Le curling, un des sports d'équipe les plus anciens du monde, voit le jour au XVI^e siècle en Écosse où il est pratiqué en hiver sur les lacs et les étangs gelés. Le but est d'envoyer des pierres le plus près possible d'une cible circulaire dessinée sur la glace, appelée la « maison ». Maeva lance sa première pierre depuis le point $\text{D}$ jusqu'au point $\text{A}.$


On représente la trajectoire de la pierre du point $\text{D}$ à $\text{A}$ à l'aide du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}.$

a) Maeva lance une deuxième pierre depuis le point $\text{E}$ selon le déplacement donné par le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}.$ Sur l'image, indiquer $\text{H},$ la position d'arrivée de cette première pierre.


b) Elle lance ensuite une autre pierre toujours selon le déplacement donné par le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}.$ La trajectoire de la pierre se termine au point $\text{F}.$ Sur l'image, indiquer $\text{V},$ la position de départ de cette pierre.

$\text{H}$ est l'image de $\text{E}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}$ ou $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{H}}$ ou $\overrightarrow{\mathrm{V}\mathrm{F}}.$ Ces vecteurs sont égaux et on note par exemple $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{H}}.$ Pourquoi les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{T}\mathrm{U}},\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{G}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{R}\mathrm{B}}$ ne sont-ils pas égaux à $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{A}}$ ?


En utilisant l'aide proposée, écrire des phrases décrivant les relations entre les points.


On considère la figure ci-dessous.


a) Maeva lance une pierre qui ricoche sur $\text{R}$ puis termine en $\text{M}.$ Construire le point $\text{I},$ image de $\text{H}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{R}}$ puis le point $\text{J},$ image du point $\text{I}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{R}\mathrm{M}}.$


b) Comment passe-t-on directement de $\text{H}$ à $\text{J}$ ?

On définit la somme de deux vecteurs par : $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{R}\mathrm{M}}=\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{M}}.$ C'est la première fois que l'on additionne des objets qui ne soient pas des nombres !

On a tracé des vecteurs dans un repère orthonormé à l'aide du logiciel GeoGebra. Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}$ ont même sens, même direction et même norme (longueur). Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{H}{\mathrm{H}}^{\prime }}$ est la somme des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{E}},$ c'est-à-dire $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{E}}=\overrightarrow{{\mathrm{H}\mathrm{H}}^{\prime }}.$

Retrouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}},\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{G}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{H}{\mathrm{H}}^{\prime }}$ en s'inspirant de celles de $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{E}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}.$


Retrouver les coordonnées d'un vecteur à partir de celles de ses extrémités.

Retrouver les coordonnées des points $\text{J}$ et $\text{K}$ à partir de celles des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{I}\mathrm{J}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{L}}.$

Retrouver les coordonnées du point $\text{N}$ à partir de celles du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{N}}\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\end{array}\right).$

Dans le repère orthonormé ci-contre, on a placé les points $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$ et $\text{E}$ et on a représenté les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},$ $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}},$ $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}},$ $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}},$ $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{E}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{E}}.$

Par lecture graphique, donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}},$ $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}},$ $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}},$ et $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{E}}.$


On admet que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}.$
a) Justifier cette égalité à l'aide des translations.

b) Lire les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AC}}$ et faire le lien entre les coordonnées de $\overrightarrow{\text{AC}}$ et celles de $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{BC}}$ ?


De même, calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\text{CE}}=\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DE}}.$


a) Quelles sont les coordonnées du vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

b) Après avoir calculé $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}},$ déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}.$ Cela est-il étonnant ?