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Activités




A
Pratiquer le curling

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Bilan
Quelles sont les trois caractéristiques d’un vecteur ? Comment représenter un vecteur et construire la somme de deux vecteurs ?


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Le curling, un des sports d’équipe les plus anciens du monde, voit le jour au XVIe siècle en Écosse où il est pratiqué en hiver sur les lacs et les étangs gelés. Le but est d’envoyer des pierres le plus près possible d’une cible circulaire dessinée sur la glace, appelée la « maison ». Maeva lance sa première pierre depuis le point D\text{D} jusqu’au point A.\text{A} .

Pratiquer le curling

On représente la trajectoire de la pierre du point D\text{D} à A\text{A} à l’aide du vecteur DA.\overrightarrow{\mathrm{DA}}.

1
a) Maeva lance une deuxième pierre depuis le point E\text{E} selon le déplacement donné par le vecteur DA.\overrightarrow{\mathrm{DA}}. Sur l'image, indiquer H,\text{H}, la position d’arrivée de cette première pierre.


b) Elle lance ensuite une autre pierre toujours selon le déplacement donné par le vecteur DA.\overrightarrow{\mathrm{DA}}. La pierre termine en F.\text{F} . Sur l'image, indiquer V,\text{V}, la position de départ de cette pierre.


Objectif
Noter et représenter un vecteur, des vecteurs égaux et construire la somme de deux vecteurs.

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2
H\text{H} est l’image de E\text{E} par la translation de vecteur DA\overrightarrow{\mathrm{DA}} ou EH\overrightarrow{\mathrm{EH}} ou VF.\overrightarrow{\mathrm{VF}}. Ces vecteurs sont égaux et on note par exemple DA=EH.\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}. Pourquoi les vecteurs TU,CG\overrightarrow{\mathrm{TU}}, \overrightarrow{\mathrm{CG}} et RB\overrightarrow{\mathrm{RB}} ne sont-ils pas égaux à DA\overrightarrow{\mathrm{DA}} ?


3
En utilisant l’aide proposée, écrire des phrases décrivant les relations entre les points.


4
On considère la figure ci-dessous.

Pratiquer le curling

a) Maeva lance une pierre qui ricoche sur R\text{R} puis termine en M.\text{M}. Construire le point I,\text{I} , image de H\text{H} par la translation de vecteur DR\overrightarrow{\mathrm{DR}} puis le point J,\text{J}, image du point I\text{I} par la translation de vecteur RM.\overrightarrow{\mathrm{RM}}.


b) Comment passe-t-on directement de H\text{H} à J\text{J} ?

AIDE

2
Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont le même sens, la même direction et la même norme (longueur).

3
« Si ... est un parallélogramme alors les vecteurs ... et ... sont égaux. »
« Si le point ... est l’image du point ... par la translation de vecteur ... alors ... est un parallélogramme. »

Remarque

On définit la somme de deux vecteurs par : DR+RM=DM.\overrightarrow{\mathrm{DR}}+\overrightarrow{\mathrm{RM}}=\overrightarrow{\mathrm{DM}}. C’est la première fois que l’on additionne des objets qui ne soient pas des nombres !

Pratiquer le curling

B
Formules et coordonnées de vecteurs


1
Retrouver les coordonnées des vecteurs OA,FG \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{FG}} et HH\overrightarrow{\mathrm{HH'}} en s'inspirant de celles de BE\overrightarrow{\mathrm{BE}} et CD.\overrightarrow{\mathrm{CD}}.


2
Retrouver les coordonnées d’un vecteur à partir de celles de ses extrémités.


3
Retrouver les coordonnées des points J\text{J} et K\text{K} à partir de celles des vecteurs IJ\overrightarrow{\mathrm{IJ}} et KL.\overrightarrow{\mathrm{KL}}.


4
Retrouver les coordonnées du point N\text{N} à partir de celles du vecteur MN(80). \overrightarrow{\mathrm{MN}} \begin{pmatrix}{-8} \\ {0}\end{pmatrix}.




Objectif
Dans un repère orthonormé, définir et utiliser les coordonnées d’un vecteur.


Formules et coordonnées de vecteurs

On a tracé des vecteurs dans un repère orthonormé à l’aide du logiciel GeoGebra. Les vecteurs OA \overrightarrow{\mathrm{OA}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} ont même sens, même direction et même norme (longueur). Le vecteur HH\overrightarrow{\mathrm{HH'}} est la somme des vecteurs OA\overrightarrow{\mathrm{OA}} et BE,\overrightarrow{\mathrm{BE}}, c'est-à-dire OA+BE=HH.\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{HH}^{\prime}}.
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Bilan
Comment repérer un vecteur ? Comment calcule-t-on ses coordonnées ?

C
Somme de vecteurs dans un repère

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Bilan
Comment calculer les coordonnées d’un vecteur somme de deux vecteurs dans un repère ?


Somme de vecteurs dans un repère

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Dans le repère orthonormé ci-contre, on a placé les points A,B,C,D\text{A} , \text{B} , \text{C} , \text{D} et E\text{E} et on a représenté les vecteurs AB,\overrightarrow{\mathrm{AB}}, AC,\overrightarrow{\mathrm{AC}}, BC,\overrightarrow{\mathrm{BC}}, CD,\overrightarrow{\mathrm{CD}}, DE \overrightarrow{\mathrm{DE}} et CE.\overrightarrow{\mathrm{CE}}.

1
Par lecture graphique, donner les coordonnées des vecteurs AB,\overrightarrow{\mathrm{AB}}, BC,\overrightarrow{\mathrm{BC}}, CD,\overrightarrow{\mathrm{CD}}, et DE. \overrightarrow{\mathrm{DE}}.


2
On admet que AC=AB+BC.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
a) Justifier cette égalité à l’aide des translations.

b) Lire les coordonnées du vecteur AC\overrightarrow{\text{AC}} et faire le lien entre les coordonnées de AC\overrightarrow{\text{AC}} et celles de AB\overrightarrow{\text{AB}} et BC\overrightarrow{\text{BC}} ?


3
De même, calculer les coordonnées de CE=CD+DE.\overrightarrow{\text{CE}}=\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DE}}.


4
a) Quelles sont les coordonnées du vecteur nul 0\overrightarrow{0} ?

b) Après avoir calculé CD+DC,\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}, déterminer les coordonnées de DC.\overrightarrow{\mathrm{DC}}. Cela est-il étonnant ?


Objectif
Dans un repère orthonormé, calculer les coordonnées d’un vecteur somme.

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