COURS 1


1
Modélisation d’une expérience aléatoire




A
Vocabulaire des probabilités

Remarque

Pique, coeur, trèfle et carreau sont appelés « couleur » d’une carte.

Définitions

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats possibles sont connus sans que l’on puisse déterminer lequel sera réalisé.
  • Une issue est un des résultats possibles d’une expérience aléatoire.
  • L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble de toutes ses issues possibles.

NOTATION

En générale, l’univers est noté Ω.\Omega.

Exemple

  • On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 11 à 66 et on observe le nombre obtenu. Cette expérience a 66 issues possibles et l’univers associé est Ω={1;2;3;4;5;6}.\Omega = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \}.
  • On tire une carte parmi un jeu de 3232 cartes et on observe sa couleur. Cette expérience a 44 issues possibles et l’univers associé est Ω={,,,}.\Omega = \{ ♠, ♣, ♥, ♦ \}.

Application et méthode

Énoncé

Une urne contient 10 boules numérotées de 11 à 10.10. Parmi ces boules, 5 sont rouges, 3 sont bleues et 2 sont vertes. Dans chaque cas, déterminer l’univers associé à l’expérience aléatoire décrite.
1. On tire une boule au hasard et on s’intéresse à sa valeur.
2. On tire une boule au hasard et on s’intéresse à sa couleur.

Probabilités et échantillonnage

SOLUTION

1. Comme les boules sont numérotées de 11 à 10,10, alors Ω={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}.\Omega = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; 10 \}.
2. Les boules peuvent être rouges, bleues ou vertes donc Ω={rouge;bleu;vert}.\Omega = \{ \text{rouge} \: ; \text{bleu} \: ; \text{vert} \}.

Pour s'entraîner : exercices 21 ; 22 ; 23 et 24 p. 309

Méthode

Pour chaque expérience :
  • on repère ce qui est étudié (couleur ou valeur) ;
  • on liste les différentes issues possibles sans en oublier et sans les répéter.

B
Loi de probabilité d’une expérience aléatoire

Remarque

Lorsque chaque issue a la même probabilité de se produire qu’une autre, on est dans une situation d’équiprobabilité.

Propriété (admise)

En répétant un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de chaque issue se stabilise autour d’une valeur. Il est donc raisonnable de prendre cette valeur comme probabilité de l’issue.

Exemple

On lance un dé tétraédrique dont les faces sont numérotés de 11 à 4.4. Si le dé n’est pas truqué, on est dans une situation d’équiprobabilité.
On obtient donc la loi de probabilité suivante :
P({1})=P({2})=P({3})=P({4})=14.\mathrm { P } ( \{ 1 \} ) = \mathrm { P } ( \{ 2 \} ) = \mathrm { P } ( \{ 3 \} ) = \mathrm { P } ( \{ 4 \} ) = \dfrac { 1 } { 4 }.

Remarque

Cette propriété est une conséquence de la loi des grands nombres.

Définitions

Définir une loi de probabilité pour une expérience aléatoire dont l’univers est Ω={x1;x2;;xn}\Omega = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \right\} consiste à attribuer à chacune des issues un nombre pip_i positif ou nul, appelé probabilité, tel que p1+p2++pn=1.p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { n } = 1.

Application et méthode


SOLUTION

L’univers associé à cette expérience aléatoire est
Ω={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}.\Omega = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; 10 \: ; 11 \: ; 12 \}.
On est dans une situation d’équiprobabilité car le dé n’est pas truqué. On obtient la loi de probabilité suivante.

 Issue 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 Probabilité 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 } 112\dfrac { 1 } { 12 }


Pour s'entraîner : exercices 25 et 26 p. 309

Énoncé

Un lance un dé dodécaédrique non truqué dont les faces sont numérotées de 11 à 1212 et on s’intéresse au nombre obtenu.
Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.

Méthode

  • On détermine l’univers associé à l’expérience aléatoire.
  • On choisit la méthode qui va nous permettre de définir un modèle de probabilité. Dans ce cas, on utilise le fait d’être dans une situation d’équiprobabilité.
  • On définit la probabilité de chaque issue.
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