Chapitre 11
Synthèse
Exercices de synthèse
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87
Parmi les 175 élèves de seconde d'un lycée, il y a 56 % de garçons. Le choix de la deuxième langue vivante des élèves de seconde est résumé dans le tableau ci-dessous.
| Langue | Filles | Garçons |
| Espagnol | 45,44 % | 50 % |
| Allemand | 27,28 % | 14,29 % |
| Italiens | 27,28 % | 35,71 % |
1. Compléter le tableau ci-dessous en indiquant les effectifs.
| Espagnol | Allemand | Italien | Total | |
| Filles | ||||
| Garçons | ||||
| Total | 175 |
2. On choisit un élève de seconde au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu'il étudie l'espagnol ?
b. Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui étudie l'allemand ?
c. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon qui étudie l'italien ?
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88
[Communiquer.]
Un jeu de tarot comporte 78 cartes (voir page 312). On considère les événements :
- \text{C} : « la carte tirée est un carreau » ;
- \text{F} : « la carte tirée est une figure » ;
- \text{A} : « la carte tirée est un atout ».
1. Déterminer \mathrm { P } (\mathrm { C }), \mathrm { P } (\mathrm { F }) et \mathrm { P } (\mathrm { A }).
2. Définir par une phrase l'événement \mathrm { C } \cap \mathrm { F } et donner sa probabilité.
2. Définir par une phrase l'événement \mathrm { C } \cap \mathrm { F } et donner sa probabilité.
3. Définir par une phrase l'événement \mathrm { C } \cup \mathrm { F } et donner sa probabilité.
4. Que dire des événements \mathrm { C } \cap \mathrm { A } et \mathrm { F } \cap \mathrm { A } \: ?
5. En déduire \mathrm { P } (\mathrm { C } \cup \mathrm { A }) et \mathrm { P } (\mathrm { F } \cup \mathrm { A }) \: ?
4. Que dire des événements \mathrm { C } \cap \mathrm { A } et \mathrm { F } \cap \mathrm { A } \: ?
5. En déduire \mathrm { P } (\mathrm { C } \cup \mathrm { A }) et \mathrm { P } (\mathrm { F } \cup \mathrm { A }) \: ?
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89
[Calculer.]
Une urne contient trois boules bleues, deux boules rouges et une boule verte. On tire successivement et sans remise deux boules dans l'urne.
1. Traduire la situation par un arbre de dénombrement.
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2. Quelle est la probabilité :
a. de tirer deux boules de la même couleur ?
b. de ne pas tirer de boule bleue ?
c. de tirer au moins une boule verte ?
a. de tirer deux boules de la même couleur ?
b. de ne pas tirer de boule bleue ?
c. de tirer au moins une boule verte ?
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90
[Modéliser.] On interroge au hasard 200 personnes à la sortie d'une salle de cinéma à propos du roman dont le film qu'ils ont vu est une adaptation. 95 personnes avaient lu le roman avant de venir voir le film et 140 personnes ont aimé le film. De plus, parmi les personnes qui ont lu le roman, 55 ont apprécié l'adaptation.
On considère les événements :
- \text{F} : « la personne a aimé le film » ;
- \text{R} : « la personne a lu le roman ».
1. Compléter le diagramme ci-dessous.
2. Quelle est la probabilité qu'une personne n'ait pas aimé le film et n'ait pas lu le livre ?
3. Définir par une phrase l'événement \mathrm { R } \cap \overline { \mathrm { F } } et donner sa probabilité.
4. Définir par une phrase l'événement \overline \mathrm { R } \cap { \mathrm { F } } et donner sa probabilité.
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91
[Modéliser.]
Afin de soutenir un association humanitaire, la Maison des Lycéens décide d'organiser une tombola dont les lots sont les suivants :
- 1 téléviseur d'une valeur de 300 € ;
- 2 appareils photo numériques d'une valeur unitaire de 130 € ;
- 5 enceintes Bluetooth d'une valeur unitaire de 25 € ;
- 10 montres d'une valeur unitaire de 15 € ;
- 20 gourdes d'une valeur unitaire de 5 € ;
- 50 porte-monnaies d'une valeur unitaire de 2 € ;
- 100 porte-clés d'une valeur unitaire de 1 €.
