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1. Vecteurs du plan
P.185-187

Entrainement 1


Vecteurs du plan





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 27 ; 31 ; 39 ; 46 ; 49 ; 56 et 67
◉◉ Parcours 2 : exercices 29 ; 33 ; 36 ; 43 ; 52 ; 57 ; 59 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 37 ; 47 ; 48 ; 54 ; 74 et 75

27
[Communiquer.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants représentés sur un quadrillage.

Vecteurs du plan

1. Repérer les vecteurs égaux, les vecteurs opposés et les vecteurs de même norme.


2. Quelle est l’image du point F\text{F} par la translation de vecteur LM\overrightarrow{\mathrm{LM}} ?


3. Par quelles translations le point A\text{A} est-il l’image du point B\text{B} ?

28
[Communiquer.]
On considère la figure suivante composée de triangles équilatéraux. Recopier et compléter les phrases suivantes.

1. Le point D\text{D} a pour image le point ...... par la translation de vecteur G....\overrightarrow{\text{G}...}\,.

2. ...=...\overrightarrow{...} = \overrightarrow{...} signifie que ...... est l'image de ...... par la translation de vecteur .......\,.


Vecteurs du plan

29
[Communiquer.] ◉◉
On considère un parallélogramme ABCD\text{ABCD} de centre O\text{O} et le triangle équilatéral BCE.\text{BCE}. G,\text{G}, H\text{H} et I\text{I} sont les milieux respectifs de [BE],[\text{BE}] , de [CE][\text{CE}] et de [BC].[\text{BC}].

1. Faire une figure sur GeoGebra.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Indiquer trois couples de vecteurs égaux deux à deux en justifiant à l’aide de propriétés vectorielles du cours.

30
[Communiquer.]
Voici les motifs d’un papier peint dont le pavage rappelle les œuvres de l’artiste Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972).

Vecteurs du plan

1. Écrire quatre phrases en utilisant l’expression « est l’image de ». Par exemple : « La figure 8 est l’image de la figure 1 par la translation de vecteur AE.»\overrightarrow{\mathrm{AE}}.»


2. Écrire quatre phrases en utilisant l’expression « a pour image ».

31
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et un point C.\text{C}.

Vecteurs du plan

1. Construire les points manquants sur la figure.
a. D\text{D} tel que CD=AB\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}
b. G\text{G} tel que CG=EF\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}
c. H\text{H} tel que HC=AB\overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}
d. I\text{I} tel que IC=CG\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{\mathrm{CG}}
e. J\text{J} tel que BJ=JC\overrightarrow{\mathrm{BJ}}=\overrightarrow{\mathrm{JC}}

32
[Représenter.]
On considère la figure suivante.

Vecteurs du plan


1. Construire les points F\text{F} et A,\text{A} , images de E\text{E} et L\text{L} par la translation de vecteur BX.\overrightarrow{\text{BX}}.

2. Construire les points G\text{G} et H,\text{H} , images de E\text{E} et F\text{F} par la translation de vecteur BL.\overrightarrow{\text{BL}}.

3. Tracer en traits pleins les segments [BE],[\mathrm{BE}], [BX],[\mathrm{BX}], [BL],[\mathrm{BL}], [LA],[\mathrm{LA}], [XA],[\mathrm{XA}], [AH],[\mathrm{AH}], [FH],[\mathrm{FH}], [EF],[\mathrm{EF}], [XF][\mathrm{XF}] puis, en pointillés les segments [GE][\text{GE}], [GL][\text{GL}] et [GH].[\text{GH}].

4. Quel solide obtient-on ?

33
[Représenter.] ◉◉
On considère les points A,\text{A} , B,\text{B} , C,\text{C} , I \text{I} et J\text{J} suivants. Sur la figure et, en laissant les traits de construction, répondre aux questions suivantes.

Vecteurs du plan


1. Construire les points R\text{R} et S,\text{S}, images de I\text{I} et J\text{J} par la translation de vecteur AB.\overrightarrow{\text{AB}}.

2. Construire les points T\text{T} et U,\text{U} , images de R\text{R} et S\text{S} par la translation de vecteur BC.\overrightarrow{\text{BC}}.

3. Par quelle translation le point U\text{U} est-il l’image du point J\text{J} ?

34
GEOGEBRA
[Représenter.]

On souhaite réaliser un pavage sous le logiciel GeoGebra. Pour cela, on utilisera les commandes vecteur,lignebriseˊe\bf{vecteur}, \bf{ligne\:brisée} et translation\bf{translation}. On commencera par tracer un parallélogramme ABCD.\text{ABCD} .

Vecteurs du plan


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1. Tracer la ligne brisée à trois côtés allant de A\text{A} vers D\text{D} et celle à trois côtés allant de A\text{A} vers B.\text{B} .

