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Chapitre 6
Entrainement 2

Vecteurs dans un repère

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
27
 ;
31
 ;
39
 ;
46
 ;
49
 ;
56
et
67
 ;
Parcours 2 : exercices
29
 ;
33
 ;
36
 ;
43
 ;
52
 ;
57
 ;
59
 et
63
Parcours 3 : exercices
37
 ;
47
 ;
48
 ;
54
 ;
74
 et
75
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49
[Communiquer.]
On considère les vecteurs suivants dans un repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \vec{i},\,\vec{j}).

Vecteurs dans un repère
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs.


2. Écrire les vecteurs dans la base (\vec{i},\vec{j}). comme l'exemple suivant : \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3 \vec{i}+\overrightarrow{2 j}.
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50
 [Chercher.]
À La Rochelle, un plaisancier navigue en notant sa position sur sa carte marine. \text{A} est son point de départ, \text{B} indique la position suivante, puis \text{C} , et ainsi de suite jusqu'au point \text{F}.

Vecteurs dans un repère
1. Lire sur le repère les coordonnées des points \text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} , \text{E} et \text{F} .


2. Lire les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{DE}}, et \overrightarrow{\mathrm{EF}}.


3. Le lendemain, il réalise le trajet en sens inverse, de \text{F} vers \text{A} . Quelles sont les coordonnées des vecteurs successifs de son déplacement ?
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51
 [Représenter.]
Une carte d'un trésor a été retrouvée avec le parchemin suivant : « Partant de \text{A} , 1 à l'ouest, 1 au sud ; 1 à l'ouest, 2 au sud ; 4 à l'est, 1 au nord ; 1 à l'ouest, 3 au sud ; 2 à l'ouest. » 1. Retrouver les différentes positions mentionnées dans le texte. On notera dans l'ordre les points de parcours de \text{B} jusqu'à \text{F} .


2. Donner les coordonnées des vecteurs associés : \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{DE}} et \overrightarrow{\mathrm{EF}}.


3. En utilisant la même notation que celle du parchemin, quel déplacement permet de passer de \text{A} à \text{F} directement ?


Vecteurs dans un repère
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52
Algo
[Calculer.]
On considère l'algorithme suivant. Les variables mentionnées sont des nombres réels.

\boxed{ \begin{array} { l } \text{a} \leftarrow \text{x}_{\text{C}} - \text{x}_{\text{A}} \\ \text{b} \leftarrow \text{y}_{\text{C}} - \text{y}_{\text{A}} \\ \text{c} \leftarrow \text{x}_{\text{B}} - \text{x}_{\text{C}} \\ \text{d} \leftarrow \text{y}_{\text{B}} - \text{y}_{\text{C}} \\ \text{r} \leftarrow 0 \\ \text{Si } \text{a} = \text{c} \text{ et } \text{b} = \text{d} \text{ alors :} \\ \quad \text{r} \leftarrow 1 \\ \text{Fin Si } \end{array} }
1. On considère les points \text{A}(-1 \: ; 3), \text{B}(5 \: ; - 1) et \text{C}(2 \: ; 1) .
a. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\text{AC}} et \overrightarrow{\text{CB}}.

b. Que peut-on dire des points \text{A}, \text{B} et \text{C} ?


2. Calculer les variables a , b , c et d à partir des points \text{A}, \text{B} et \text{C}.


3. En déduire le rôle de r .
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53
 [Calculer.]
Dans chaque cas, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux représentants d'un même vecteur. Calculer les valeurs de x et y.
1. \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{-3} \\ {5}\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}{x-6} \\ {y+9}\end{pmatrix}


2. \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{11} \\ {-13}\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}{2 x+5} \\ {3-2 y}\end{pmatrix}
3. \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{-3 x-2} \\ {5}\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}{5 x-10} \\ {5}\end{pmatrix}
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 [Représenter.]

On considère les points suivants dans un repère orthonormé (\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}).

Vecteurs dans un repère
1. Déterminer graphiquement les coordonnées des objets suivants.
  • Le point \text{G} tel que \overrightarrow{\mathrm{AG}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {4}\end{pmatrix}.


  • Le point \text{H} tel que \overrightarrow{\mathrm{HE}}\begin{pmatrix}{3} \\ {3}\end{pmatrix}.


  • Le point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}}=4 \overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}.


  • Le point \text{N} tel que \overrightarrow{\mathrm{ND}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.


  • Le point \text{P} tel que \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}.


