Mathématiques 2de
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Ch. 1
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Ch. 2
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Ch. 3
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Ch. 4
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Ch. 5
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Ch. 6
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Ch. 7
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Ch. 8
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Statistiques et probabilités
Ch. 9
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Ch. 10
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Probabilités et échantillonnage
Probabilités et échantillonnage
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Activitép. 294-295
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Révisionsp. 304
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Auto-évaluationp. 305
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TP / TICEp. 306
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TP / TICEp. 307
Le paradoxe de la corde de Bertrand
Travailler autrementp. 308
Applications directes
Applications directesp. 309
Applications directes
Applications directes
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Exercicesp. 310
1. Modélisation d’une expérience aléatoire
Exercicesp. 311-312
2. Événement d’une expérience aléatoire
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4. Échantillonnage
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Chapitre 11
Cours 1

Modélisation d'une expérience aléatoire

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A
Vocabulaire des probabilités

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Définition
  • Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats possibles sont connus sans que l'on puisse déterminer lequel sera réalisé.
  • Une issue est un des résultats possibles d'une expérience aléatoire.
  • L'univers associé à une expérience aléatoire est l'ensemble de toutes ses issues possibles.
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Notation

En général, l'univers est noté \Omega.
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Exemple
  • On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on observe le nombre obtenu. Cette expérience a 6 issues possibles et l'univers associé est \Omega = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \}.
  • On tire une carte parmi un jeu de 32 cartes et on observe sa couleur. Cette expérience a 4 issues possibles et l'univers associé est \Omega = \{ ♠, ♣, ♥, ♦ \}.
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Remarque

Pique, cœur, trèfle et carreau sont appelés « couleur » d'une carte.
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Application et méthode
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Énoncé
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. Parmi ces boules, 5 sont rouges, 3 sont bleues et 2 sont vertes. Dans chaque cas, déterminer l'univers associé à l'expérience aléatoire décrite.
1. On tire une boule au hasard et on s'intéresse à sa valeur.
2. On tire une boule au hasard et on s'intéresse à sa couleur.

Probabilités et échantillonnage
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Solution
1. Comme les boules sont numérotées de 1 à 10, alors \Omega = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; 10 \}.
2. Les boules peuvent être rouges, bleues ou vertes donc \Omega = \{ \text{rouge} \: ; \text{bleu} \: ; \text{vert} \}.

Pour s'entraîner
Exercices
21
 ;
22
 ;
23
 et
24
 p. 309
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Méthode

Pour chaque expérience :
  • on repère ce qui est étudié (couleur ou valeur) ;
  • on liste les différentes issues possibles sans en oublier et sans les répéter.
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B
Loi de probabilité d'une expérience aléatoire

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Définition
Définir une loi de probabilité pour une expérience aléatoire dont l'univers est \Omega = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \right\} consiste à attribuer à chacune des issues un nombre p_i positif ou nul, appelé probabilité, tel que p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { n } = 1.
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Remarque

Lorsque chaque issue a la même probabilité de se produire qu'une autre, on est dans une situation d'équiprobabilité.
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Exemple
On lance un dé tétraédrique dont les faces sont numérotés de 1 à 4. Si le dé n'est pas truqué, on est dans une situation d'équiprobabilité.
On obtient donc la loi de probabilité suivante :
\mathrm { P } ( \{ 1 \} ) = \mathrm { P } ( \{ 2 \} ) = \mathrm { P } ( \{ 3 \} ) = \mathrm { P } ( \{ 4 \} ) = \dfrac { 1 } { 4 }.
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Propriété
En répétant un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de chaque issue se stabilise autour d'une valeur. Il est donc raisonnable de prendre cette valeur comme probabilité de l'issue.
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Remarque

Cette propriété est une conséquence de la loi des grands nombres.
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Application et méthode
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Énoncé

Un lance un dé dodécaédrique non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 12 et on s'intéresse au nombre obtenu. Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.
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Méthode

  • On détermine l'univers associé à l'expérience aléatoire.
  • On choisit la méthode qui va nous permettre de définir un modèle de probabilité. Dans ce cas, on utilise le fait d'être dans une situation d'équiprobabilité.
  • On définit la probabilité de chaque issue.
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Solution
L'univers associé à cette expérience aléatoire est
\Omega = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; 10 \: ; 11 \: ; 12 \}.
On est dans une situation d'équiprobabilité car le dé n'est pas truqué. On obtient la loi de probabilité suivante.

 Issue123456789101112
 Probabilité\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }\dfrac { 1 } { 12 }

Pour s'entraîner
Exercices
25
 et
26
 p. 309

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