Synthèse





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 29 ; 33 ; 36 ; 43 ; 49 ; 56 ; et 67
◉◉ Parcours 2 : exercices 29 ; 33 ; 36 ; 43 ; 52 ; 57 ; 59 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 37 ; 47 ; 48 ; 54 ; 74 et 75

68
EN PHYSIQUE
[Représenter.]
On considère l’hélicoptère ci-dessous sur lequel sont exercées deux forces.
Hélicoptère - notion de vecteur
La rotation des pales qui permet à l’hélicoptère de voler est représentée par un vecteur dont la norme est 2U (2 unités). La force de gravitation qui attire l’hélicoptère vers le bas est représentée par un vecteur vertical orienté vers le bas et dont la norme est 1U (1 unité). L’angle formé par les deux vecteurs est de 150°.

1. Faire une figure en prenant 5 cm pour unité.

2. Le déplacement de l’hélicoptère est décrit par la somme des deux forces exercées.
a. Construire le vecteur représentant le déplacement.
b. Mesurer sa norme à la règle pour avoir sa valeur en cm et en déduire sa valeur en U.


3. La pilote de l’hélicoptère souhaite faire du sur-place. Pour cela, on peut exercer une troisième force ayant la même origine que les deux autres.
a. Quelle est la somme des trois forces exercées sur l’hélicoptère lorsqu’il fait du sur-place ?

b. Représenter cette force sur la figure.

Histoire des maths


La somme de vecteurs a été formalisée pour la première fois par le mathématicien Giusto Bellavitis (1803‑1880). Elle fut par la suite appelée relation de Chasles en hommage à Michel Chasles (1793-1880), grand scientifique français du XIXe siècle. Membre de l’académie des sciences, Chasles fut professeur à la Sorbonne et à l’École polytechnique. Il est notamment l’inventeur du terme « homothétie », vue au collège. Son nom, comme ceux des grands scientifiques français de son époque, apparaît sur la tour Eiffel.

Michel Chasles

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
et

75
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère un parallélogramme RSTU\text{RSTU} de centre O.\text{O}. On place les points M\text{M} et N\text{N} sur le segment [RS][\text{RS}] et [UT]\text{[UT]} tel que MS=UN.\overrightarrow{\mathrm{MS}}=\overrightarrow{\mathrm{UN}}. L'objectif de l'exercice est de montrer que O\text{O} est le milieu de [MN][\text{MN}] de différentes manières.

Notion de vecteur

1. Par les vecteurs.
a. En justifiant la réponse, déterminer un vecteur égal au vecteur OU.\overrightarrow{\text{OU}}.

b. En déduire un vecteur égal au vecteur ON=OU+UN.\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OU}}+\overrightarrow{\mathrm{UN}}.

c. Conclure.


2. Dans le repère (U;UT,UR),(\mathrm{U} \: ; \overrightarrow{\mathrm{UT}} \: , \overrightarrow{\mathrm{UR}}), on pose xx l'abscisse du point N.\text{N}.
a. Donner les coordonnées des points suivants dans ce repère : R ,\text{R ,} S ,\text{S ,} T ,\text{T ,} U ,\text{U ,} O ,\text{O ,} N\text{N} et M.\text{M.}

b. Calculer les coordonnées des vecteurs MO\overrightarrow{\mathrm{MO}} et ON.\overrightarrow{\mathrm{ON}}.

c. Conclure.


3. En géométrie plane (niveau collège).
a. Démontrer que UNSM\text{UNSM} est un parallélogramme.

b. Conclure.

71
[Chercher.]
Pour tester un nouveau prototype de bateau à moteur, les ingénieurs réalisent des tests sur maquette en piscine. En présence d’un courant latéral simulé par des buses, ils souhaitent étudier le cap à donner au bateau pour qu’il atteigne le port, noté P,\text{P} , en ligne droite. On note Vm\overrightarrow{\mathrm{Vm}} le vecteur vitesse de la maquette sur l’eau, Vc\overrightarrow{\mathrm{Vc}} celle du courant simulé en piscine et Vb\overrightarrow{\mathrm{Vb}} celle de la maquette par rapport au bord.

