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TP / TICE 1


Étudier le lieu géométrique d’un point du plan




Énoncé

A(3;2)\text{A}(-3\: ; 2) et C(2;4)\text{C}(2 \: ; 4) sont deux points fixes dans un repère orthonormé. B\text{B} est mobile sur une droite dd parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0;5).(0 \: ; 5). D\text{D} est le point défini par AD=AB+AC.\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Question préliminaire : Que peut-on dire de l’abscisse et de l’ordonnée de B\text{B} lorsque le point se déplace sur la droite dd ?

Étudier le lieu géométrique d’un point du plan

Objectif

Déterminer, à l’aide d’une des trois méthodes, l’ensemble parcouru par le point D\text{D} lorsque B\text{B} parcourt la droite d.d .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Préparer une feuille de calcul dans laquelle on trouvera deux colonnes pour les coordonnées de B\text{B} et deux colonnes pour les coordonnées de D.\text{D} . La colonne de l’ordonnée de B\text{B} sera complétée uniquement avec des 5.5.

Étudier le lieu géométrique d’un point du plan

2. Exprimer les coordonnées du point D\text{D} en fonction de celles du point B. \text{B} .


3. a. Compléter la colonne de l’abscisse de B\text{B} avec tous les entiers de 10-10 à 10.10.

b. Compléter alors les colonnes des coordonnées de D\text{D} en utilisant les bonnes formules. Que remarque-t-on ?


4. a. Dans un graphique, construire le nuage de points correspondant aux deux colonnes des coordonnées de D.\text{D} .

b. Quel est le lieu géométrique du point D\text{D} ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA

Le logiciel de géométrie dynamique nous permet de faire apparaître la trace d’un point.

1. Construire la figure. Pour le point D,\text{D} , on utilisera la saisie suivante.

Étudier le lieu géométrique d’un point du plan

Lancer le module Geogebra
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2. En activant la trace de D,\text{D} , déterminer son lieu géométrique lorsque B\text{B} se déplace sur la droite d.d .


3. On rappelle que AD=AB+AC.\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
a. Déterminer la relation existant entre AC \overrightarrow{\text{AC}} et BD.\overrightarrow{\text{BD}}.

b. En déduire que les coordonnées du vecteur BD\overrightarrow{\text{BD}} sont constantes.

c. Déterminer alors l’ordonnée du point D.\text{D} .


4. Comment expliquer la trace de D\text{D} sur GeoGebra ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
PYTHON

À l’aide d’un programme, on souhaite déterminer le lieu géométrique de D\text{D} lorsque le point B\text{B} est mobile sur d.d .

1. Quelles instructions permettent de connaître les coordonnées de D\text{D} en fonction de celles de A,\text{A} , B\text{B} et C.\text{C}.


2. Écrire un programme Python utilisant une boucle portant sur l’abscisse de B\text{B} qui permet de calculer et d’afficher les coordonnées de D\text{D} à chaque itération.

 

3. Exécuter le programme.

4. Conjecturer le lieu géométrique de D\text{D} lorsque B\text{B} se déplace sur d.d .

Pour aller plus loin

Écrire un programme Python qui permette de représenter graphiquement le lieu géométrique de D\text{D} lorsque B\text{B} se déplace sur d.d .
On pourra par exemple utiliser la librairie turtle\bf{turtle}.
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