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Chapitre 11
Cours 4

Échantillonnage

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A
Vocabulaire

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Définition
Un échantillon de taille n est la liste des résultats obtenus lorsqu'on répète n fois une même expérience aléatoire de façon indépendante. Sur plusieurs échantillons de même taille, la fréquence d'un caractère observé varie d'un échantillon à l'autre. C'est ce qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage.
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Exemple
On joue à pile ou face dix fois de suite.
  • On obtient : pile-face-face-pile-pile-pile-face-pile-face-face. C'est un échantillon de taille 10. La fréquence de « face » est \dfrac { 1 } { 2 }.
  • Pile-pile-face-pile-pile-pile-face-pile-face-pile est un autre échantillon de taille 10. La fréquence de « face » est \dfrac { 3 } { 10 }.
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EXCLU. PREMIUM 2023

Lien entre fréquence et probabilité

Ce code Python permet de visualiser l'évolution de la fréquence d'apparition d'un événement de probabilité p lors de \text{N} tirages succesifs.

from math import*
from random import random
import matplotlib.pyplot as plt

#N = nombre de tirages
#p = probabilité de l'événement
def freq_proba(N,p):
  total = 0
  frequence = 0
  points = []
  for tirage in range(1,N+1):
    if random() <= p:
      total = total + 1
    frequence = total/tirage
    plt.plot(tirage,frequence, markeredgecolor="green", marker="o", markerfacecolor="green")
  plt.ylim([0,1])
  plt.show()

freq_proba(1000,0.5)
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B
Estimation d'une proportion par une fréquence observée sur un échantillon

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On s'intéresse à l'apparition d'un certain caractère dans une population. On note p la proportion théorique d'individus présentant ce caractère dans la population totale et on cherche à donner une estimation de p en minimisant le risque d'erreur.
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Loi des grands nombres (version vulgarisée)
Lorsque n est grand, la fréquence observée f d'individus présentant le caractère étudié dans un échantillon de taille n est telle que | f - p | \leqslant \dfrac { 1 } { \sqrt { n } } dans une grande majorité des cas.
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Remarque

Dans la grande majorité des cas, on a donc : p - \dfrac { 1 } { \sqrt { n } } \leqslant f \leqslant p + \dfrac { 1 } { \sqrt { n } }.
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Exemple
Une urne contient 5\:000 boules : certaines sont noires et d'autres sont rouges mais on ne sait pas dans quelle proportion.
Pour estimer la proportion de boules rouges dans cette urne, on prélève plusieurs échantillons de taille 100 dans cette urne et on observe la fréquence de boules rouges.
On a représenté dans le graphique ci-dessus les fréquences observées pour 2\:000 échantillons de taille 100. On constate que, dans une grande majorité des cas, cette fréquence est comprise entre {p - \dfrac { 1 } { \sqrt { n } }} et {p + \dfrac { 1 } { \sqrt { n } }}.
Estimation d'une proportion par une fréquence observée sur un échantillon
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