Synthèse notion de vecteur

1. On admet que Vb=Vm+Vc\overrightarrow{\mathrm{Vb}}=\overrightarrow{\mathrm{Vm}}+\overrightarrow{\mathrm{Vc}}. Quelle direction sur l'eau doit prendre le bateau pour atteindre le point P\text{P} ?


2. Dans le cas où le bateau se positionne face au courant, à quelle condition sera-t-il capable de le remonter ?

70
EN BINÔME
[Communiquer.]
L’objectif de l’exercice est de réaliser par binôme une production sur le support de son choix (écrit, audio, vidéo) expliquant à partir de la manipulation d’un mobile les notions du cours sur les vecteurs. C’est une manière de savoir si les notions ont été comprises.

Synthèse notion de vecteur

1. Fabrication : construire le gabarit suivant, en carton et avec des attaches parisiennes, sachant que :
a. AB=\text{AB} = 15 cm, AD=\text{AD} = 10 cm (largeur des bandes 2 cm) ;
b. les diagonales (en noir) sont des élastiques ;
c. les vecteurs sont tracés en rouge.

2. Créations : réaliser un tutoriel à partir du cahier des charges mentionnant :
a. la définition d’un vecteur, de deux vecteurs égaux et de deux vecteurs opposés ;
b. les techniques de somme de deux vecteurs (relation de Chasles, propriété du parallélogramme, cas général). Les cas particuliers (parallélogramme aplati, rectangle) seront intégrés dans les explications.


3. Évaluation : échanger les productions entre binômes de proximité et les évaluer à l’aide des critères suivants : respect du vocabulaire et des notations mathématiques, clarté des explications, qualité de l’expression.

74
[Calculer.] ◉◉◉
On considère dans un repère (O;i,j)(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}) les points suivants : A(0;1),\text{A}(0 \: ; 1), B(2;8),\text{B}(-2 \: ; 8), C(3;4)\text{C}(-3 \: ; -4) et D(5;3).\text{D}(-5 \: ; 3).

1. Calculer les coordonnées de N\text{N} tel que AN=CD.\overrightarrow{\text{AN}} = \overrightarrow{\text{CD}}.


2. Calculer les coordonnées de M\text{M} telles que AM+DA=CBAB.\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Que constate-t-on. Était-ce prévisible ?

Club de Maths


76
DÉFI

Un maître-nageur M\text{M} doit secourir le plus rapidement possible un nageur N\text{N} en difficulté. Sa vitesse de course est de 3,5 m/s sur le sable et il nage à la vitesse de 1 m/s.

Notion de vecteur

Depuis la position M\text{M}, quel est le parcours le plus rapide pour atteindre le point N\text{N} ? On pensera à utiliser l’échelle pour calculer les distances nécessaires.

77
DÉFI

On considère deux points A(0;1)\text{A}(0 \: ; 1) et B(1;3)\text{B}(1 \: ; -3) dans un repère. On sait qu’ils appartiennent au parallélogramme ABCD\text{ABCD} de centre O.\text{O} .
On sait également que l’ordonnée de O\text{O} est égale à 1-1 et que l’abscisse de D\text{D} est égale à 9.9. Quelles sont les coordonnées des points O,\text{O}, C\text{C} et D\text{D} ?

67
[Raisonner.] ◉◉
Voici les réponses d’un élève lors d’une évaluation. Dire si elles sont vraies ou fausses en justifiant.

Synthèse notion de vecteur
1.


2.


3.


4.


5.

73
GEOGEBRA
[Raisonner.]
On considère la configuration suivante :
  • A\text{A} et B\text{B} sont deux points fixes du plan et I\text{I} est le milieu de [AB];[\text{AB}]\,;
  • C\text{C} est le cercle de diamètre [AI];[\text{AI}]\,;
  • M\text{M} est un point mobile du cercle C;\text{C}\,;
  • M\text{M}' est le point tel que MA+MB=MM.\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}.

  • L’objectif de l’exercice est de déterminer le lieu de parcours de M\text{M}' selon les positions de M.\text{M}.

