À contre‑courant

On étudie la trajectoire d'un kayakiste qui descend une rivière à courants et qui doit passer plusieurs portes. On note $\overrightarrow{{\text{V}}_k},$ le vecteur vitesse du kayakiste, $\overrightarrow{{\text{V}}_c},$ celui du courant et $\overrightarrow{{\text{V}}_b},$ celui du kayakiste par rapport à la rive. On admet que $\overrightarrow{{\mathrm{V}}_b}=\overrightarrow{{\mathrm{V}}_k}+\overrightarrow{{\mathrm{V}}_c}.$

Question préliminaire :
1. Si $\overrightarrow{{\text{V}}_k}$ et $\overrightarrow{{\text{V}}_c},$ ont la même origine, comment construire le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_b}?$

2. Comment retrouver les coordonnées de $\overrightarrow{{\text{V}}_b}$ à partir de celles de $\overrightarrow{{\text{V}}_k}$ et de $\overrightarrow{{\text{V}}_c}$ ?

1. Vous trouverez ci-dessus la figure représentant $\text{K},$ la position du kayakiste.

2. Dans la figure,en partant de $\text{K},$ tracer le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_b}$ autant de fois que nécessaire pour passer entre les poteaux de la porte ${\text{P}}_1.$

3. À partir du milieu de la porte ${\text{P}}_1,$ sachant que $\overrightarrow{{\text{V}}_c}$ ne change pas, tracer le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_b}$ pour arriver au milieu de la porte ${\text{P}}_2.$ En déduire le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_k}.$

1. Vous trouverez ci-dessus la figure représentant $\text{K},$ la position du kayakiste.

2. a. Dans la figure, tracer le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_b}$ permettant d'aller du milieu de la porte ${\text{P}}_2$ au milieu de la porte ${\text{P}}_3.$
b. En utilisant le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_c}$ représenté, en déduire le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_k}$ nécessaire au déplacement du kayakiste.

3. Appliquer la même méthode pour passer du milieu de la porte ${\text{P}}_3$ au milieu de la porte ${\text{P}}_4.$

1. Vous trouverez ci-dessus la figure représentant $\text{K},$ la position du kayakiste.

2. On étudie la trajectoire du milieu de la porte ${\text{P}}_4$ vers le milieu de la porte ${\text{P}}_5:$
a. Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{{\mathrm{V}}_b}.$

b. Le kayakiste suit le vecteur vitesse $\overrightarrow{{\mathrm{V}}_k}$ de coordonnées $\left(\begin{array}{c}0,5\\ -2\end{array}\right).$ Calculer alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{{\mathrm{V}}_c}.$

3. Pour aller du milieu de ${\text{P}}_5$ jusqu'au milieu de ${\text{P}}_6,$ le courant n'a pas changé. Déterminer alors les coordonnées de $\overrightarrow{{\text{V}}_k}.$

1. Reproduire un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$ qui représente les positions de toutes les portes en respectant les distances indiquées dans chaque partie (on utilisera comme coordonnées de départ celles de la partie 1).

2. Le courant est constant durant toute la course et $\overrightarrow{{\text{V}}_c}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$ Le kayakiste doit passer par le milieu de chaque porte. Entre chaque porte, représenter le vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_b}$ et calculer alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{{\text{V}}_k}.$