On trace au hasard une corde dans le cercle suivant et on se demande quelle est la probabilité que cette corde soit plus longue que le côté du triangle équilatéral \text{ABC} inscrit dans ce cercle.

On place les deux extrémités de la corde au hasard sur le cercle. Vu que cela ne change pas le problème, on va supposer que l'une des extrémités est sur l'un des sommets du triangle \text{ABC}.

1. Où doit se trouver le point \text{M} pour que la corde soit plus longue qu'un côté du triangle \text{ABC} \: ?

2. Quelle est alors la probabilité que la corde soit plus longue que le côté du triangle \text{ABC} \: ?

On choisit au hasard un rayon sur le cercle et une corde perpendiculaire à ce rayon. Vu que cela ne change pas le problème, on va supposer que le rayon est perpendiculaire à un côté du triangle \text{ABC}.

1. Où doit se trouver l'intersection de (\text{MN}) et (\text{OP}) pour avoir \text{MN} \gt \text{BC} \: ?

2. On admet que \text{OA} = 2 \times \text{OH}. Montrer que \text{H} est le milieu de [\text{OP}].

3. Quelle est alors la probabilité que la corde soit plus longue que le côté du triangle \text{ABC} \: ?

Soit un point \text{T} choisi au hasard à l'intérieur du disque. On considère la corde dont ce point est le milieu. Pour construire la corde, on trace le rayon passant par \text{T}. La corde est la perpendiculaire à (\text{OT}) passant par \text{T}.

1. Quelle doit être la position du point \text{T} pour que la corde soit plus longue qu'un côté du triangle \text{ABC} \: ? Pour conjecturer, on peut se rapporter au cas où \text{T} est sur un rayon perpendiculaire à un côté du triangle.

2. On note r le rayon du cercle circonscrit au triangle \text{ABC}. Exprimer en fonction de r l'aire du cercle circonscrit au triangle \text{ABC} et celle du cercle inscrit dans le triangle \text{ABC}.

3. En déduire la probabilité que la corde soit plus longue que le côté du triangle \text{ABC}.