Chapitre 7


Colinéarité de vecteurs




Avant de commencer

Prérequis

1. Caractériser un vecteur et l’égalité de deux vecteurs.
2. Construire la somme de deux vecteurs.
3. Placer un vecteur et lire ses coordonnées.
4. Calculer les coordonnées d’un vecteur somme.
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3
Construire une somme de vecteurs

1. Placer 3 points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} non alignés.
2. Construire les points E,\text{E,} F,\text{F,} G\text{G} et H\text{H} tels que :
  • AE=BC\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}
  • BF=BC+AC\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}
  • CG=AB+CB\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}
  • HA=FG+AC\overrightarrow{\mathrm{HA}}=\overrightarrow{\mathrm{FG}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}

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1
Utiliser une translation

 Utiliser une translation, Colinéarité de vecteurs
1. Déterminer l’image de G\text{G} par la translation de vecteur ID.\overrightarrow{\mathrm{ID}}.

2. Déterminer des vecteurs égaux au vecteur FG.\overrightarrow{\mathrm{FG}}.
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5
Tracer un vecteur

Soient A(3;1),\text{A}(3\: ; - 1), B(2;3)\text{B}(-2\: ; 3) et C(4;2)\text{C}(4 \:; 2) trois points dans un repère.
1. Tracer un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) et placer les points A,\text{A}, B\text{B} et C.\text{C}.
2. Tracer les vecteurs AD\overrightarrow{\mathrm{AD}} de coordonnées (3;2),BE(-3\:; 2), \overrightarrow{\mathrm{BE}} de coordonnées (4;2)(4 \:;-2) et CF\overrightarrow{\mathrm{CF}} de coordonnées (5;3).(-5 \:;-3).

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2
Utiliser les propriétés du parallélogramme

ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme.
1. Citer deux vecteurs égaux puis deux autres.

2. Écrire le vecteur AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} comme somme de deux vecteurs. Trouver une autre somme de deux vecteurs qui convient également.

3. Donner un vecteur opposé au vecteur DA+DC.\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}.

4. Calculer AB+BC+CD+DA.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}.
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7
Problème

Soient A(3;1),\mathrm{A}(-3 \:;-1), B(2;2)\mathrm{B}(2\: ;-2) et C(6;1)\mathrm{C}(6\: ; 1) trois points dans un repère (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
1. Calculer les coordonnées de BA+BC.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.

2. Déterminer les coordonnées de D\text{D} telles que BD=BA+BC.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.

3. Calculer les coordonnées de E\text{E} telles que BA=AE.\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}.

4. Quelle est la nature du quadrilatère AEDC\text{AEDC} ? Justifier.
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6
Calculer des coordonnées de vecteurs

On considère quatre points F(4;2),\mathrm{F}(4 \:;-2), G(2;5),\mathrm{G}(-2\: ; 5), H(3;4)\mathrm{H}(3\: ;-4) et K(7;5)\mathrm{K}(7\: ;-5) dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs FG\overrightarrow{\mathrm{FG}} GH,HK\overrightarrow{\mathrm{GH}}, \overrightarrow{\mathrm{HK}} et KF.\overrightarrow{\mathrm{KF}}.

2. Déterminer de deux façons différentes les coordonnées du vecteur FG+GH.\overrightarrow{\mathrm{FG}}+\overrightarrow{\mathrm{GH}}.

Anecdote

Le déterminant de Vandermonde n’apparaît nulle part dans l’oeuvre de Vandermonde. Selon Lebesgue (1937), « Le nom de Vandermonde serait ignoré de l’immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui n’est pas de lui ! »
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4
Lire des coordonnées de vecteurs

Lire les coordonnées des vecteurs a,b,c,i,j,u,v\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{i}, \vec{j}, \vec{u}, \vec{v} et w\vec{w} dans ce repère (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).

Lire des coordonnées de vecteurs, colinéarité de vecteurs



Lors du décollage d’une fusée, des forces considérables entrent en jeu. De plus, les trajectoires de divers objets stellaires doivent également être prises en compte. Les vecteurs nous permettent, non seulement de représenter ces forces, mais aussi de nous aider dans la modélisation de trajectoires.

Décollage d’une fusée, colinéarité de vecteurs

Capacités attendues - chapitre 7

1. Déterminer les coordonnées d’un point défini vectoriellement.
2. Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires.
3. Utiliser la colinéarité de vecteurs pour démontrer un alignement de points ou le parallélisme de droites.
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