COURS 3


3
Intersection et réunion




B
Événement complémentaire


Exemple

À un carrefour, on a constaté que la probabilité qu’un feu soit vert est de 0,512.0\text{,}512. Ainsi, la probabilité que le feu ne soit pas vert est 10,512=0,488.1 - 0\text{,}512 = 0\text{,}488 .

DÉMONSTRATION

Par définition, AA=Ω\text{A} \cup \overline { \text{A} } = \Omega et  AA=,\text { A}\cap \overline { \mathrm { A } } = \emptyset,
donc : P(A)+P(A)=P(AA)=P(Ω)=1\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \overline { \mathrm { A } } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \overline { \mathrm { A } } ) = \mathrm { P } ( \Omega ) = 1 d'où le résultat.

Définition

L’événement complémentaire de A\text{A} est l’événement, noté A,\overline \text{A}, formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A.\text{A}.
Autrement dit, AA=\text{A} \cap \overline { \text{A} } = \emptyset et AA=Ω.\text{A} \cup \overline { \text{A} } = \Omega.

Remarque

A\text{A} et A\overline \text{A} sont incompatibles.

Propriété

Pour tout événement A,\text{A}, on a P(A)=1P(A).\mathrm { P } ( \overline { \mathrm { A } } ) = 1 - \mathrm { P } ( \mathrm { A } ).

A
Intersection et réunion d’événements


DÉMONSTRATION

Notons C\text{C} l’événement composé des issues qui réalisent A\text{A} mais pas B.\text{B}.

Intersection et réunion d’événements

Comme les événements C\text{C} et B\text{B} sont incompatibles, on a P(CB)=P(C)+P(B).\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
Or, CB=AB\mathrm { C } \cup \mathrm { B } = \mathrm { A } \cup \mathrm { B } d’où P(AB)=P(C)+P(B).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).

De plus, les événements C\text{C} et AB\mathrm { A } \cap \mathrm { B } sont incompatibles, donc on a P(C(AB))=P(C)+P(AB).\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).
Or, C(AB)=A\mathrm { C } \cup ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { A } d'où P(A)=P(C)+P(AB)\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) et P(C)=P(A)P(AB).\mathrm { P } ( \mathrm { C } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).

Ainsi, en combinant les deux résultats, on obtient P(AB)=P(A)P(AB)+P(B),\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ),
c’est-à-dire P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).

DÉMONSTRATION

On note N\text{N} le nombre total d’issues. nn est le nombre d’issues réalisant A\text{A} et pp le nombre d’issues réalisant B.\text{B}.

Intersection et réunion d’événements

Ainsi, en situation d’équiprobabilité, P(A)=nN\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { n } { \mathrm { N } } et P(B)=pN.\mathrm { P } ( \mathrm { B } ) = \dfrac { p } { \mathrm { N } }.

On pose alors A={x1;x2;;xn} \mathrm { A } = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \right\} et B={y1;y2;;yp}. \mathrm { B } = \left\{ y _ { 1 } \: ; y _ { 2 } \: ; \ldots \: ; y _ { p } \right\}.
Puisque AB=\mathrm { A } \cap \mathrm { B } = \emptyset alors AB={x1;x2;;xn;y1;y2;;yp}.\mathrm { \mathrm { A } \cup \mathrm { B } } = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \: ; y _ { 1 } \: ; y _ { 2 } \: ; \ldots \: ; y _ { p } \right\}.

Ainsi, AB\mathrm { \mathrm { A } \cup \mathrm { B } } contient n+pn + p issues, d’où P(AB)=n+pN=P(A)+P(B).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \dfrac { n + p } { \mathrm { N } } = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).

Propriété

Soient A\mathrm { A } et B\mathrm { B } deux événements. On a P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).

Définitions

Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements d’un univers Ω.\Omega.
  • L’intersection de A\text{A} et B\text{B} est l’ensemble des issues qui réalisent à la fois A\text{A} et B\text{B} (les deux à la fois).
  • La réunion de A\text{A} et B\text{B} est l’ensemble des issues qui réalisent A\text{A} ou B\text{B} (au moins l’un des deux).
  • Les événements A\text{A} et B\text{B} sont incompatibles lorsque AB=.\text{A} \cap \text{B} = \emptyset.

