Entrainement 3


Intersection et réunion





71
[Modéliser.] ◉◉◉
Pour se rendre sur son lieu de travail (T\text{T}) depuis chez elle (M\text{M}), une employée a le choix entre plusieurs chemins, tous ayant la même probabilité d’être empruntés. Le schéma ci-dessous donne les différents itinéraires possibles.
On admet que l’employée ne passe pas deux fois par le même point lors de son trajet.

Intersection et réunion - Probabilités et échantillonnage

1. Combien y a-t-il de trajets possibles ?

2. On considère les événements :
  • K\text{K} : « le trajet passe par le point C\text{C} » ;
  • L\text{L} : « le trajet passe par le point D\text{D} ».
Déterminer la probabilité des événements K,\text{K}, L,\text{L}, KL\text{K} \cap \text{L} et KL.\text{K} \cup \text{L}.

80
[Chercher.]
Une coccinelle se déplace en partant du point A\text{A} sur la figure ci-dessous.

Probabilités et échantillonnage
  
MAT.2de.11.ENTR3.coccinelle

À chaque intersection, la coccinelle choisit au hasard une direction (elle peut revenir sur ses pas). On s’intéresse aux trajets composés de trois déplacements en partant de A.\text{A}.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. On considère les événements suivants :
  • M\text{M} : « la coccinelle visite exactement trois points différents » ;
  • N\text{N} : « la coccinelle passe par le point B\text{B} » ;
  • O\text{O} : « la coccinelle passe deux fois par le même point ».

a. Déterminer P(M),\text{P}(\text{M}), P(N)\text{P}(\text{N}) et P(O).\text{P}(\text{O}).

b. Déterminer et interpréter P(MN)\mathrm { P } ( \mathrm { M } \cap \mathrm { N } ) et P(MO).\mathrm { P } ( \mathrm { M } \cap \mathrm { O } ).

c. En déduire P(MN)\mathrm { P } ( \mathrm { M } \cup \mathrm { N } ) et P(MO).\mathrm { P } ( \mathrm { M } \cup \mathrm { O } ).

79
[Modéliser.]
Une usine fabrique des objets destinés à être commercialisés. Sur 100100 objets qui sortent de l’usine, en moyenne, 1515 ont le défaut A,\text{A}, 77 ont le défaut B\text{B} et 66 ont les deux défauts.

Calculer la probabilité qu’un objet n’ait aucun défaut.

72
[Modéliser.]
Dans un village, il y a deux boulangeries. On considère les événements :
  • A\text{A} : « la première boulangerie est ouverte » ;
  • B\text{B} : « la deuxième boulangerie est ouverte ».

On sait que P(A)=0,6\text{P}(\text{A}) = 0\text{,}6 et P(B)=0,8.\text{P}(\text{B}) = 0\text{,}8 . De plus, il y a toujours au moins une des deux boulangeries ouverte. Exprimer chacun des événements suivants en fonction des événements A\text{A} et B\text{B} et déterminer leur probabilité.
1. D\text{D} : « au moins une des deux boulangeries est ouverte » ;

2. E\text{E} : « aucune boulangerie n’est ouverte » ;

3. F\text{F} : « les deux boulangeries sont ouvertes ».

67
[Modéliser.] ◉◉
Sur les 170170 couverts servis dans un restaurant un midi, 100100 clients ont pris une entrée et un plat, 110110 ont pris un plat et un dessert. Parmi ceux-ci, 8080 ont pris l’entrée, le plat et le dessert. Certains aussi n’ont pris qu’un plat sans entrée ni dessert.

On choisit au hasard une personne qui a déjeuné dans ce restaurant et on considère les événements :
  • A:\text{A} \: : « le client a pris une entrée » ;
  • B:\text{B} \: : « le client a pris un dessert ».

1. Déterminer P(A)\text{P}(\text{A}) et P(B).\text{P}(\text{B}).

2. Compléter le diagramme ci-dessous.
Intersection et réunion - Probabilités et échantillonnage

3. À l’aide du diagramme, déterminer la probabilité qu’un client ait pris un plat seul.

4. Définir par une phrase l’événement AB\text{A} \cap \text{B} et déterminer sa probabilité.

5. Définir par une phrase l’événement AB\text{A} \cup \text{B} et déterminer sa probabilité.

68
[Chercher.]
Dans une école de musique, les élèves peuvent apprendre le piano, la guitare ou un autre instrument. Ils ont aussi la possibilité de participer à un orchestre. La répartition dans les différents ateliers est donnée dans le tableau ci-dessous :

   Piano  Guitare  Autre instrument  Total
 Orchestre 20 70
 Pas orchestre 190 350
 Total 150 450


1. Compléter le tableau.
2. On choisit au hasard un élève de cette école de musique.
a. Quelle est la probabilité que cet élève apprenne la guitare ?

b. Quelle est la probabilité que cet élève ne fasse pas partie de l’orchestre ?

c. Quelle est la probabilité que cet élève joue du piano dans l’orchestre ?

