Entrainement 1


Vecteurs du plan





40
[Chercher.]
On considère la figure suivante.

Vecteurs du plan

1. Écrire quatre sommes de vecteurs traduisant la propriété du parallélogramme.


2. Écrire quatre sommes de vecteurs traduisant la relation de Chasles.


3. Quelle est l’image des points A\text{A} et F\text{F} par la translation de vecteur ID+CJ\overrightarrow{\text{ID}} + \overrightarrow{\text{CJ}} ?

39
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants représentés sur du papier quadrillé.

Vecteurs du plan

1. Écrire cinq sommes de vecteurs traduisant la relation de Chasles.


2. Transformer les expressions suivantes de façon à faire apparaître la relation de Chasles et à déterminer le vecteur somme.
a. BC+EF\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}

b. EF+LC\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{LC}}

c. GH+BC\overrightarrow{\mathrm{GH}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}

d. BC+b\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{b}

34
GEOGEBRA
[Représenter.]

On souhaite réaliser un pavage sous le logiciel GeoGebra. Pour cela, on utilisera les commandes vecteur,lignebriseˊe\bf{vecteur}, \bf{ligne\:brisée} et translation\bf{translation}. On commencera par tracer un parallélogramme ABCD.\text{ABCD} .

Vecteurs du plan


Lancer le module Geogebra
1. Tracer la ligne brisée à trois côtés allant de A\text{A} vers D\text{D} et celle à trois côtés allant de A\text{A} vers B.\text{B} .

2. Tracer leurs images par les translations de vecteurs AB \overrightarrow{\text{AB}} et AD.\overrightarrow{\text{AD}}.

3. Tracer le polygone passant par tous les sommets des lignes brisées.

4. Répéter les images du motif obtenu par translations de vecteurs AB \overrightarrow{\text{AB}} et AD.\overrightarrow{\text{AD}}.

Vecteurs du plan

30
[Communiquer.]
Voici les motifs d’un papier peint dont le pavage rappelle les œuvres de l’artiste Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972).

MAT2_CH6_p185_EX30

1. Écrire quatre phrases en utilisant l’expression « est l’image de ». Par exemple : « La figure 8 est l’image de la figure 1 par la translation de vecteur AE.»\overrightarrow{\mathrm{AE}}.»


2. Écrire quatre phrases en utilisant l’expression « a pour image ».

41
[Chercher.]
On considère la figure suivante composée de triangles équilatéraux.

Vecteurs du plan

1. Écrire trois égalités traduisant la relation de Chasles.


2. Écrire trois égalités traduisant la propriété du parallélogramme.


3. Réduire les sommes suivantes en transformant l’égalité si nécessaire.
a. AC+AK\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AK}}

b. GC+CK\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{CK}}

c. CE+GI\overrightarrow{\mathrm{CE}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}

d. HM+KI\overrightarrow{\mathrm{HM}}+\overrightarrow{\mathrm{KI}}

e. DO+LF\overrightarrow{\mathrm{DO}}+\overrightarrow{\mathrm{LF}}

f. FO+MN\overrightarrow{\mathrm{FO}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}

g. BN+CK\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CK}}

h. FC+HK\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}

i. AB+MN+OJ\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{\mathrm{OJ}}

j. MC+KJ+ED\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{KJ}} + \overrightarrow{\mathrm{ED}}

42
[Représenter.]
On considère les figures suivantes.

Vecteurs du plan

1. Tracer les vecteurs : AB+BC,\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} , w+a,\overrightarrow{w} + \overrightarrow{a} , b+c,\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}, JK+KL.\overrightarrow{\text{JK}} + \overrightarrow{\text{KL}}.

2. Tracer les points P,\text{P} , R,\text{R} , S\text{S} et T\text{T} tels que :
a. MR \overrightarrow{\text{MR}} soit égal au vecteur w+a.\overrightarrow{w} + \overrightarrow{a}.
b. NS \overrightarrow{\text{NS}} soit égal au vecteur somme b+c.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
c. NT \overrightarrow{\text{NT}} soit égal au vecteur somme JK+KL.\overrightarrow{\text{JK}} + \overrightarrow{\text{KL}}.

