Entrainement 2


Vecteurs dans un repère





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ALGO
[Calculer.] ◉◉
On considère l’algorithme suivant. Les variables mentionnées sont des nombres réels.

axCxAbyCyAcxBxCdyByCr0Si a=c et b=d alors :r1Fin Si  \boxed{ \begin{array} { l } \text{a} \leftarrow \text{x}_{\text{C}} - \text{x}_{\text{A}} \\ \text{b} \leftarrow \text{y}_{\text{C}} - \text{y}_{\text{A}} \\ \text{c} \leftarrow \text{x}_{\text{B}} - \text{x}_{\text{C}} \\ \text{d} \leftarrow \text{y}_{\text{B}} - \text{y}_{\text{C}} \\ \text{r} \leftarrow 0 \\ \text{Si } \text{a} = \text{c} \text{ et } \text{b} = \text{d} \text{ alors :} \\ \quad \text{r} \leftarrow 1 \\ \text{Fin Si } \end{array} }

1. On considère les points A(1;3),\text{A}(-1 \: ; 3), B(5;1)\text{B}(5 \: ; - 1) et C(2;1).\text{C}(2 \: ; 1) .
a. Calculer les coordonnées de AC\overrightarrow{\text{AC}} et CB.\overrightarrow{\text{CB}}.

b. Que peut-on dire des points A,\text{A}, B\text{B} et C\text{C} ?


2. Calculer les variables a,a , b,b , cc et dd à partir des points A,\text{A}, B\text{B} et C.\text{C}.


3. En déduire le rôle de r. r .

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[Communiquer.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O}\,; \vec{i},\,\vec{j}).

Vecteurs dans un repère

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs.


2. Écrire les vecteurs dans la base (i,j).(\vec{i},\vec{j}). comme l'exemple suivant : OB=3i+2j.\overrightarrow{\mathrm{OB}}=3 \vec{i}+\overrightarrow{2 j}.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 27 ; 31 ; 39 ; 46 ; 49 ; 56 et 67 ;
◉◉ Parcours 2 : exercices 29 ; 33 ; 36 ; 43 ; 52 ; 57 ; 59 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 37 ; 47 ; 48 ; 54 ; 74 et 75

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[Raisonner.]
On considère les points suivants dans un repère orthonormé (O;i,j):(\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}) : A(3;5),\text{A}(3\: ; 5) , C(7;9)\text{C}(7\: ; - 9) et M(5;5).\text{M}(-5\: ; 5). P\text{P} est le point de coordonnées (5;2).(5\: ; - 2).

1. Calculer les coordonnées du point M,\text{M}', symétrique de M\text{M} par la symétrie de centre P .\text{P .}


2. Vérifier que le point C\text{C} est l’image du P\text{P} par la translation du vecteur AP.\overrightarrow{\text{AP}}. Que peut-on en déduire sur P\text{P} ?


3. Démontrer que AMCM\text{AMCM}' est un parallélogramme.

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[Calculer.]
Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}), on considère les points R(5;1), \text{R}(5 \: ; 1), S(2;4),\text{S}(2 \: ; -4), T(3;1),\text{T}(-3 \: ; 1), U(1;4) \text{U}(1 \: ; 4) et V(3;5).\text{V}(3 \: ; 5).
Calculer les coordonnées du point W(x;y)\text{W}(x \: ; y) telles que VW=RS+TU.\overrightarrow{\mathrm{VW}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{TU}}.

Dans la vie professionnelle

L’ingénieur(e) en mécanique des fluides peut se spécialiser dans l’amélioration des différents moyens de transports pour lesquels les paramètres s’apparentent à la mécanique des fluides (par exemple, les embouteillages). Pour cela, de nombreuses composantes sont étudiées et les vecteurs (au sens large du terme) sont nécessaires à la résolution de certains problèmes.

Vecteurs dans un repère

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[Calculer.] ◉◉
On considère quatre points E,\text{E} , F,\text{F} , G\text{G} et H\text{H} dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i} , \vec{j}). Indiquer si EFGH\text{EFGH} est un parallélogramme dans les différents cas.

