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Activités




A
L’univers des sports



Objectif
Associer un modèle de probabilité à une expérience aléatoire.


Une colonie de vacances accueille des adolescents âgés de 13 à 17 ans.
Chaque jour, différents sports sont proposés.

Ils sont classés en trois catégories :
1. sports de pleine nature : escalade (E), VTT (V) ;
2. sports individuels : tennis (T), tir à l’arc (A) ;
3. sports collectifs : football (F), handball (H).

Pour éviter les conflits, les animateurs décident que les adolescents choisiront un sport au hasard.
Arnaud et Véronique sont frère et soeur et ne veulent pas pratiquer le même sport. Ils se demandent la probabilité qu’ils ont d’être dans la même catégorie.



Escalade - Activités - L'univers des sports

1
Le lundi, les animateurs écrivent la lettre de chaque sport sur différents papiers : ils ont donc six papiers. Véronique en choisit un au hasard et Arnaud en choisit ensuite un parmi les cinq restants.

a) Justifier qu’il existe 30 possibilités différentes de répartir Véronique et Arnaud.


b) On estime que la possibilité « Véronique fait du football et Arnaud fait de l’escalade » est identique à « Arnaud fait du football et Véronique fait de l’escalade » car il s’agit de la même paire de sports : {F ; E}. Parmi les 30 possibilités, énumérer les 15 paires de possibilités.


c) Parmi les 15 paires, quelles sont celles qui indiquent que Véronique et Arnaud vont pratiquer un sport de la même catégorie ?


d) En déduire alors la probabilité qu’ils pratiquent un sport de la même catégorie.

AIDE

1
a) Déterminer le nombre de choix possibles pour Véronique et, pour chacun de ces choix, déterminer le nombre de choix possibles pour Arnaud.

1
d) Il suffit de calculer la proportion des choix qui nous intéresse sur l’ensemble des choix possibles.

2
Le mardi, les animateurs écrivent sur trois papiers les catégories : 1 ; 2 ou 3. Véronique choisit un papier au hasard et le repose. Arnaud peut donc aussi choisir un papier au hasard parmi les trois.

a) Justifier, à l’aide d’un arbre de dénombrement, qu’il existe 9 possibilités différentes de répartir Véronique et Arnaud.


b) Le couple (1 ; 2) signifie que Véronique est dans la catégorie 1 alors qu’Arnaud est dans la catégorie 2. Écrire toutes les possibilités de couples.


c) Parmi tous ces couples, quels sont ceux qui indiquent que Véronique et Arnaud vont pratiquer un sport de la même catégorie ?


d) En déduire alors la probabilité qu’ils pratiquent un sport de la même catégorie.

Remarque

2
b) Le couple (2 ; 1) signifie que Véronique est dans la catégorie 2 alors qu’Arnaud est dans la catégorie 1. Donc les couples (1 ; 2) et (2 ; 1) ne sont pas identiques.
Voir les réponses


Bilan
Comment peut-on expliquer que les probabilités obtenues ne sont pas les mêmes alors que l’on se pose la même question ?

B
Smartphone et montre connectée



Objectif
Calculer la réunion et l’intersection de deux événements ainsi que leur probabilité.


Voir les réponses
Parmi les 28 élèves d’une classe de seconde, 10 ont une montre connectée et 17 un smartphone. On sait également que 3 élèves possèdent les deux.
On choisit un élève de cette classe au hasard et on considère les événements :
  • C\text{C} : « l’élève a une montre connectée » ;
  • S\text{S} : « l’élève a un smartphone ».


Smartphone et montre connectée - activités

1
À l’aide des informations de l’énoncé, compléter le diagramme ci-dessous en inscrivant le bon nombre à la place de chaque « ... » .
Smartphone et montre connectée - Probabilités et échantillonnage
2
a) Déterminer la probabilité que l’événement C\text{C} se réalise. On note cette probabilité P(C).\text{P}(\text{C}) .

b) Calculer ensuite P(S).\text{P}(\text{S}) .

3
On note CS\mathrm {C} \cup \mathrm {S} l’événement qui réalise l’événement C\text{C} ou l’événement S\text{S} (ou les deux). D’après le contexte, décrire par une phrase l’événement CS\mathrm {C} \cup \mathrm {S} puis déterminer sa probabilité.

Remarque

3
En mathématiques, le « ou » n’est pas exclusif, c’est-à-dire que pour réaliser l’événement CS,\mathrm {C} \cup \mathrm {S}, il suffit de réaliser au moins un des deux événements C\mathrm {C} ou S.\mathrm {S}.

4
On note CS\mathrm {C} \cap \mathrm {S} l’événement qui réalise à la fois l’événement C\text{C} et l’événement S.\text{S}. D’après le contexte, décrire par une phrase l’événement CS\mathrm {C} \cap \mathrm {S} puis déterminer sa probabilité.

Remarque

3
et  
4
L’événement CS\mathrm {C} \cup \mathrm {S} se lit « C\mathrm {C} union S\mathrm {S} » et l’événement CS\mathrm {C} \cap \mathrm {S} se lit « C\mathrm {C} inter S\mathrm {S} ».

5
Calculer P(C)+P(S) \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { S } ) puis P(CS)+P(CS).\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup \mathrm { S } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { C } \cap \mathrm { S } ). Que remarque-t-on ?


6
On imagine maintenant une autre classe qui comporte également 28 élèves dont 10 ont une montre connectée et 17 ont un smartphone. En revanche, on sait que, dans cette classe, aucun élève ne possède à la fois un smartphone et une montre connectée.
a) Calculer P(C), \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) , P(S),\mathrm { P } ( \mathrm { S } ) , P(CS)\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup \mathrm { S } ) et P(CS)\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cap \mathrm { S } ) pour cette nouvelle situation.

b) La relation trouvée à la question 
5
est-elle toujours valable ?
Voir les réponses


Bilan
Établir une relation qui lie P(C), \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) , P(S),\mathrm { P } ( \mathrm { S } ) , P(CS)\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup \mathrm { S } ) et P(CS).\mathrm { P } ( \mathrm { C } \cap \mathrm { S } ).

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