Somme de vecteurs

1. a. Dans un fichier GeoGebra, placer les points $\text{A}(-2;-4),$ $\text{B}(1;5)$ et $\text{C}(7;2).$
b. Créer deux curseurs $x_{\text{G}}$ et $y_{\text{G}}$ variant de $-6$ à $6.$
c. Créer le point $\text{G}$ de coordonnées $(x_{\text{G}};y_{\text{G}}).$
d. Construire le vecteur $\overrightarrow{b}$ tel que $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}.$

2. En utilisant le logiciel, déterminer les valeurs des curseurs $x_{\text{G}}$ et $y_{\text{G}}$ pour que $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}.$

3. En déduire les coordonnées du point $\text{G}.$ Vérifier ce résultat avec la question préliminaire.

4. Créer le point $\text{D},$ milieu de$[\text{AB}]$ et vérifier graphiquement que les points $\text{D},$ $\text{G}$ et $\text{C}$ sont alignés.

5. Afficher les longueurs $\text{DG}$ et $\text{GC}$ puis calculer le rapport $\frac{\text{CG}}{\text{CD}}.$

6. Reproduire la même démarche (alignement des points et rapport de longueur) en changeant les coordonnées des points $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}$ par $\text{A}(-3;1),$ $\text{B}(6;3)$ et $\text{C}(6;-7).$

7. Changer encore les coordonnées des points $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}$ et vérifier à chaque fois l'alignement des points $\text{C},$ $\text{G}$ et $\text{D}$ ainsi que le calcul du rapport $\frac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.$

8. En déduire la construction du point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0}$ dans un triangle $\text{RST}$ quelconque.

1. Dans un tableur, recopier et compléter la feuille de calcul suivante.


2. a. Grâce à la question préliminaire, quelles formules faut-il entrer dans les cellules B5 et C5 pour afficher les coordonnées du point $\text{G}$ ?

b. Dans la ligne 6 du tableur, afficher l'abscisse et l'ordonnée du vecteur $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}.$ Le résultat est-il cohérent ?

3. Soit $\text{D}$ le milieu de $[\text{AB}].$ Afficher, dans la ligne 7 du tableur, les coordonnées de ce point en fonction des abscisses et des ordonnées des points $\text{A}$ et $\text{B}.$

4. En utilisant les formules adéquates, afficher :

la valeur de la distance $\text{CG};$

la valeur de la distance $\text{GD};$

la valeur de la distance $\text{CD}.$

Que peut-on en déduire concernant les points $\text{C},$ $\text{G}$ et $\text{D}$ ?

5. Faire afficher la valeur du rapport $\frac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.$

6. Répondre aux questions 3. et 4. en utilisant les points $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}$ définis par $\text{A}(-3;1),$ $\text{B}(6;3)$ et $\text{C}(6;-7).$

7. Changer encore les coordonnées des points $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}$ et conjecturer la position relative des points $\text{C},$ $\text{G}$ et $\text{D}$ ainsi que la valeur du rapport $\frac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.$

8. En déduire la construction du point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0}$ dans un triangle $\text{RST}$ quelconque.