Vecteurs du plan

27

On considère les vecteurs suivants représentés sur un quadrillage.

1. Repérer les vecteurs égaux, les vecteurs opposés et les vecteurs de même norme.

2. Quelle est l'image du point $\text{F}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{LM}}$ ?

3. Par quelles translations le point $\text{A}$ est-il l'image du point $\text{B}$ ?

28

[Communiquer.]
On considère la figure suivante composée de triangles équilatéraux. Recopier et compléter les phrases suivantes. 1. Le point $\text{D}$ a pour image le point $...$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{G}...}.$

2. $\overrightarrow{...}=\overrightarrow{...}$ signifie que $...$ est l'image de $...$ par la translation de vecteur $....$

29

[Communiquer.]
On considère un parallélogramme $\text{ABCD}$ de centre $\text{O}$ et le triangle équilatéral $\text{BCE}.$ $\text{G},$ $\text{H}$ et $\text{I}$ sont les milieux respectifs de $[\text{BE}],$ de $[\text{CE}]$ et de $[\text{BC}].$ 1. Faire une figure sur GeoGebra.


2. Indiquer trois couples de vecteurs égaux deux à deux en justifiant à l'aide de propriétés vectorielles du cours.

Insérer une formule mathématique

30

[Communiquer.]
Voici les motifs d'un papier peint dont le pavage rappelle les œuvres de l'artiste Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972).
1. Écrire quatre phrases en utilisant l'expression « est l'image de ». Par exemple : « La figure 8 est l'image de la figure 1 par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AE}}.»$

2. Écrire quatre phrases en utilisant l'expression « a pour image ».

31

On considère les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et un point $\text{C}.$

32

[Représenter.]
On considère la figure suivante.

33

[Représenter.]
On considère les points $\text{A},$ $\text{B},$ $\text{C},$ $\text{I}$ et $\text{J}$ suivants. Sur la figure et, en laissant les traits de construction, répondre aux questions suivantes.

1. Construire les points $\text{R}$ et $\text{S},$ images de $\text{I}$ et $\text{J}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}.$

2. Construire les points $\text{T}$ et $\text{U},$ images de $\text{R}$ et $\text{S}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}.$

3. Par quelle translation le point $\text{U}$ est-il l'image du point $\text{J}$ ?

35

[Raisonner.]
On considère un parallélogramme $\text{RSTU}$ de centre $\text{O}.$ On note $\text{F},$ l'image du point $\text{S}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{UT}}$ et $\text{E}$ l'image de $\text{F}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{RU}}.$ 1. Faire une figure.


2. À l'aide de propriétés vectorielles, démontrer que $\text{RSET}$ est un parallélogramme.

Insérer une formule mathématique

36

[Raisonner.]
On considère un triangle $\text{EDF}$ rectangle en $\text{D}$ tel que $\text{ED}=6$ cm et $\text{DF}=4\text{,}5$ cm. $\text{I}$ et $\text{J}$ sont les milieux respectifs de $[\text{ED}]$ et $[\text{DF}].$

1. Construire une figure en grandeur réelle ou sur GeoGebra.
2. Construire les points $\text{G}$ et $\text{H},$ images respectives des points $\text{F}$ et $\text{I}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{JI}}.$

3. Quelle conjecture peut-on émettre pour le point $\text{G}$ ?

Insérer une formule mathématique

4. Quelle est la nature de $\text{DJEH}$ ? Le démontrer.

Insérer une formule mathématique

37

GeoGebra

[Raisonner.]

On considère un point $\text{O}$ et un segment $[\text{MN}].$ Les points ${\text{M}}^{\prime }$ et ${\text{N}}^{\prime }$ sont les images respectives de $\text{M}$ et $\text{N}$ par la symétrie de centre $\text{O}.$ 1. Faire une figure.


2. Comparer le sens, la direction et la norme des deux vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{{\text{N}}^{\prime }{\text{M}}^{\prime }}.$ Quelle est la nature du quadrilatère ${\text{MNM}}^{\prime }{\text{N}}^{\prime }$ ?

3. Montrer que $\overrightarrow{{\text{MN}}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\text{NM}}^{\prime }}$ sont égaux.

4. À quelle condition les vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{{\text{MN}}^{\prime }}$ ont-ils la même norme ?

38

[Raisonner.]

39

On considère les vecteurs suivants représentés sur du papier quadrillé.

1. Écrire cinq sommes de vecteurs traduisant la relation de Chasles.

2. Transformer les expressions suivantes de façon à faire apparaître la relation de Chasles et à déterminer le vecteur somme.
a. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}$

b. $\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{LC}}$

c. $\overrightarrow{\mathrm{GH}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

d. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{b}$

40

[Chercher.]
On considère la figure suivante.

1. Écrire quatre sommes de vecteurs traduisant la propriété du parallélogramme.

2. Écrire quatre sommes de vecteurs traduisant la relation de Chasles.

3. Quelle est l'image des points $\text{A}$ et $\text{F}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{ID}}+\overrightarrow{\text{CJ}}$ ?

42

[Représenter.]
On considère les figures suivantes.

1. Tracer les vecteurs : $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}},$ $\overrightarrow{w}+\overrightarrow{a},$$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},$ $\overrightarrow{\text{JK}}+\overrightarrow{\text{KL}}.$

2. Placer les points $\text{P},$ $\text{R},$ $\text{S}$ et $\text{T}$ tels que :
a. $\overrightarrow{\text{MR}}$ soit égal au vecteur $\overrightarrow{w}+\overrightarrow{a}.$
b. $\overrightarrow{\text{NS}}$ soit égal au vecteur somme $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$
c. $\overrightarrow{\text{NT}}$ soit égal au vecteur somme $\overrightarrow{\text{JK}}+\overrightarrow{\text{KL}}.$

43

[Représenter.]
On considère les vecteurs suivants.

Tracer les sommes des vecteurs définies par :

45

[Représenter.]
On considère les vecteurs suivants.

1. Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a. $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$
b. $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$
c. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$

2. Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a. $\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{v_1}$
b. $\overrightarrow{b_1}=\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{w_1}$
c. $\overrightarrow{c_1}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{w_1}$

46

On considère les vecteurs suivants.

Construire les vecteurs suivants sur la figure.
a. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
b. $\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}$
c. $\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{GH}}$
d. $\overrightarrow{\mathrm{AK}}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AK}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
e. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

Insérer une formule mathématique