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1. Vecteurs du plan
P.174-176
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COURS 1


1
Vecteurs du plan




A
Définitions


Définition
Soient A\text{A} et B\text{B} deux points distincts du plan. La translation de vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} est la transformation du plan qui associe à tout point C\text{C} un unique point D\text{D} tel que [AD][\text{AD}] et [BC][\text{BC}] aient le même milieu.

Définitions
  • Un vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} est caractérisé par sa norme (la longueur AB\text{AB}), sa direction (inclinaison de la droite (AB)(\text{AB})) et son sens (de A\text{A} vers B\text{B}). Il définit la translation de vecteur AB→ \overrightarrow{\text{AB}} transformant A\text{A} en B. \text{B} .
  • Le point A\text{A} est l’origine du vecteur AB→ \overrightarrow{\text{AB}} et le point B\text{B} en est l’extrémité.


    • Le vecteur AA→\overrightarrow{\mathrm{AA}} est appelé vecteur nul et se réduit au point A.\text{A}. On note AA→=0→.\overrightarrow{\mathrm{AA}} = \overrightarrow{0}.

    NOTATION
    La norme du vecteur AB→ \overrightarrow{\text{AB}} se note ∥AB→∥.\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|.

    Définition
    L’égalité AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} signifie que la translation de vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} transforme le point C\text{C} en D.\text{D}. Les vecteurs AB→\overrightarrow{\text{AB}} et CD→\overrightarrow{\text{CD}} ont alors la même direction, le même sens et la même norme.

    NOTATION
    On peut nommer un vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} sous la forme de vecteur u→.\overrightarrow{u}. On note dans ce cas AB→=u→.\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u} .

    Remarque
    Rappel : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 \text{AB} = \sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}

    Propriété
    AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme (éventuellement aplati).

    LOGIQUE
    Si et seulement si est utilisé pour une équivalence : la propriété est donc vraie dans les deux sens.

    DÉMONSTRATION

    AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} si, et seulement si, la translation de vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} transforme C\text{C} en D\text{D} donc si, et seulement si, [AD][\text{AD}] et [BC][\text{BC}] ont le même milieu et donc si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

    Vecteurs du plan

    Propriété
    Pour tous points distincts du plan A\text{A} et B:\text{B} : AM→=MB→\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}} si, et seulement si, M\text{M} est le milieu de [AB].[\text{AB}] .

    DÉMONSTRATION

    M\text{M} est le milieu de [AB][\text{AB}] ⇔M∈[AB] \Leftrightarrow \mathrm{M} \in[\mathrm{AB}] et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    ⇔ \Leftrightarrow les points A,\text{A} , M\text{M} et B\text{B} sont alignés dans cet ordre et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    ⇔ \Leftrightarrow les droites (AM)(\text{AM}) et (MB)(\text{MB}) sont parallèles, le sens de A\text{A} vers M\text{M} est celui de M\text{M} vers B\text{B} et MA=MB\text{MA} = \text{MB}
    ⇔ \Leftrightarrow AM→=MB→.\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{MB}}.

    Définition
    L’opposé du vecteur AB→\overrightarrow{\text{AB}} est le vecteur noté −AB→-\overrightarrow{\text{AB}} tel que AB→\overrightarrow{\text{AB}} et −AB→-\overrightarrow{\text{AB}} soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.

    Remarque
    −AB→=BA→-\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BA}}

    Application et méthode

    Énoncé

    1. Construire le point A,\text{A} , image du point D\text{D} par la translation du vecteur s→\overrightarrow{s} suivie de la translation du vecteur r→.\overrightarrow{r}.
    2. Construire les points D′\text{D}' et A′\text{A}' sachant que :
    A′\text{A}' est l’image de B\text{B} par la translation de vecteur s→\overrightarrow{s} ;
    B\text{B} est l’image de D′\text{D}' par la translation de vecteur r→\overrightarrow{r} .
    3. Indiquer des vecteurs égaux.

