COURS 2


2
Événements d’une expérience aléatoire




B
Probabilité d’un événement


Définition

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Exemple

Lorsqu’on lance un dé non truqué à 66 faces, l’événement B:\text{B} \: : « obtenir un multiple de 33 » est composé des issues équiprobables {3}\{ 3 \} et {6}.\{ 6 \}.
Ce qui fait deux issues favorables à B\text{B} sur un total de 6.6. Ainsi, on a P(B)=26=13.\text{P} ( \text{B} ) = \dfrac { 2 } { 6 } = \dfrac { 1 } { 3 }.

Propriété (admise)

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A\text{A} est
P(A)= nombre d’issues favorables aˋ A nombre total d’issues .\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { \text { nombre d'issues favorables à } \mathrm { A } } { \text { nombre total d'issues } }.

DÉMONSTRATION

\emptyset est l’événement impossible : il ne contient aucune issue. Au contraire, Ω\Omega est l’événement certain qui contient toutes les issues. Ainsi, P()=0\mathrm { P } ( \emptyset ) = 0 et P(Ω)=1.\mathrm { P } ( \Omega ) = 1.
Par définition, P(A)0.\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) \geqslant 0. De plus, A\text{A} ne contient qu’une partie des issues de Ω\Omega donc P(A)P(Ω), \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) \leqslant \mathrm { P } ( \Omega ), d’où P(A)1.\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) \leqslant 1.

Propriétés

P()=0;\text{P} ( \emptyset ) = 0 \: ; P(Ω)=1\text{P} ( \Omega) = 1 et, pour tout événement A,\text{A}, 0P(A)1.0 \leqslant \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) \leqslant 1.

A
Vocabulaire des événements


Définitions

  • Un événement A\text{A} est un ensemble d’issues : c’est une partie de l’univers Ω.\Omega.
  • Une issue xix_i réalise l’événement A\text{A} lorsque xix_i est un élément de A.\text{A}.
  • Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu’une seule issue.
  • Un événement impossible est un événement qui n’est réalisé par aucune issue.
  • Un événement certain est un événement qui est réalisé par toutes les issues.

NOTATION

On note AΩ\mathrm { A } \subset \Omega et on lit « A\mathrm { A } est inclus dans Ω\Omega ».

NOTATION

On écrit :
A={2;4;6},\text{A} = \{ 2 \: ; 4 \: ; 6 \}, B=Ω\text{B} = \Omega et C=.\text{C} = \emptyset.

Exemple

Lorsqu’on lance un dé à 66 faces, l’événement A:\mathrm { A } \: : « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2,{2}, 4{4} et 6{6} ; l’événement B:\mathrm { B } \: : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 66 » est un événement certain, et l’événement C:\mathrm { C } \: : « obtenir 77 » est un événement impossible.

Application et méthode


SOLUTION

1. « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 44 » est un événement certain.
2. « Obtenir un nombre premier » est un événement non élémentaire.
3. « Obtenir un multiple de 55 » est un événement impossible.
4. « Obtenir un diviseur de 55 » est un événement élémentaire.

Pour s'entraîner : exercices 34 p. 310 et 41 p. 311

Méthode

Pour chacun des événements, on détermine les issues qui le constituent.
1. L’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 44 » est réalisé avec les issues {1},\{ 1 \}, {2},\{ 2 \}, {3}\{ 3 \} et {4}.\{ 4 \}.
2. L’événement « obtenir un nombre premier » est réalisé avec les issues {2}\{ 2 \} et {3}.\{ 3 \}.
3. L’événement « obtenir un multiple de 55 » n’est réalisé par aucune issue.
4. L’événement « obtenir un diviseur de 55 » est réalisé avec l’issue {1}.\{ 1 \}.

Énoncé

On lance un dé dont les sommets sont numérotés de 11 à 4.4. Dire si les événements suivants sont des événements certains, impossibles, élémentaires ou non élémentaires :
1. « obtenir un nombre inférieur ou égal à 44 » ;
2. « obtenir un nombre premier » ;
3. « obtenir un multiple de 55 » ;
4. « obtenir un diviseur de 55 ».

Dé tétraèdrique

Application et méthode

Énoncé

On lance un dé non truqué dont les faces sont numérotées de 11 à 8.8. On considère les événements :
  • A:\text{A} \: : « obtenir un diviseur de 1212 » ;
  • B:\text{B} \: : « obtenir un nombre premier ».

Donner leur écriture ensembliste et calculer leur probabilité.

Dé de 8 faces

SOLUTION

Pour réaliser l’événement A,\text{A}, il faut obtenir 1;1 \: ; 2;2 \: ; 3;3 \: ; 44 ou 6.6.
Ainsi, on a A={1;2;3;4;6}.\text{A} = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 6 \}. P(A)=58.\text{P} ( \text{A} ) = \dfrac { 5 } { 8 }.

Pour réaliser l’événement B,\text{B}, il faut obtenir 2;2 \: ; 3;3 \: ; 55 ou 7.7.
Ainsi, on a B={2;3;5;7}.\text{B} = \{ 2 \: ; 3 \: ; 5 \: ; 7 \}. P(B)=48=12.\text{P} ( \text{B} ) = \dfrac { 4 } { 8 }= \dfrac { 1 } { 2 }.

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 309

Méthode

  • On commence par chercher les issues qui réalisent chacun des événements.
  • Comme on est dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité de chaque événement est égale au quotient entre le nombre d’issues favorables à cet événement et le nombre d’issues totales.
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