1. E(2;1),F(8;1),G(10;3) \mathrm{E}(2 \: ;-1), \mathrm{F}(8 \: ; -1), \mathrm{G}(10 \: ; 3) et H(4;3)\mathrm{H}(4 \: ; 3)


2. E(1;1),F(0;2),G(8;3) \mathrm{E}(1 \: ; -1), \mathrm{F}(0 \: ; 2), \mathrm{G}(8 \: ; -3) et H(7;0)\mathrm{H}(7 \: ; 0)


3. E(2,06;1,78), \mathrm{E}(-2\text{,}06 \: ; -1\text{,}78)\text{,} F(0,92;4,84),G(9,22;2,08) \mathrm{F}(0\text{,}92 \: ; -4{,}84)\text{,}\,\mathrm{G}(9\text{,}22 \: ; -2\text{,}08) et H(6,1;1,3)\mathrm{H}(6\text{,}1 \: ; 1\text{,}3)


4. E(3;4), \mathrm{E}(3 \: ; -4), F(14;4),G(10;4)\mathrm{F}(14 \: ; -4), \mathrm{G}(10 \: ; 4) et H(1;4)\mathrm{H}(-1 \: ; 4)

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[Représenter.]
Lors d’une régate, trois voiliers s’élancent. Les distances sont exprimées en milles marins (un mille marin équivalent à 1 852 m). Le côté d’un carreau mesure 2 milles marins.

Vecteurs dans un repère

1. Le voilier B1\mathrm{B}_{1} parcourt 14 milles vers l’est. Tracer le vecteur B1B1\overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{1}^{\prime}} correspondant à ce déplacement.


2. B2\mathrm{B}_{2} parcourt 8 milles en direction du nord-est puis 6 milles vers l’est. À l’aide d’un compas, tracer le vecteur B2B2\overrightarrow{\mathrm{B}_{2} \mathrm{B}_{2}^{\prime}} correspondant à ce déplacement.


3. Inventer un déplacement de B3\mathrm{B}_{3} suivant une ligne brisée, sachant qu’il parcourt 15 milles jusqu’à la ligne d’arrivée.

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[Chercher.]
À La Rochelle, un plaisancier navigue en notant sa position sur sa carte marine. A\text{A} est son point de départ, B\text{B} indique la position suivante, puis C,\text{C} , et ainsi de suite jusqu’au point F.\text{F}.

Vecteurs dans un repère

1. Lire sur le repère les coordonnées des points A,\text{A} , B,\text{B} , C,\text{C} , D,\text{D} , E\text{E} et F.\text{F} .


2. Lire les coordonnées des vecteurs AB,\overrightarrow{\mathrm{AB}}, BC,\overrightarrow{\mathrm{BC}}, CD,\overrightarrow{\mathrm{CD}}, DE,\overrightarrow{\mathrm{DE}}, et EF.\overrightarrow{\mathrm{EF}}.


3. Le lendemain, il réalise le trajet en sens inverse, de F\text{F} vers A.\text{A} . Quelles sont les coordonnées des vecteurs successifs de son déplacement ?

53
[Calculer.]
Dans chaque cas, u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont deux représentants d'un même vecteur. Calculer les valeurs de xx et y.y.

1. u(35)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{-3} \\ {5}\end{pmatrix} et v(x6y+9)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}{x-6} \\ {y+9}\end{pmatrix}


2. u(1113)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{11} \\ {-13}\end{pmatrix} et v(2x+532y)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}{2 x+5} \\ {3-2 y}\end{pmatrix}


3. u(3x25)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{-3 x-2} \\ {5}\end{pmatrix} et v(5x105)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}{5 x-10} \\ {5}\end{pmatrix}

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[Représenter.] ◉◉
Lors d’une course en mer, un voilier se déplace sous l’action combinée du vent et du courant marin associés aux vecteurs v\overrightarrow{v} et c.\overrightarrow{c}. Le vecteur déplacement est la somme de v\overrightarrow{v} etc. \overrightarrow{c}. Le départ est l'origine du repère.

Vecteurs dans un repère

Soit M(x;y)\text{M} (x \: ; y ) le point tel que OM=v+c.\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{c}. Le skipper souhaite connaître les coordonnées de M.\text{M}.

