Soient A et B deux points distincts du plan. La translation de vecteur AB est la
transformation du plan qui associe à tout point C un unique point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu.
Définitions
Un vecteur AB est caractérisé par sa norme (la longueur AB), sa direction (inclinaison
de la droite (AB)) et son sens (de A vers B). Il définit la translation de vecteur AB transformant A en B.
Le point A est l’origine du vecteur AB et le point B en est l’extrémité.
Le vecteur AA est appelé vecteur nul et se réduit au point A. On note AA=0.
NOTATION
La norme du vecteur AB se note ∥AB∥.
Définition
L’égalitéAB=CD signifie que la translation de vecteur AB transforme le point
C en D. Les vecteurs AB et CD ont alors la même direction, le même sens et la
même norme.
NOTATION
On peut nommer un
vecteur AB sous la
forme de vecteur u.
On note dans ce cas
AB=u.
Remarque
Rappel :AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
Propriété
AB=CD si, et seulement si, ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
LOGIQUE
Si et seulement si
est utilisé pour une
équivalence : la propriété
est donc vraie
dans les deux sens.
DÉMONSTRATION
AB=CD si, et seulement si, la translation
de vecteur AB transforme C en D donc si,
et seulement si, [AD] et [BC] ont le même
milieu et donc si, et seulement si, ABDC est
un parallélogramme.
Propriété
Pour tous points distincts du plan A et B:AM=MB si, et seulement si, M est le milieu de [AB].
DÉMONSTRATION
M est le milieu de [AB]⇔M∈[AB]etMA=MB ⇔ les points A,M et B sont alignés dans cet ordre etMA=MB ⇔ les droites (AM) et (MB) sont parallèles, le sens de A vers M est celui de M vers B et MA=MB ⇔AM=MB.
Définition
L’opposé du vecteur AB est le vecteur noté −AB tel que AB et −AB soient de même direction, de même norme mais de sens contraires.
Remarque
−AB=BA
Application et méthode
Énoncé
1. Construire le point A, image du point D par la translation
du vecteur s suivie de la translation du vecteur r. 2. Construire les points D′ et A′ sachant que : A′ est l’image de B par la translation de vecteur s ; B est l’image de D′ par la translation de vecteur r . 3. Indiquer des vecteurs égaux.
Méthode
1. On construit l’image du point D par la translation
du vecteur s1, égal au vecteur s, puis l’image du
point obtenu par la translation de vecteur r1, égal au
vecteur r. On obtient ainsi le point A.
2. On construit le vecteur r′=r dont l’extrémité est B.
Son origine est D′.
De même on obtient A′ avec le vecteur s′=s d'origine B.
La translation de vecteur u suivie de la translation
de vecteur v est une translation de vecteur
w défini par u+v=w.
Remarque
On
admet que pour trois
vecteurs r , s et
t du plan : r+s=s+r et
(r+s)+t = r+(s+t).
Propriétés
Pour tous points du plan A,B,C et D, on a : 1.la relation de Chasles : AB+BD=AD. 2.la propriété du parallélogramme : AB+AC=AD si, et seulement si, ABDC est un parallélogramme.
DÉMONSTRATION
Relation de Chasles
La translation qui transforme A en B suivie de la translation qui transforme B en D est la translation qui transforme A en D. D’après la définition, on a bien AB+BD=AD.
Propriété du parallélogramme
Si AB+AC=AD alors, d'après la relation de Chasles, AB+AC=AC+CD soit encore AB=CD. Donc ABDC est un parallélogramme.
Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme alors AC=BD. Donc AB+AC=AB+BD soit encore AB+AC=AD d'après la relation de Chasles.
Application et méthode
Énoncé
Reproduire la figure ci-contre. 1. Tracer le vecteur FF′ tel que FF′=AB+CD. 2. Tracer le vecteur c d’origine O tel que c=AB+AE.
Méthode
1. On construit le vecteur BB′ égal au vecteur CD puis, en appliquant la relation de Chasles, on obtient en vert AB′=AB+BB′ puis
FF′.
2. En appliquant la propriété du parallélogramme, on obtient en rouge AA′=AB+AE puis le vecteur c d'origine O.
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