Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus


TRAVAILLER ENSEMBLE


Le paradoxe de la corde de Bertrand




Mise en commun

Voir les réponses
Comparer les résultats des différents groupes. Pourquoi peut-on dire de ce problème que c’est un « paradoxe » ? Comment peut-on l’expliquer ?


Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

On trace au hasard une corde dans le cercle suivant et on se demande quelle est la probabilité que cette corde soit plus longue que le côté du triangle équilatéral ABC\text{ABC} inscrit dans ce cercle.
Le paradoxe de la corde de Bertrand - Travailler ensemble - Probabilités et échantillonnage

Histoire des maths

Joseph Louis François Bertrand - Histoire des maths

Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) était un mathématicien français. D’abord ingénieur, il abandonne ce poste pour se consacrer à la recherche et à l’enseignement des mathématiques. En 1845, en analysant les nombres premiers jusqu’à 6 000 000, il fait la conjecture qu’il y a toujours au moins un nombre premier entre nn et 2n2n pour tout entier nn supérieur ou égal à 2.2. Il est aussi à l’origine de la traduction de travaux de Gauss en probabilités. En 1889, dans Calcul des probabilités, il énonce ce problème et y propose plusieurs réponses. Le problème soulevé par ce paradoxe réside dans la formulation trop peu rigoureuse de la question.

PARTIE 1 ☆☆

Voir les réponses
On place les deux extrémités de la corde au hasard sur le cercle. Vu que cela ne change pas le problème, on va supposer que l’une des extrémités est sur l’un des sommets du triangle ABC.\text{ABC}.

Le paradoxe de la corde de Bertrand - Travailler ensemble - Probabilités et échantillonnage


1. Où doit se trouver le point M\text{M} pour que la corde soit plus longue qu’un côté du triangle ABC?\text{ABC} \: ?

2. Quelle est alors la probabilité que la corde soit plus longue que le côté du triangle ABC?\text{ABC} \: ?

PARTIE 3 ★★★

Voir les réponses
Soit un point T\text{T} choisi au hasard à l’intérieur du disque. On considère la corde dont ce point est le milieu. Pour construire la corde, on trace le rayon passant par T. \text{T}. La corde est la perpendiculaire à (OT)(\text{OT}) passant par T. \text{T}.

Le paradoxe de la corde de Bertrand - Travailler ensemble - Probabilités et échantillonnage


1. Quelle doit être la position du point T\text{T} pour que la corde soit plus longue qu’un côté du triangle ABC? \text{ABC} \: ? Pour conjecturer, on peut se rapporter au cas où T\text{T} est sur un rayon perpendiculaire à un côté du triangle.

2. On note rr le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. \text{ABC}. Exprimer en fonction de rr l’aire du cercle circonscrit au triangle ABC \text{ABC} et celle du cercle inscrit dans le triangle ABC. \text{ABC}.


Aide

Un cercle inscrit dans un triangle est un cercle auquel les côtés du triangle sont tangents. Son rayon est égal à la moitié de celui du cercle circonscrit.

3. En déduire la probabilité que la corde soit plus longue que le côté du triangle ABC. \text{ABC}.

PARTIE 2 ★★

Voir les réponses
On choisit au hasard un rayon sur le cercle et une corde perpendiculaire à ce rayon. Vu que cela ne change pas le problème, on va supposer que le rayon est perpendiculaire à un côté du triangle ABC.\text{ABC}.

Le paradoxe de la corde de Bertrand - Travailler ensemble - Probabilités et échantillonnage


1. Où doit se trouver l’intersection de (MN)(\text{MN}) et (OP)(\text{OP}) pour avoir MN>BC?\text{MN} \gt \text{BC} \: ?

2. On admet que OA=2×OH.\text{OA} = 2 \times \text{OH}. Montrer que H\text{H} est le milieu de [OP].[\text{OP}].

3. Quelle est alors la probabilité que la corde soit plus longue que le côté du triangle ABC?\text{ABC} \: ?
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?