70
[Communiquer.]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 5252 cartes. On considère les événements :
  • R\text{R} : « la carte tirée est rouge » ;
  • K\text{K} : « la carte tirée est un roi » ;
  • T\text{T} : « la carte tirée est un trèfle ».

1. Déterminer P(R),\mathrm { P } ( \mathrm { R }), P(K)\mathrm { P } ( \mathrm { K }) et P(T).\mathrm { P } ( \mathrm { T }).

2. Définir par une phrase l’événement RK\mathrm { R } \cap \mathrm { K } et donner sa probabilité.

3. Définir par une phrase l’événement RT\mathrm { R } \cap \mathrm { T } et donner sa probabilité.

4. Définir par une phrase l’événement RT\mathrm { R } \cup \mathrm { T } et donner sa probabilité.

74
[Communiquer.]
Dans un sac opaque, on met deux billets de 5 €, un billet de 10 € et deux billets de 20 €. Tous les billets sont indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux billets dans le sac.
1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

On considère les événements :
  • A\text{A} : « on tire deux billets identiques » ;
  • B\text{B} : « on tire au moins un billet de 2020 € ».

2. Déterminer P(A)\text{P}(\text{A}) et P(B).\text{P}(\text{B}).

3. Définir par une phrase l’événement B\overline { \mathrm { B } } et donner sa probabilité.

4. Définir par une phrase l’événement AB\mathrm { A } \cap \overline { \mathrm { B } } et donner sa probabilité.

73
[Chercher.]
On choisit une personne au hasard à la sortie d’une séance de cinéma. On sait que, pour cette séance, 47 % des personnes ont bénéficié d’un tarif réduit, 32 % disposent d’un abonnement et les autres ont payé le tarif normal. Un client ne peut pas bénéficier d’un tarif réduit s’il possède déjà un abonnement.
Quelle est la probabilité que la personne choisie au hasard ait payé le tarif normal ?

75
[Communiquer.]
On choisit au hasard un nombre entier entre 11 et 100.100. On considère les événements :
  • A\text{A} : « le nombre choisi est le carré d’un entier » ;
  • B\text{B} : « le nombre choisi est le cube d’un entier ».

1. Les événements A\text{A} et B\text{B} sont-ils incompatibles ?


2. Déterminer P(A),\mathrm { P } ( \mathrm { A } ), P(B)\mathrm { P } ( \mathrm { B } ) et P(AB).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).


3. En déduire P(AB).\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ).

78
[Modéliser.]
En France, il y a 16 % de gauchers, 30 % de personnes qui ont les yeux bleus et 3 % de gauchers aux yeux bleus.

Quelle est la probabilité qu’un individu pris au hasard ne soit pas gaucher et n’ait pas les yeux bleus ?

76
[Modéliser.]
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. On note A\text{A} l’événement : « on obtient trois fois face ».

Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois « pile ».


69
[Communiquer.] ◉◉
On lance un dé à douze faces numérotées de 11 à 12.12. On considère les événements :
  • A\text{A} : « on obtient un diviseur de 1212 » ;
  • B\text{B} : « on obtient un multiple de 33 » ;
  • C\text{C} : « on obtient un nombre premier ».

1. Déterminer P(A),\mathrm { P } ( \mathrm { A }), P(B)\mathrm { P } ( \mathrm { B }) et P(C).\mathrm { P } ( \mathrm { C }).

2. Donner l’écriture ensembliste de l’événement AB\mathrm { A } \cap \mathrm { B } et en déduire sa probabilité.

3. Donner l’écriture ensembliste de l’événement AC\mathrm { A } \cap \mathrm { C } et en déduire sa probabilité.

4. Donner l’écriture ensembliste de l’événement BC\mathrm { B } \cap \mathrm { C } et en déduire sa probabilité.

77
[Modéliser.]
Pour aller à un entretien d’embauche, Robin ne sait pas quelle tenue choisir. Il décide alors de prendre au hasard une chemise, un pantalon et une veste. Il dispose de trois chemises (une noire, une grise et une bleue), de deux vestes (une noire et une bleue) et de deux pantalons (un noir et l’autre bleu).

1. Déterminer le nombre de façons différentes dont Robin peut s’habiller.

2. Quelle est la probabilité que Robin ne porte pas de noir ?

3. En déduire la probabilité qu’il porte au moins un habit noir.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 57 ; 60 ; 69 ; 81 et 87
◉◉ Parcours 2 : exercices 48 ; 50 ; 54 ; 58 ; 66 ; 67 ; 85 et 90
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 59 ; 61 ; 71 et 94
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