350 billets sont mis en vente au prix de 2 €. On achète un billet de tombola.
1. Quelle est la probabilité de gagner un lot ?
2. Quelle est la probabilité de gagner un lot dont la valeur est supérieure au prix d'achat du billet de tombola ?
3. Quelle est la probabilité de gagner un lot dont la valeur est supérieure à 20 € ?
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92
[Calculer.]
1. Combien de nombres à 4 chiffres peut-on écrire uniquement avec des 1 et des 2 \: ? Les écrire tous. On choisit au hasard un de ces nombres.
2. Quelle est la probabilité que ce nombre ait quatre fois le même chiffre ?
2. Quelle est la probabilité que ce nombre ait quatre fois le même chiffre ?
3. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 \: ?
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93
Python
[Modéliser.]
La planche de Galton.
Un joueur lâche une bille sur une planche inclinée sur laquelle sont plantés des clous comme sur la figure
ci-dessous. À chaque clou rencontré, la bille passe indifféremment à droite ou à gauche. En fin de parcours, elle tombe dans une case. Le numéro de la case est donc le nombre de fois où la bille est descendue à droite lors de son parcours.
1. Traduire cette situation par un arbre de dénombrement.
2. Déterminer la probabilité qu'a la bille de tomber dans chacune des cases.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Déterminer la probabilité qu'a la bille de tomber dans chacune des cases.
3. Le programme ci-après permet de simuler le lâcher
de 10\:000 billes sur cette planche.
a. Exécuter ce programme.
b. Retrouve-t-on les résultats théoriques établis précédemment ?
from random import *
A, B, C, D, E = 0, 0, 0, 0, 0
for k in range (9999):
x = randint(0,1) + randint(0,1) + randint(0,1) + randint(0,1)
if x == 0:
A = A + 1
elif x == 1:
B = B + 1
elif x == 2:
C = C + 1
elif x == 3:
D = D + 1
else:
E = E + 1
print("Fréquence de billes dans la case 0 :", A/10000)
print("Fréquence de billes dans la case 1 :", B/10000)
print("Fréquence de billes dans la case 2 :", C/10000)
print("Fréquence de billes dans la case 3 :", D/10000)
print("Fréquence de billes dans la case 4 :", E/10000)
a. Exécuter ce programme.
b. Retrouve-t-on les résultats théoriques établis précédemment ?
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94
[Chercher.] On dispose de deux urnes. L'urne n°1 contient deux boules vertes et trois boules rouges. L'urne n°2 contient trois boules vertes et deux boules rouges.
On lance une pièce supposée équilibrée : si on obtient « pile », on tire sans remise deux boules dans l'urne n°1 et si on obtient « face », on tire sans remise deux boules dans l'urne n°2.
1. Traduire la situation par un arbre de dénombrement.
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2. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur ?
3. En déduire la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
3. En déduire la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
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Club de Maths
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95
Défi
Combien de fois faut-il lancer une pièce supposée équilibrée pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois « pile » soit supérieure ou égale à 0\text{,}999 \: ?
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96
Casse-tête
Le paradoxe du Duc de Toscane
Au XVIIe siècle, à la cour de Florence, un des jeux pratiqués consistait à lancer 3 dés et à parier sur la somme des nombres obtenus. Le Duc de Toscane avait remarqué que le 10 était obtenu un peu plus souvent que le 9 alors qu'il y a autant de façons de les écrire comme somme de trois entiers compris entre 1 et 6.
Expliquer pourquoi le 10 est obtenu plus souvent que le 9.
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Galileo Galilei, dit Galilée (1564-1642) était un mathématicien, astronome et physicien italien. En 1620, alors qu'il était Premier Mathématicien de l'Université de Pise, il rédige, à la demande du Duc de Toscane, une explication à ce paradoxe.
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Oups, une coquille
