Un vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ est caractérisé par sa norme (la longueur $\text{AB}$), sa direction (inclinaison de la droite $(\text{AB})$) et son sens (de $\text{A}$ vers $\text{B}$). Il définit la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ transformant $\text{A}$ en $\text{B}.$

Le point $\text{A}$ est l'origine du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ et le point $\text{B}$ en est l'extrémité.

On peut nommer un vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ sous la forme de vecteur $\overrightarrow{u}.$ On note dans ce cas $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{u}.$

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ si, et seulement si, $\text{ABDC}$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Pour tous points distincts du plan $\text{A}$ et $\text{B}:$ $\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}$ si, et seulement si, $\text{M}$ est le milieu de $[\text{AB}].$

$-\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}$

1. On construit l'image du point $\text{D}$ par la translation du vecteur $\overrightarrow{s_1},$ égal au vecteur $\overrightarrow{s},$ puis l'image du point obtenu par la translation de vecteur $\overrightarrow{r_1},$ égal au vecteur $\overrightarrow{r}.$ On obtient ainsi le point $\text{A}.$

2. On construit le vecteur $\overrightarrow{r^{\prime }}=\overrightarrow{r}$ dont l'extrémité est $\text{B}.$ Son origine est ${\text{D}}^{\prime }.$
De même on obtient ${\text{A}}^{\prime }$ avec le vecteur $\overrightarrow{s^{\prime }}=\overrightarrow{s}$ d'origine $\text{B}.$

Relation de Chasles
La translation qui transforme $\text{A}$ en $\text{B}$ suivie de la translation qui transforme $\text{B}$ en $\text{D}$ est la translation qui transforme $\text{A}$ en $\text{D}.$ D'après la définition, on a bien $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.$

Propriété du parallélogramme

Si $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ alors, d'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CD}}$ soit encore $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}.$ Donc $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

Réciproquement, si $\text{ABDC}$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}.$ Donc $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}$ soit encore $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ d'après la relation de Chasles.

1. On construit le vecteur $\overrightarrow{{\mathrm{B}\mathrm{B}}^{\prime }}$ égal au vecteur $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}$ puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert $\overrightarrow{{\text{AB}}^{\prime }}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{{\text{BB}}^{\prime }}$ puis $\overrightarrow{{\mathrm{F}\mathrm{F}}^{\prime }}.$

2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge $\overrightarrow{{\text{AA}}^{\prime }}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}$ puis le vecteur $\overrightarrow{c}$ d'origine $\text{O}.$