Remarque

Par conséquent, si A\text{A} et B\text{B} sont incompatibles alors P(AB)=0.\text{P} (\text{A} \cap \text{B})=0.

Exemple

Dans un jeu de cartes, si A\text{A} est « la carte tirée est un pique » et B\text{B} est « la carte tirée est un as » alors AB\text{A} \cap \text{B} est « la carte tirée est l’as de pique » et AB\text{A} \cup \text{B} est « la carte tirée est un pique ou un as » (on peut donc tirer n’importe quel pique ou n’importe quel as y compris l’as de pique).

NOTATION

L’intersection de A\text{A} et B\text{B} se note AB.\text{A} \cap \text{B}.
La réunion de A\text{A} et B\text{B} se note AB.\text{A} \cup \text{B}.

Propriété

Si A\text{A} et B\text{B} sont deux événements incompatibles alors P(AB)=P(A)+P(B).\text{P} (\text{A} \cup \text{B})=\text{P} (\text{A})+\text{P} (\text{B}).

Application et méthode


Méthode

  • On commence par définir l’événement complémentaire de « obtenir au moins un jeton noir ».
  • On construit l’arbre de dénombrement associé à cette situation.
  • On utilise la propriété qui permet de calculer la probabilité d’un événement contraire.

Énoncé

On tire un jeton au hasard dans une urne qui contient un jeton blanc et un jeton noir. Après le tirage, on remet le jeton tiré dans l’urne et on recommence cette expérience encore trois fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois un jeton noir ?

SOLUTION

L’événement complémentaire de « obtenir au moins un jeton noir » est « n’obtenir aucun jeton noir ».
Grâce à un arbre de dénombrement, on détermine que la probabilité de n’obtenir aucun jeton noir est de 116.\dfrac { 1 } { 16 }.
Donc la probabilité d’obtenir au moins un jeton noir est de 1116=1516.1 - \dfrac { 1 } { 16 }=\dfrac { 15 } { 16 }.

Événement complémentaire - Probabilités et échantillonnage


Pour s'entraîner : exercices 36 p. 310 et 77 p. 316

Application et méthode

Énoncé

On a demandé à 180180 adolescents quel était leur genre de film préféré et on a consigné les résultats dans le tableau ci-dessous.

 Filles  Garçons  Total
 Comédie 75 25 100
 Action 45 35 80
 Total 120 60 180

On choisit au hasard un adolescent qui a participé à cette étude. On considère les événements A\text{A} : « l’adolescent choisi préfère les films d’action » et F\text{F} : « l’adolescent choisi est une fille ». Calculer P(AF)\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) et P(AF).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ).

SOLUTION

  • Dans le tableau, on peut lire qu’il y a 4545 filles qui préfèrent les films d’action. Sachant que, sur les 180180 adolescents qui ont été interrogés, 4545 sont des filles qui préfèrent les films d’action, on a
    P(AF)=45180=14.\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) = \dfrac { 45 } { 180 } = \dfrac { 1 } { 4 }.
  • On trouve dans le tableau que P(F)=120180=23\mathrm { P } ( \mathrm { F } ) = \dfrac { 120 } { 180 } = \dfrac { 2 } { 3 } et que P(A)=80180=49.\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { 80 } { 180 } = \dfrac { 4 } { 9 }.

D’où P(AF)\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ) =P(A)+P(F)P(AF)= \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { F } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) =23+4914=3136.= \dfrac { 2 } { 3 } + \dfrac { 4 } { 9 } - \dfrac { 1 } { 4 } = \dfrac { 31 } { 36 }.

Pour s'entraîner : exercices 29 ; 30 et 31 p. 309

Méthode

  • Chaque case du tableau nous donne la probabilité de l’intersection de deux événements.
  • Pour trouver P(AF),\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ), on utilise la formule
    P(AF)+P(AF)=P(A)+P(F).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { F } ).
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