    • 2. Vérifier les réponses dans GeoGebra.

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    55
    GeoGebra
    [Représenter.]
    Lors d'une régate, trois voiliers s'élancent. Les distances sont exprimées en milles marins (un mille marin équivalent à 1 852 m). Le côté d'un carreau mesure 2 milles marins.
    Vecteurs dans un repère
    1. Le voilier \mathrm{B}_{1} parcourt 14 milles vers l'est. Tracer le vecteur \overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{1}^{\prime}} correspondant à ce déplacement.
    2. \mathrm{B}_{2} parcourt 8 milles en direction du nord-est puis 6 milles vers l'est. À l'aide d'un compas, tracer le vecteur \overrightarrow{\mathrm{B}_{2} \mathrm{B}_{2}^{\prime}} correspondant à ce déplacement.
    3. Inventer un déplacement de \mathrm{B}_{3} suivant une ligne brisée, sachant qu'il parcourt 15 milles jusqu'à la ligne d'arrivée.
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    56
     [Calculer.]

    On considère quatre points \text{E} , \text{F} , \text{G} et \text{H} dans un repère orthonormé (\mathrm{O}  ; \vec{i} , \vec{j}). Indiquer si \text{EFGH} est un parallélogramme dans les différents cas.
    1. \mathrm{E}(2 \: ;-1), \mathrm{F}(8 \: ; -1), \mathrm{G}(10 \: ; 3) et \mathrm{H}(4 \: ; 3)


    2. \mathrm{E}(1 \: ; -1), \mathrm{F}(0 \: ; 2), \mathrm{G}(8 \: ; -3) et \mathrm{H}(7 \: ; 0)
    3. \mathrm{E}(-2\text{,}06 \: ; -1\text{,}78)\text{,} \mathrm{F}(0\text{,}92 \: ; -4{,}84)\text{,}\,\mathrm{G}(9\text{,}22 \: ; -2\text{,}08) et \mathrm{H}(6\text{,}1 \: ; 1\text{,}3)


    4. \mathrm{E}(3 \: ; -4), \mathrm{F}(14 \: ; -4), \mathrm{G}(10 \: ; 4) et \mathrm{H}(-1 \: ; 4)
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    57
     [Calculer.]

    On considère les points suivants dans un repère orthonormé (\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}) : \mathrm{A}(-4\,;-3), \mathrm{B}(4\,;-2), \mathrm{C}(3\,; 2), \mathrm{D}(-5\, ; 1) et \mathrm{E}(2\, ; 6).
    Répondre aux questions à l'aide des vecteurs en expliquant la démarche (on pourra éventuellement
    1. Quelle est la nature du quadrilatère \text{ABCD} ?


    2. Que représente le point \text{C} pour le segment [\text{BE}] ?


    3. Le point \text{C} est-il l'image du point \text{E} par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{DA}} ?
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    58
     [Raisonner.]
    On considère les points suivants dans un repère orthonormé (\mathrm{O}; \vec{i}, \vec{j}) : \text{A}(3\: ; 5) , \text{C}(7\: ; - 9) et \text{M}(-5\: ; 5). \text{P} est le point de coordonnées (5\: ; - 2). 1. Calculer les coordonnées du point \text{M}', symétrique de \text{M} par la symétrie de centre \text{P .}


    2. Vérifier que le point \text{C} est l'image de \text{P} par la translation du vecteur \overrightarrow{\text{AP}}. Que peut-on en déduire sur \text{P} ?
    3. Démontrer que \text{AMCM}' est un parallélogramme.
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    59
     [Calculer.]

    On considère les points et les vecteurs suivants dans un repère (\text{O}  ; \vec{i} , \vec{j}).

    Placeholder pour Diagramme: vecteurs A, B, C, D, E et F représentés dans un plan orthonormé.Diagramme: vecteurs A, B, C, D, E et F représentés dans un plan orthonormé.
    1. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{u} telles que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}. Construire le point \text{I} tel que \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}.


    2. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{v} telles que \overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}. Construire le point \text{J} tel que \overrightarrow{\mathrm{OJ}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}.


    3. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{w} telles que \overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}. Construire le point \text{H} tel que \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}.
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    60
     [Calculer.]
    Dans un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}), on considère les points \text{A}(-8 \: ; 3), \text{B}(4 \: ; 2) et \text{C}(11 \: ; -3). 1. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.


    2. Écrire chaque vecteur \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} uniquement en fonction de \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}.


