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Travailler ensemble
P.182

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TRAVAILLER ENSEMBLE


À contre-courant





On étudie la trajectoire d’un kayakiste qui descend une rivière à courants et qui doit passer plusieurs portes. On note Vk,\overrightarrow{\text{V}_{k}} , le vecteur vitesse du kayakiste, Vc,\overrightarrow{\text{V}_{c}} , celui du courant et Vb,\overrightarrow{\text{V}_{b}} , celui du kayakiste par rapport à la rive. On admet que Vb=Vk+Vc.\overrightarrow{\mathrm{V}_{b}}=\overrightarrow{\mathrm{V}_{k}}+\overrightarrow{\mathrm{V}_{c}} .

Question préliminaire :
1. Si Vk\overrightarrow{\text{V}_{k}} et Vc,\overrightarrow{\text{V}_{c}} , ont la même origine, comment construire le vecteur Vb?\overrightarrow{\text{V}_{b}} \: ?


2. Comment retrouver les coordonnées de Vb\overrightarrow{\text{V}_{b}} à partir de celles de Vk\overrightarrow{\text{V}_{k}} et de Vc\overrightarrow{\text{V}_{c}} ?
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À contre-courant

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★★

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K\text{K} représente la position du kayakiste.

Notion de vecteur

1. Dans la figure,en partant de K,\text{K} , tracer le vecteur Vb\overrightarrow{\text{V}_{b}} autant de fois que nécessaire pour passer entre les poteaux de la porte P1.\text{P}_{1} .

2. À partir du milieu de la porte P1,\text{P}_{1} , sachant que Vc\overrightarrow{\text{V}_{c}} ne change pas, tracer le vecteur Vb\overrightarrow{\text{V}_{b}} pour arriver au milieu de la porte P2.\text{P}_{2} . En déduire le vecteur Vk.\overrightarrow{\text{V}_{k}} .
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PARTIE 2 ★★★

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K\text{K} représente la position du kayakiste.

Notion de vecteur

1. a. Dans la figure, tracer le vecteur Vb\overrightarrow{\text{V}_{b}} permettant d’aller du milieu de la porte P2\text{P}_{2} au milieu de la porte P3.\text{P}_{3} .
b. En utilisant le vecteur Vc\overrightarrow{\text{V}_{c}} représenté, en déduire le vecteur Vk\overrightarrow{\text{V}_{k}} nécessaire au déplacement du kayakiste.


2. Appliquer la même méthode pour passer du milieu de la porte P3\text{P}_{3} au milieu de la porte P4.\text{P}_{4} .
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PARTIE 3 ★★

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K\text{K} représente la position du kayakiste.

Notion de vecteur

1. On étudie la trajectoire du milieu de la porte P4\text{P}_{4} vers le milieu de la porte P5:\text{P}_{5} :
a. Déterminer les coordonnées de Vb.\overrightarrow{\mathrm{V}_{b}}.

b. Le kayakiste suit le vecteur vitesse Vk\overrightarrow{\mathrm{V}_{k}} de coordonnées (0,52).\begin{pmatrix}{0{,}5} \\ {-2}\end{pmatrix}. Calculer alors les coordonnées du vecteur Vc.\overrightarrow{\mathrm{V}_{c}}.


2. Pour aller du milieu de P5\text{P}_{5} jusqu’au milieu de P6,\text{P}_{6} , le courant n’a pas changé. Déterminer alors les coordonnées de Vk.\overrightarrow{\text{V}_{k}} .
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Mise en commun

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1. Reproduire un repère (O;i,j),(\text{O} ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}), qui représente les positions de toutes les portes en respectant les distances indiquées dans chaque partie (on utilisera comme coordonnées de départ celles de la partie 1).

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2. Le courant est constant durant toute la course et Vc\overrightarrow{\text{V}_{c}} a pour coordonnées (11).\begin{pmatrix}{1} \\ {1}\end{pmatrix}. Le kayakiste doit passer par le milieu de chaque porte. Entre chaque porte, représenter le vecteur Vb\overrightarrow{\text{V}_{b}} et calculer alors les coordonnées du vecteur Vk.\overrightarrow{\text{V}_{k}}.
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