    Vecteurs du plan

    Méthode

     1. On construit l’image du point D\text{D} par la translation du vecteur s1→,\overrightarrow{s_{1}} , égal au vecteur s→,\overrightarrow{s} , puis l’image du point obtenu par la translation de vecteur r1→,\overrightarrow{r_{1}} , égal au vecteur r→.\overrightarrow{r}. On obtient ainsi le point A.\text{A} .

    2. On construit le vecteur r′→=r→\overrightarrow{r^{\prime}}=\overrightarrow{r} dont l’extrémité est B. \text{B} . Son origine est D′.\text{D}'.
    De même on obtient A′\text{A}' avec le vecteur s′→=s→\overrightarrow{s^{\prime}}=\overrightarrow{s} d'origine B.\text{B}.


    SOLUTION

    Vecteurs du plan

    D′B→=r→=r1→=r′→\overrightarrow{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}}=\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{1}}=\overrightarrow{r^{\prime}} et BA′→=s→=s1→=s′→.\overrightarrow{\mathrm{BA}^{\prime}}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}=\overrightarrow{s^{\prime}}.

    Pour s'entraîner : exercices 15 et 18 p. 183 ; 28 et 29 p. 184

    B
    Somme de vecteurs


    Définition

    La translation de vecteur u→ \overrightarrow{u} suivie de la translation de vecteur v→ \overrightarrow{v} est une translation de vecteur w→ \overrightarrow{w} défini par u→+v→=w→.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}.

    Somme de vecteurs

    Remarque

    On admet que pour trois vecteurs r→\overrightarrow{r} , s→\overrightarrow{s} et t→\overrightarrow{t} du plan :
    r→+s→=s→+r→\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s} + \overrightarrow{r} et (r→+s→)+t→(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{s}) + \overrightarrow{t} = r→+(s→+t→).\overrightarrow{r}+ ( \overrightarrow{s} + \overrightarrow{t}).

    Propriétés

    Pour tous points du plan A,\text{A} , B,\text{B} , C\text{C} et D,\text{D} , on a :
    1. la relation de Chasles : AB→+BD→=AD→.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.
    2. la propriété du parallélogramme : AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} si, et seulement si, ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.
    Somme de vecteurs

    DÉMONSTRATION

    Relation de Chasles
    La translation qui transforme A\text{A} en B\text{B} suivie de la translation qui transforme B\text{B} en D\text{D} est la translation qui transforme A\text{A} en D.\text{D}. D’après la définition, on a bien AB→+BD→=AD→.\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AD}}.

    Propriété du parallélogramme
  • Si AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} alors, d'après la relation de Chasles, AB→+AC→=AC→+CD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}} soit encore AB→=CD→.\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}. Donc ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

  • Réciproquement, si ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme alors AC→=BD→.\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}. Donc AB→+AC→=AB→+BD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} soit encore AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}} d'après la relation de Chasles.

    • Application et méthode

    Énoncé

    Reproduire la figure ci-contre.
    1. Tracer le vecteur FF′→\overrightarrow{\text{FF}'} tel que FF′→=AB→+CD→.\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.
    2. Tracer le vecteur c→ \overrightarrow{c} d’origine O\text{O} tel que c→=AB→+AE→.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
    Somme de vecteurs

    Méthode

     1. On construit le vecteur BB′→\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}} égal au vecteur CD→\overrightarrow{\mathrm{CD}} puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert AB′→=AB→+BB′→\overrightarrow{\text{AB}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BB}^{\prime}} puis FF′→.\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}.

    2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge AA′→=AB→+AE→ \overrightarrow{\text{AA}^{\prime}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}} puis le vecteur c→\overrightarrow{c} d'origine O.\text{O}.

    SOLUTION

    Somme de vecteurs


    Pour s'entraîner : exercices 39 ; 40 et 41 p. 186
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