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COURS 4


4
Échantillonnage




A
Vocabulaire


Définitions

Un échantillon de taille nn est la liste des résultats obtenus lorsqu’on répète nn fois une même expérience aléatoire de façon indépendante. Sur plusieurs échantillons de même taille, la fréquence d’un caractère observé varie d’un échantillon à l’autre. C’est ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.

Exemple

On joue à pile ou face dix fois de suite.
  • On obtient : pile-face-face-pile-pile-pile-face-pile-face-face. C’est un échantillon de taille 10.10. La fréquence de « face » est 12.\dfrac { 1 } { 2 }.
  • Pile-pile-face-pile-pile-pile-face-pile-face-pile est un autre échantillon de taille 10.10. La fréquence de « face » est 310.\dfrac { 3 } { 10 }.

B
Estimation d’une proportion par une fréquence observée sur un échantillon


On s’intéresse à l’apparition d’un certain caractère dans une population. On note pp la proportion théorique d’individus présentant ce caractère dans la population totale et on cherche à donner une estimation de pp en minimisant le risque d’erreur.

Exemple

Une urne contient 50005\:000 boules : certaines sont noires et d’autres sont rouges mais on ne sait pas dans quelle proportion. Pour estimer la proportion de boules rouges dans cette urne, on prélève plusieurs échantillons de taille 100100 dans cette urne et on observe la fréquence de boules rouges.

Estimation d’une proportion par une fréquence observée sur un échantillon


On a représenté dans le graphique ci-dessus les fréquences observées pour 20002\:000 échantillons de taille 100.100. On constate que, dans une grande majorité des cas, cette fréquence est comprise entre p1np - \dfrac { 1 } { \sqrt { n } } et p+1n.p + \dfrac { 1 } { \sqrt { n } }.

Théorème (admis)

Lorsque nn est grand, la fréquence observée ff d’individus présentant le caractère étudié dans un échantillon de taille nn est telle que fp1n| f - p | \leqslant \dfrac { 1 } { \sqrt { n } } dans une grande majorité des cas.

Remarque

Dans la grande majorité des cas, on a donc :
p1nfp+1n.p - \dfrac { 1 } { \sqrt { n } } \leqslant f \leqslant p + \dfrac { 1 } { \sqrt { n } }.
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