2. Tracer leurs images par les translations de vecteurs AB \overrightarrow{\text{AB}} et AD.\overrightarrow{\text{AD}}.

3. Tracer le polygone passant par tous les sommets des lignes brisées.

4. Répéter les images du motif obtenu par translations de vecteurs AB \overrightarrow{\text{AB}} et AD.\overrightarrow{\text{AD}}.

Vecteurs du plan

35
[Raisonner.]
On considère un parallélogramme RSTU\text{RSTU} de centre O.\text{O} . On note F,\text{F} , l’image du point S\text{S} par la translation de vecteur UT\overrightarrow{\text{UT}} et E\text{E} l’image de F\text{F} par la translation de vecteur RU.\overrightarrow{\text{RU}}.

1. Faire une figure.

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2. À l’aide de propriétés vectorielles, démontrer que RSET\text{RSET} est un parallélogramme.

36
[Raisonner.] ◉◉
On considère un triangle EDF\text{EDF} rectangle en D\text{D} tel que ED=6\text{ED} = 6 cm et DF=4,5\text{DF} = 4\text{,}5 cm. I\text{I} et J\text{J} sont les milieux respectifs de [ED] [\text{ED}] et [DF].[\text{DF}].

1. Construire une figure en grandeur réelle ou sur GeoGebra.

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2. Construire les points G\text{G} et H,\text{H}, images respectives des points F\text{F} et I\text{I} par la translation de vecteur JI.\overrightarrow{\text{JI}} .

3. Quelle conjecture peut-on émettre pour le point G\text{G} ?


4. Quelle est la nature de DJEH\text{DJEH} ? Le démontrer.

37
GEOGEBRA
[Raisonner.] ◉◉◉

On considère un point O\text{O} et un segment [MN].[\text{MN}] . Les points M\text{M}' et N\text{N}' sont les images respectives de M\text{M} et N\text{N} par la symétrie de centre O.\text{O} .

1. Faire une figure.

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Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Comparer le sens, la direction et la norme des deux vecteurs MN\overrightarrow{\text{MN}} et NM.\overrightarrow{\text{N}'\text{M}'} . Quelle est la nature du quadrilatère MNMN\text{MNM}'\text{N}' ?


3. Montrer que MN\overrightarrow{\text{MN}'} et NM\overrightarrow{\text{NM}'} sont égaux.


4. À quelle condition les vecteurs MN\overrightarrow{\text{MN}} et MN\overrightarrow{\text{MN}'} ont-ils la même norme ?

38
[Raisonner.]
Soit ABC\text{ABC} un triangle quelconque. On note I\text{I} le milieu de [AB].[\text{AB}] .
Vecteurs du plan
1. Sur la figure, construire le point I,\text{I}' , image de I\text{I} par la translation de vecteur BC. \overrightarrow{\text{BC}} .

2. Construire le point A,\text{A}' , image de A\text{A} par la translation de vecteur II.\overrightarrow{\text{I}'\text{I}}.

3. Démontrer que ABCA\text{A}'\text{BCA} est un parallélogramme.


4. En déduire que AI=IC.\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{I}}=\overrightarrow{\mathrm{IC}}.

39
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants représentés sur du papier quadrillé.

Vecteurs du plan

1. Écrire cinq sommes de vecteurs traduisant la relation de Chasles.


2. Transformer les expressions suivantes de façon à faire apparaître la relation de Chasles et à déterminer le vecteur somme.
a. BC+EF\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}

b. EF+LC\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{LC}}

c. GH+BC\overrightarrow{\mathrm{GH}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}

d. BC+b\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{b}

40
[Chercher.]
On considère la figure suivante.

Vecteurs du plan

1. Écrire quatre sommes de vecteurs traduisant la propriété du parallélogramme.


2. Écrire quatre sommes de vecteurs traduisant la relation de Chasles.


3. Quelle est l’image des points A\text{A} et F\text{F} par la translation de vecteur ID+CJ\overrightarrow{\text{ID}} + \overrightarrow{\text{CJ}} ?

41
[Chercher.]
On considère la figure suivante composée de triangles équilatéraux.

Vecteurs du plan

1. Écrire trois égalités traduisant la relation de Chasles.


2. Écrire trois égalités traduisant la propriété du parallélogramme.


