TP / TICE 1


Somme de vecteurs





Objectif

Observer les effets de cette égalité vectorielle en utilisant une des deux méthodes.

Énoncé

Dans un repère orthonormé (O;I,J),(\text{O} ; \text{I} , \text{J}) , on considère les points A(xA;yA),\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right), B(xB;yB),\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right), C(xC;yC)\mathrm{C}\left(x_{\mathrm{C}} \:; y_{\mathrm{C}}\right) et G(xG;yG).\mathrm{G}\left(x_{\mathrm{G}}\: ; y_{\mathrm{G}}\right). On s’intéresse aux conditions sur les coordonnées de G\text{G} pour que GA+GB+GC=0.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.

Question préliminaire : Traduire l’égalité vectorielle GA+GB+GC=0\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0} par deux égalités, l'une portant sur les abscisses des points A,\text{A}, B,\text{B}, C\text{C} et G\text{G} et l'autre portant sur leur ordonnée.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

On s’intéresse pour commencer au cas où A(2;4),\text{A}(-2 \: ; -4), B(1;5)\text{B}(1 \: ; 5) et C(7;2).\text{C} (7 \: ; 2).

1. Dans un tableur, recopier et compléter la feuille de calcul suivante.

Somme de vecteurs

2. a. Grâce à la question préliminaire, quelles formules faut-il entrer dans les cellules B5 et C5 pour afficher les coordonnées du point G\text{G} ?

b. Dans la ligne 6 du tableur, afficher l’abscisse et l’ordonnée du vecteur b=GA+GB+GC.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}. Le résultat est-il cohérent ?


3. Soit D\text{D} le milieu de [AB].[\text{AB}] . Afficher, dans la ligne 7 du tableur, les coordonnées de ce point en fonction des abscisses et des ordonnées des points A\text{A} et B.\text{B} .

4. En utilisant les formules adéquates, afficher :
  • la valeur de la distance CG;\text{CG}\,;
  • la valeur de la distance GD;\text{GD}\,;
  • la valeur de la distance CD.\text{CD}.
  • Que peut-on en déduire concernant les points C,\text{C} , G\text{G} et D\text{D} ?


    5. Faire afficher la valeur du rapport CGCD.\dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.

    6. Répondre aux questions 3. et 4. en utilisant les points A,\text{A} , B\text{B} et C\text{C} définis par A(3;1),\text{A}(-3 \: ; 1), B(6;3)\text{B}(6 \: ; 3) et C(6;7).\text{C}(6\: ; -7).


    7. Changer encore les coordonnées des points A,\text{A} , B\text{B} et C\text{C} et conjecturer la position relative des points C,\text{C} , G\text{G} et D\text{D} ainsi que la valeur du rapport CGCD.\dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.


    8. En déduire la construction du point M\text{M} tel que MR+MS+MT=0\overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0} dans un triangle RST\text{RST} quelconque.
    MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
    GEOGEBRA

    1. a. Dans un fichier GeoGebra, placer les points A(2;4),\text{A} (-2 \: ; -4), B(1;5)\text{B}(1 \: ; 5) et C(7;2).\text{C} (7 \: ; 2).
    b. Créer deux curseurs xGx_{\text{G}} et yGy_{\text{G}} variant de 6-6 à 6.6.
    c. Créer le point G\text{G} de coordonnées (xG;yG).(x_{\text{G}} \: ; y_{\text{G}}).
    d. Construire le vecteur b\overrightarrow{b} tel que b=GA+GB+GC.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}.

    Lancer le module Geogebra
    2. En utilisant le logiciel, déterminer les valeurs des curseurs xGx_{\text{G}} et yGy_{\text{G}} pour que b=0.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}.


    3. En déduire les coordonnées du point G.\text{G} . Vérifier ce résultat avec la question préliminaire.


    4. Créer le point D,\text{D} , milieu de[AB] [\text{AB}] et vérifier graphiquement que les points D,\text{D} , G\text{G} et C\text{C} sont alignés.

    5. Afficher les longueurs DG\text{DG} et GC\text{GC} puis calculer le rapport CGCD.\dfrac{\text{CG}}{\text{CD}}.


    6. Reproduire la même démarche (alignement des points et rapport de longueur) en changeant les coordonnées des points A,\text{A} , B\text{B} et C\text{C} par A(3;1),\text{A} (-3 \: ; 1), B(6;3)\text{B}(6 \: ; 3) et C(6;7).\text{C}(6 \: ; -7).


    7. Changer encore les coordonnées des points A,\text{A} , B\text{B} et C\text{C} et vérifier à chaque fois l’alignement des points C,\text{C} , G\text{G} et D\text{D} ainsi que le calcul du rapport CGCD.\dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.


    8. En déduire la construction du point M\text{M} tel que MR+MS+MT=0\overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0} dans un triangle RST\text{RST} quelconque.
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