1. Le repère ci-dessus est l’écran du GPS du voilier. Quelle difficulté rencontre-t-il pour localiser M\text{M} ?


2. Comment aider le skipper à calculer les coordonnées du point M\text{M} ?

59
[Calculer.] ◉◉
On considère les points et les vecteurs suivants dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}).

Vecteurs dans un repère

1. Calculer les coordonnées de u\overrightarrow{u} telles que u=AB+CD.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}. Construire le point I\text{I} tel que OI=AB+CD.\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.


2. Calculer les coordonnées de v\overrightarrow{v} telles que v=AB+EF.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}. Construire le point J\text{J} tel que OJ=AB+EF.\overrightarrow{\mathrm{OJ}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}.


3. Calculer les coordonnées de w \overrightarrow{w} telles que w=CD+EF.\overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}. Construire le point H\text{H} tel que OH=CD+EF.\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}.

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[Raisonner.]
Dans un repère (O;i,j),(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}), on considère les points A(5;6), \text{A}( 5 \: ; -6), B(4;2)\text{B} (4 \: ; 2) et D(4;7).\text{D}(4 \: ; -7).
Quelles sont les coordonnées du point C(x;y)\text{C}(x \: ; y) sachant que le vecteur u=AB+CD\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} a pour coordonnées u(54)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{5} \\ {4}\end{pmatrix} ?


64
EN PHYSIQUE
[Calculer.]
On considère un objet soumis à trois forces. On a représenté cet objet dans GeoGebra par le point A\text{A} et ces trois forces par les vecteurs u,\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w.\overrightarrow{w}.

Vecteurs dans un repère

1. Indiquer, parmi les trois vecteurs représentés, lequel est u, \overrightarrow{u}, lequel est v\overrightarrow{v} et lequel est w.\overrightarrow{w}.


2. On dit que les forces se compensent lorsque u+v+w=0.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}. Est-ce le cas ici ? Justifier.


3. Calculer l’intensité de chacune d’entre elles.

AIDE

L’intensité d’une force est la norme du vecteur la représentant.

65
[Représenter.]
On se place dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}). La figure ci-dessous représente deux voitures A\text{A} et B\text{B} qui roulent selon les vecteurs vitesses VA=90i\overrightarrow{\text{V}_{\text{A}}} = 90 \overrightarrow{i} et VB=60i.\overrightarrow{\text{V}_{\text{B}}} = 60 \overrightarrow{i}.

Vecteurs dans un repère

La norme de chaque vecteur est la vitesse de chaque voiture en km/h.

1. Déterminer les coordonnées de chaque vecteur puis en déduire alors la vitesse de chaque voiture.


2. Un enfant assis sur la banquette arrière de la voiture B\text{B} voit la voiture A\text{A} le dépasser à une vitesse relative de A\text{A} par rapport à B\text{B} égale à VAVB.\left\|\overrightarrow{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}}-\overrightarrow{\mathrm{V}_{\mathrm{B}}}\right\|.
Calculer cette vitesse ? Est-ce étonnant ?


3. Quelle est la vitesse relative de la voiture A\text{A} par rapport à B\text{B} lorsque VA=90i\overrightarrow{\text{V}_{\text{A}}} = 90 \overrightarrow{i} et VB=60i\overrightarrow{\text{V}_{\text{B}}} = -60 \overrightarrow{i} ? Détailler la situation dans ce cas.

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[Calculer.] ◉◉
On considère les points suivants dans un repère orthonormé (O;i,j):(\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}) : A(4;3),B(4;2),C(3;2)\mathrm{A}(-4\,;-3), \mathrm{B}(4\,;-2), \mathrm{C}(3\,; 2), D(5;1)\mathrm{D}(-5\, ; 1) et E(2;6).\mathrm{E}(2\, ; 6).
Répondre aux questions à l’aide des vecteurs en expliquant la démarche (on pourra éventuellement utiliser GeoGebra pour conjecturer).

1. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD\text{ABCD} ?


2. Que représente le point C\text{C} pour le segment [BE][\text{BE}] ?


3. Le point C\text{C} est-il l’image du point E\text{E} par la translation de vecteur DA\overrightarrow{\text{DA}} ?


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