    1. Construire la figure dans GeoGebra (utiliser les commandes a=vecteur(M,A)+vecteur(M,B)\bf{a = vecteur (M{,}A) + vecteur (M{,}B)} puis repreˊsentant\bf{représentant} pour construire, à partir de a,\overrightarrow{a}, le vecteur MM\overrightarrow{\text{MM}'} d'origine M\text{M}).

    Lancer le module Geogebra
    2. Quel lieu décrit le point M\text{M}' lorsque M\text{M} se déplace sur le cercle C\text{C} (utiliser l’option Afficherlatrace\bf{Afficher\: la \:trace} du point M\text{M}') ?


    3. On va maintenant prouver cette conjecture.
    a. Démontrer que MA+MB=2MI.\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MI}}. Que peut-on conclure du point I\text{I} pour le segment [MM][\text{MM}'] ?

    b. En déduire le lieu de M\text{M}' lorsque M\text{M} décrit le cercle de diamètre [AI].[\text{AI}] .

    c. Démontrer que MAMB\text{MAM}'\text{B} est un parallélogramme.

    72
    GEOGEBRA
    [Chercher.]
    Dans un triangle, on appelle médiane issue d’un sommet la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé. On admet que les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité. On souhaite établir une relation vectorielle caractéristique de ce point particulier.

    Synthèse notion de vecteur


    1. Découper dans du carton un triangle ABC\text{ABC} de dimension quelconque puis chercher par tâtonnement le point d’équilibre de ce triangle en utilisant la pointe d’un compas comme support.

    2. Tracer les trois médianes du triangle construit et vérifier que le point d’équilibre trouvé au compas est le centre de gravité.

    3. Dans GeoGebra, reproduire la figure ci-dessus où D,\text{D}, E\text{E} et F\text{F} sont les milieux respectifs de [AB],[\text{AB}], [AC][\text{AC}] et [BC].[\text{BC}]. Représenter les vecteur GA,\overrightarrow{\text{GA}}, GB\overrightarrow{\text{GB}} et GC.\overrightarrow{\text{GC}}.

    Lancer le module Geogebra
    4. Construire le vecteur somme GA+GB+GC.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}. Que constate-t-on ?


    5. Rédiger la propriété observée.

    66
    PYTHON
    [Modéliser.]
    Lors d’un concours de robotique, une équipe de lycéens a programmé son robot afin qu’il contourne un obstacle central par déplacements horizontaux et verticaux.

    Notion de veteur

    Les coordonnées programmées sont des nombres entiers. Partant du point A,\text{A} , le robot doit se déplacer en passant par B\text{B} puis par C\text{C} et ainsi de suite. Le robot achève son parcours en repassant par les points B\text{B} puis A.\text{A} . Compléter cet extrait du programme de déplacement rédigé en Python par les lycéens pour que le robot réalise le parcours.

    from turtle import*
    goto(0,0)   # le robot est à l'origine du repère
    forward(2)  # le robot avance de deux
    left(90)   # rotation à gauche de 90°
    forward(2)
    right(90)
    forward(4)
    left(90)
    forward(2)
    right(...)
    forward(...)
    right(...)
    forward(...)
    ...
    

    69
    EN PHYSIQUE
    [Représenter.]
    Une péniche est tirée par deux personnes à l’aide de cordes sur le chemin de halage qui longe le canal. Les vecteurs décrivent les deux forces en termes de sens, de direction et d’intensité.

    Synthèse notion de vecteur

    1. Construire le vecteur de la force totale subie par la péniche (le vecteur force totale est la somme des vecteurs forces exercées par chaque personne). Y-a-il un problème à terme ?


    2. Modifier une des deux forces pour que la péniche poursuive sa course dans la même direction sans heurter la berge.
    Connectez-vous pour ajouter des favoris

    Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

    Se connecter

    Livre du professeur

    Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

    Votre avis nous intéresse !
    Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

    Peu probable
    Très probable

    Cliquez sur le score que vous voulez donner.

    Dites-nous qui vous êtes !

    Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
    Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

    Nous envoyer un message




    Nous contacter?