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Activités
P.196-197

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Activités




A
Trajets en TGV



Objectif
Découvrir le produit d’un vecteur par un réel.


Mila est conductrice de train. Elle effectue des trajets sur la ligne Nantes Saint-Pierre-des-Corps. Voici une représentation de la ligne qu’elle emprunte.

Colinéarité de vecteurs

On donne les distances suivantes :
  • Ancenis-Angers : 50 km ;
  • Ancenis-Saumur : 110 km ;
  • Saumur-Tours : 60 km ;
  • Tours-Saint-Pierre-des-Corps : 5 km.
On souhaite modéliser le trajet sur une seule droite

1
On représente Saumur par le point sur l’axe ci-dessous ainsi que le vecteur d’origine et de norme 10 km. Placer sur cet axe Ancenis (représenté par le point Angers Tours et Saint-Pierre-des-Corps
Trajets en TGV

2
On souhaite comparer certains vecteurs avec le vecteur unitaire
a) Que peut-on dire des vecteurs et ? Que peut-on dire des vecteurs et

b) Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels positifs :



c) Expliquer pourquoi

d) Justifier alors la notation

e) Trouver le réel tel que


3
a) Que peut-on dire des vecteurs et ? Que peut-on dire des vecteurs et ?

b) Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels positifs :



c) Peut-on dire que Pourquoi ?

d) Trouver les deux réels et tels que et
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AIDE

2
a)
3
a) On peut parler ici du sens, de la direction et de la norme des vecteurs.

Train TGV
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Bilan
Soient et quatre points du plan et un nombre réel tel que Que peut-on dire des vecteurs et ?

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B
Construction d’un tunnel autoroutier



Objectif
Caractériser le parallélisme de deux droites.


Un double tunnel autoroutier rectiligne doit être creusé sous une montagne. Pour être sûr que les deux voies seront bien parallèles, le constructeur décide de creuser sur quelques mètres et d’étudier le début de ces trajectoires.

Tunnel

AIDE

1
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il existe plusieurs méthodes : longueur des côtés, parallélisme, milieu des diagonales, etc.

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Partie 1 : étude préliminaire

1
Dans un repère orthonormé, on considère les quatre points suivants : et
a) Le quadrilatère est-il un parallélogramme ? Justifier.

b) Les vecteurs et ont-ils la même direction ? Sont-ils colinéaires ?


2
Dans le même repère orthonormé, on considère les quatre points suivants : et
a) Le quadrilatère est-il un parallélogramme ? Justifier.

b) Les vecteurs et ont-ils la même direction ? Sont-ils colinéaires ?


3
On appelle déterminant de et le nombre réel défini par
a) Calculer

b) Calculer

c) Que peut-on conjecturer ?


4
On suppose que les vecteurs et sont tels que et sont tous différents de
a) Sachant que démontrer que les coordonnées de et sont proportionnelles.

b) Que peut-on en déduire pour et
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LOGIQUE


4
Quelle équivalence peut-on conjecturer à partir des questions
3
et
4
?

6
Le quadrilatère n’est pas un parallélogramme mais cela ne veut pas dire que les droites et ne sont pas parallèles.

Colinéarité de vecteurs
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Partie 2 : retour dans le tunnel

Grâce à des données GPS, nous avons pu modéliser le début du forage du tunnel dans le repère orthonormé suivant.

5
Lire les coordonnées des quatre points du repère.


6
En utilisant un déterminant de vecteurs, déterminer si les droites et sont parallèles. Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
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Bilan
Quel lien peut-on faire entre le déterminant de vecteurs et le parallélisme de droites ?

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