    3. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{z}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}. Que constate-t-on ?
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    61
     [Raisonner.]
    Dans un repère (\text{O}  ; \vec{i} , \vec{j}), on considère les points \text{A}( 5 \: ; -6), \text{B} (4 \: ; 2) et \text{D}(4 \: ; -7).
    Quelles sont les coordonnées du point \text{C}(x \: ; y) sachant que le vecteur \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} a pour coordonnées \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{5} \\ {4}\end{pmatrix} ?

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    62
     [Calculer.]
    Dans un repère orthonormé (\text{O}  ; \vec{i} , \vec{j}), on considère les points \text{R}(5 \: ; 1), \text{S}(2 \: ; -4), \text{T}(-3 \: ; 1), \text{U}(1 \: ; 4) et \text{V}(3 \: ; 5).
    Calculer les coordonnées du point \text{W}(x \: ; y) telles que \overrightarrow{\mathrm{VW}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{TU}}.
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    63
     [Représenter.]

    Lors d'une course en mer, un voilier se déplace sous l'action combinée du vent et du courant marin associés aux vecteurs \overrightarrow{v} et \overrightarrow{c}. Le vecteur déplacement est la somme de \overrightarrow{v} et \overrightarrow{c}. Le départ est l'origine du repère.

    Vecteurs dans un repère

    Soit \text{M} (x \: ; y ) le point tel que \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{c}. Le skipper souhaite connaître les coordonnées de \text{M}. 1. Le repère ci-dessus est l'écran du GPS du voilier. Quelle difficulté rencontre-t-il pour localiser \text{M} ?


    2. Comment aider le skipper à calculer les coordonnées du point \text{M} ?
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    64
    En Physique
     [Calculer.]
    On considère un objet soumis à trois forces. On a représenté cet objet dans GeoGebra par le point \text{A} et ces trois forces par les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}.

    Placeholder pour Graphique montrant une droite passant par (3,-1) et (7,1) dans un repère orthonormé.Graphique montrant une droite passant par (3,-1) et (7,1) dans un repère orthonormé.
    1. Indiquer, parmi les trois vecteurs représentés, lequel est \overrightarrow{u}, lequel est \overrightarrow{v} et lequel est \overrightarrow{w}.


    2. On dit que les forces se compensent lorsque \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}. Est-ce le cas ici ? Justifier.


    3. Calculer l'intensité de chacune d'entre elles.
    Aide
    L'intensité d'une force est la norme du vecteur la représentant.
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    65
     [Représenter.]
    On se place dans un repère (\text{O}  ; \vec{i} , \vec{j}). La figure ci-dessous représente deux voitures \text{A} et \text{B} qui roulent selon les vecteurs vitesses \overrightarrow{\text{V}_{\text{A}}} = 90 \overrightarrow{i} et \overrightarrow{\text{V}_{\text{B}}} = 60 \overrightarrow{i}.

    Vecteurs dans un repère

    La norme de chaque vecteur est la vitesse de chaque voiture en km/h.
    1. Déterminer les coordonnées de chaque vecteur puis en déduire alors la vitesse de chaque voiture.


    2. Un enfant assis sur la banquette arrière de la voiture \text{B} voit la voiture \text{A} le dépasser à une vitesse relative de \text{A} par rapport à \text{B} égale à \left\|\overrightarrow{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}}-\overrightarrow{\mathrm{V}_{\mathrm{B}}}\right\|.
    Calculer cette vitesse ? Est-ce étonnant ?


    3. Quelle est la vitesse relative de la voiture \text{A} par rapport à \text{B} lorsque \overrightarrow{\text{V}_{\text{A}}} = 90 \overrightarrow{i} et \overrightarrow{\text{V}_{\text{B}}} = -60 \overrightarrow{i} ? Détailler la situation dans ce cas.


    Dans la vie professionnelle

    L'ingénieur(e) en mécanique des fluides peut se spécialiser dans l'amélioration des différents moyens de transports pour lesquels les paramètres s'apparentent à la mécanique des fluides (par exemple, les embouteillages). Pour cela, de nombreuses composantes sont étudiées et les vecteurs (au sens large du terme) sont nécessaires à la résolution de certains problèmes.
    Placeholder pour Photographie d'embouteillage autoroutier urbain : voitures et bus immobilisés sur plusieurs voies. Circulation dense et congestion routière.Photographie d'embouteillage autoroutier urbain : voitures et bus immobilisés sur plusieurs voies. Circulation dense et congestion routière.
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