3. Réduire les sommes suivantes en transformant l’égalité si nécessaire.
a. AC+AK\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AK}}

b. GC+CK\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{CK}}

c. CE+GI\overrightarrow{\mathrm{CE}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}

d. HM+KI\overrightarrow{\mathrm{HM}}+\overrightarrow{\mathrm{KI}}

e. DO+LF\overrightarrow{\mathrm{DO}}+\overrightarrow{\mathrm{LF}}

f. FO+MN\overrightarrow{\mathrm{FO}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}

g. BN+CK\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CK}}

h. FC+HK\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}

i. AB+MN+OJ\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{\mathrm{OJ}}

j. MC+KJ+ED\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{KJ}} + \overrightarrow{\mathrm{ED}}

42
[Représenter.]
On considère les figures suivantes.

Vecteurs du plan

1. Tracer les vecteurs : AB+BC,\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} , w+a,\overrightarrow{w} + \overrightarrow{a} , b+c,\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}, JK+KL.\overrightarrow{\text{JK}} + \overrightarrow{\text{KL}}.

2. Placer les points P,\text{P} , R,\text{R} , S\text{S} et T\text{T} tels que :
a. MR \overrightarrow{\text{MR}} soit égal au vecteur w+a.\overrightarrow{w} + \overrightarrow{a}.
b. NS \overrightarrow{\text{NS}} soit égal au vecteur somme b+c.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
c. NT \overrightarrow{\text{NT}} soit égal au vecteur somme JK+KL.\overrightarrow{\text{JK}} + \overrightarrow{\text{KL}}.

43
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants.

Vecteurs du plan

Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a.
AP=AB+AC\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}

b.
DR=DE+DF\overrightarrow{\mathrm{DR}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}

c.
JT=JK+JL\overrightarrow{\mathrm{JT}}=\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{JL}}

d.
GW=GH+GM\overrightarrow{\mathrm{GW}}=\overrightarrow{\mathrm{GH}}+\overrightarrow{\mathrm{GM}}

e.
GX=GM+GI\overrightarrow{\mathrm{GX}}=\overrightarrow{\mathrm{GM}}+\overrightarrow{\mathrm{GI}}

f.
GZ=GI+GH\overrightarrow{\mathrm{GZ}}=\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{GH}}

44
GEOGEBRA
[Raisonner.]
On considère la rotation R\text{R} de centre O,\text{O} , de sens direct et d’angle 90°90°et un point A\text{A} distinct de O.\text{O} . R\text{R} transforme les points A\text{A} en B,\text{B} , B\text{B} en C\text{C} et C\text{C} en D.\text{D} .

1. Faire une figure.

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2. Conjecturer la nature du quadrilatère ABCD.\text{ABCD} .


3. Dans GeoGebra, construire les vecteurs BA+BC \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}} et AD+CD\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} (utiliser la commande vecteur(origine,extreˊmiteˊ)\bf{vecteur (origine, extrémité)} +vecteur(origine,extreˊmiteˊ)+ \bf{vecteur (origine, extrémité)}). Que constate-t-on ?


4. Démontrer la conjecture de la question 2..


Vecteurs du plan

45
[Représenter.]
On considère les vecteurs suivants.

Vecteurs du plan

1. Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a. a=u+v\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}
b. b=u+w\overrightarrow{b} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}
c. c=v+w\overrightarrow{c} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}

2. Tracer les sommes des vecteurs définies par :
a. a1=u1+v1\overrightarrow{a_{1}}=\overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{v_{1}}
b. b1=u1+w1\overrightarrow{b_{1}}=\overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{w_{1}}
c. c1=v1+w1\overrightarrow{c_{1}}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{w_{1}}

46
[Représenter.] ◉◉
On considère les vecteurs suivants.

Vecteurs du plan

Construire les vecteurs suivants sur la figure.
a. AB+CD\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}
b. FE+BA\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}
c. EF+GH\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{GH}}
d. AK\overrightarrow{\mathrm{AK}} tel que AK+EF=AB\overrightarrow{\mathrm{AK}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}
e. ABCD\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}

47
EN PHYSIQUE
[Représenter.] ◉◉◉
On considère un objet soumis à trois forces qui se compensent, à savoir F1+F2+F3=0.\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{3}}=\overrightarrow{0}. On modélise cet objet par le point O\text{O} et on note F1,F2\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}}\text{,}\, \overrightarrow{\mathrm{F}_{2}} et F3\overrightarrow{\mathrm{F_{3}}} les trois forces en question.
Compléter le schéma en traçant le vecteur F3.\overrightarrow{\mathrm{F_{3}}}.

Vecteurs du plan

48
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère quatre points distincts du plan R,\text{R} , S,\text{S} , T\text{T} et U.\text{U} . On nomme A\text{A} et B\text{B} les milieux respectifs de [RU][\text{RU}] et [ST].[\text{ST}] .

1. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Démontrer que RS+UT=RT+US.\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{UT}}=\overrightarrow{\mathrm{RT}}+\overrightarrow{\mathrm{US}}.


3. Démontrer que RS+UT=2AB.\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{UT}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
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