme de vecteurs
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    Remarque

    On admet que pour trois vecteurs , et du plan : et =
    Propriété
    Pour tous points du plan et on a :
    1. la relation de Chasles :
    2. la propriété du parallélogramme : si, et seulement si, est un parallélogramme.
    Somme de vecteurs
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    Démonstration
    Relation de Chasles
    La translation qui transforme en suivie de la translation qui transforme en est la translation qui transforme en D'après la définition, on a bien

    Propriété du parallélogramme
  • Si alors, d'après la relation de Chasles, soit encore Donc est un parallélogramme.

  • Réciproquement, si est un parallélogramme alors Donc soit encore d'après la relation de Chasles.
  • Application et méthode

    Énoncé
    Reproduire la figure ci-contre. 1. Tracer le vecteur tel que
    2. Tracer le vecteur d'origine tel que
    Somme de vecteurs
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    Méthode

    1. On construit le vecteur égal au vecteur puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert puis

    2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge puis le vecteur d'origine
    Solution
    Somme de vecteurs
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    Pour s'entraîner
    exercices

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