Étudier le lieu géométrique d'un point du plan

$\text{A}(-3;2)$ et $\text{C}(2;4)$ sont deux points fixes dans un repère orthonormé. $\text{B}$ est mobile sur une droite $d$ parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées $(0;5).$ $\text{D}$ est le point défini par $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

1. Préparer une feuille de calcul dans laquelle on trouvera deux colonnes pour les coordonnées de $\text{B}$ et deux colonnes pour les coordonnées de $\text{D}.$ La colonne de l'ordonnée de $\text{B}$ sera complétée uniquement avec des $5.$


2. Exprimer les coordonnées du point $\text{D}$ en fonction de celles du point $\text{B}.$

3. a. Compléter la colonne de l'abscisse de $\text{B}$ avec tous les entiers de $-10$ à $10.$

b. Compléter alors les colonnes des coordonnées de $\text{D}$ en utilisant les bonnes formules. Que remarque-t-on ?

4. a. Dans un graphique, construire le nuage de points correspondant aux deux colonnes des coordonnées de $\text{D}.$
b. Quel est le lieu géométrique du point $\text{D}$ ?

1. Construire la figure. Pour le point $\text{D},$ on utilisera la saisie suivante.

2. En activant la trace de $\text{D},$ déterminer son lieu géométrique lorsque $\text{B}$ se déplace sur la droite $d.$

3. On rappelle que $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$
a. Déterminer la relation existant entre $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{BD}}.$

b. En déduire que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{BD}}$ sont constantes.

c. Déterminer alors l'ordonnée du point $\text{D}.$

4. Comment expliquer la trace de $\text{D}$ sur GeoGebra ?

À l'aide d'un programme, on souhaite déterminer le lieu géométrique de $\text{D}$ lorsque le point $\text{B}$ est mobile sur $d.$

1. Quelles instructions permettent de connaître les coordonnées de $\text{D}$ en fonction de celles de $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}.$

2. Écrire un programme Python utilisant une boucle portant sur l'abscisse de $\text{B}$ qui permet de calculer et d'afficher les coordonnées de $\text{D}$ à chaque itération.

3. Exécuter le programme.

4. Conjecturer le lieu géométrique de $\text{D}$ lorsque $\text{B}$ se déplace sur $d.$