36
[Raisonner.] ◉◉
On considère un triangle EDF\text{EDF} rectangle en D\text{D} tel que ED=6\text{ED} = 6 cm et DF=4,5\text{DF} = 4\text{,}5 cm. I\text{I} et J\text{J} sont les milieux respectifs de [ED] [\text{ED}] et [DF].[\text{DF}].

1. Construire une figure en grandeur réelle ou sur GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
2. Construire les points G\text{G} et H,\text{H}, images respectives des points F\text{F} et I\text{I} par la translation de vecteur JI.\overrightarrow{\text{JI}} .

3. Quelle conjecture peut-on émettre pour le point G\text{G} ?


4. Quelle est la nature de DJEH\text{DJEH} ? Le démontrer.

31
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et un point C.\text{C}.

Vecteurs du plan

1. Construire les points manquants sur la figure.
a. D\text{D} tel que CD=AB\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}
b. G\text{G} tel que CG=EF\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}
c. H\text{H} tel que HC=AB\overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}
d. I\text{I} tel que IC=CG\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{\mathrm{CG}}
e. J\text{J} tel que BJ=JC\overrightarrow{\mathrm{BJ}}=\overrightarrow{\mathrm{JC}}

44
GEOGEBRA
[Raisonner.]
On considère la rotation R\text{R} de centre O,\text{O} , de sens direct et d’angle 90°90°et un point A\text{A} distinct de O.\text{O} . R\text{R} transforme les points A\text{A} en B,\text{B} , B\text{B} en C\text{C} et C\text{C} en D.\text{D} .

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.\text{ABCD} .


3. Dans GeoGebra, construire les vecteurs BA+BC \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}} et AD+CD\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} (utiliser la commande vecteur(origine,extreˊmiteˊ)\bf{vecteur (origine, extrémité)} +vecteur(origine,extreˊmiteˊ)+ \bf{vecteur (origine, extrémité)}). Que constate-t-on ?


4. Démontrer la conjecture de la question 2..


Vecteurs du plan

29
[Communiquer.] ◉◉
On considère un parallélogramme ABCD\text{ABCD} de centre O\text{O} et le triangle équilatéral BCE.\text{BCE}. G,\text{G}, H\text{H} et I\text{I} sont les milieux respectifs de [BE],[\text{BE}] , de [CE][\text{CE}] et de [BC].[\text{BC}].

1. Faire une figure sur GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
2. Indiquer trois couples de vecteurs égaux deux à deux en justifiant à l’aide de propriétés vectorielles du cours.

28
[Communiquer.]
On considère la figure suivante composée de triangles équilatéraux. Recopier et compléter les phrases suivantes.

1. Le point D\text{D} a pour image le point ...... par la translation de vecteur G....\overrightarrow{\text{G}...}\,.

2. ...=...\vec{...} = \vec{...} signifie que ...... est l'image de ...... par la translation de vecteur .......\,.


Vecteurs du plan

45
[Représenter.]
On considère les vecteurs suivants.

Vecteurs du plan

1. Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a. a=u+v\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}
b. b=u+w\overrightarrow{b} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}
c. c=v+w\overrightarrow{c} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}

2. Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a. a1=u1+v1\overrightarrow{a_{1}}=\overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{v_{1}}
b. b1=u1+w1\overrightarrow{b_{1}}=\overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{w_{1}}
c. c1=v1+w1\overrightarrow{c_{1}}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{w_{1}}

43
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants.

Vecteurs du plan

Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a.
AP=AB+AC\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}

b.
DR=DE+DF\overrightarrow{\mathrm{DR}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}

c.
JT=JK+JL\overrightarrow{\mathrm{JT}}=\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{JL}}

d.
GW=GH+GM\overrightarrow{\mathrm{GW}}=\overrightarrow{\mathrm{GH}}+\overrightarrow{\mathrm{GM}}

e.
GX=GM+GI\overrightarrow{\mathrm{GX}}=\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}

f.
GZ=GI+GH\overrightarrow{\mathrm{GZ}}=\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{GH}}

33
[Représenter.] ◉◉
On considère les points A,\text{A} , B,\text{B} , C,\text{C} , I \text{I} et J\text{J} suivants. Sur la figure et, en laissant les traits de construction, répondre aux ques