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Chapitre 11
TP / TICE

La méthode de Monte-Carlo

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Énoncé

On a représenté la fonction carré sur l'intervalle [0 \: ; 1] et on a coloré en rouge le domaine situé sous la courbe. On souhaite connaître l'aire de ce domaine. Pour cela, on choisit de façon aléatoire un point \text{M}(x \: ; y) avec 0 \leqslant x \leqslant 1 et 0 \leqslant y \leqslant 1 puis on détermine si ce point est situé sous la courbe ou non. Comme le point est choisi de façon aléatoire, la probabilité qu'il se situe sous la courbe est proportionnelle à l'aire du domaine rouge.
La méthode de Monte-Carlo - Probabilités et échantillonnage
Questions préliminaires :
1. Quelle est l'aire du carré dans lequel le point \text{M} peut être généré ?

2. À quelle condition sur x et y le point \text{M}(x \: ; y) se trouve-t-il dans le domaine coloré ?

3. En déduire que la probabilité que le point \text{M} respecte les conditions de la question 2. est égale à l'aire du domaine rouge.
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Objectif
En réalisant un grand nombre de simulations, déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine coloré en rouge avec l'une des deux méthodes de résolution.
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Méthode 1
Tableur

1. La fonction =ALEA() permet d'obtenir un nombre choisi au hasard dans l'intervalle [0 \: ; 1[. Utiliser cette fonction pour définir un point choisi aléatoirement dont l'abscisse sera dans la cellule A1 et l'ordonnée dans la cellule B1.

Placeholder pour Capture d'écran : feuille de calcul générant un nombre aléatoire avec la fonction ALEA().Capture d'écran : feuille de calcul générant un nombre aléatoire avec la fonction ALEA().


2. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C1 pour afficher 0 si le point n'est pas dans le domaine coloré en rouge et 1 s'il y est ?


3. Étirer les cellules A1 à C1 vers le bas pour obtenir 1\:000 points.

4. Déterminer la fréquence des points situés dans le domaine coloré en rouge dans la cellule E1.


5. Grâce à la touche F9, effectuer plusieurs simulations. Quelle semble être la fréquence des points situés dans le domaine coloré en rouge ?


6. Donner une estimation de l'aire du domaine coloré en rouge.
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Méthode 2
Python

1. Dans le programme suivant, la variable Nb représente le nombre de simulations que nous souhaitons réaliser, Compteur compte le nombre de points qui se situent dans le domaine coloré et f est la fréquence des points qui se situent dans cette zone. Compléter ce programme.

 
from math import *
from random import random 

Nb = 1000 
Compteur = 0 

for i in range(...):
  x = random()
  y = random()
  if ... : 
    Compteur = Compteur + 1

f = ...

print('La fréquence est de ', f)
2. Réaliser plusieurs simulations à l'aide de ce programme. Quelle semble être la fréquence des points situés dans le domaine coloré ?


3. Augmenter le nombre de simulations. Donner une nouvelle approximation (plus précise) de la fréquence des points situés dans le domaine coloré.


4. Donner une estimation de l'aire du domaine coloré en rouge.
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Histoire des maths

La méthode de Monte Carlo est une technique probabiliste qui permet de calculer des aires ou des volumes. Elle a été imaginée par Nicholas Metropolis, physicien gréco-américain. Son nom fait référence aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo.
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