Colinéarité de vecteurs

On donne les distances suivantes :

• Ancenis-Angers : 50 km ;
• Ancenis-Saumur : 110 km ;
• Saumur-Tours : 60 km ;
• Tours-Saint-Pierre-des-Corps : 5 km.

On souhaite modéliser le trajet sur une seule droite

On représente Saumur par le point $\text{S}$ sur l'axe ci-dessous ainsi que le vecteur $\overrightarrow{u}$ d'origine $\text{S}$ et de norme 10 km. Placer sur cet axe Ancenis (représenté par le point $\text{A}),$ Angers $(\text{G}),$ Tours $(\text{T})$ et Saint-Pierre-des-Corps $(\text{P}).$ On souhaite comparer certains vecteurs avec le vecteur unitaire $\overrightarrow{u}.$ a) Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\text{ST}$ ? Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\text{TP}?$

Aide

On peut parler ici du sens, de la direction et de la norme des vecteurs.

b) Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels positifs :
$\Vert \overrightarrow{\mathrm{ST}}\Vert =\dots \times \Vert \overrightarrow{u}\Vert$
$\Vert \overrightarrow{\mathrm{TP}}\Vert =\dots \times \Vert \overrightarrow{u}\Vert$

c) Expliquer pourquoi $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}.$

d) Justifier alors la notation $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=6\overrightarrow{u}.$

e) Trouver le réel $k$ tel que$\overrightarrow{\mathrm{TP}}=k\overrightarrow{u}.$

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a) Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\text{SG}}$ ? Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\text{GA}}$ ?

Aide

On peut parler ici du sens, de la direction et de la norme des vecteurs.

b) Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels positifs :
$\Vert \overrightarrow{\mathrm{SG}}\Vert =\dots \times \Vert \overrightarrow{u}\Vert$
$\Vert \overrightarrow{\mathrm{GA}}\Vert =\dots \times \Vert \overrightarrow{u}\Vert$

c) Peut-on dire que $\overrightarrow{\mathrm{SG}}=6\overrightarrow{u}?$ Pourquoi ?

d) Trouver les deux réels $k_1$ et $k_2$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{SG}}=k_1\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GA}}=k_2\overrightarrow{u}.$

Un double tunnel autoroutier rectiligne doit être creusé sous une montagne. Pour être sûr que les deux voies seront bien parallèles, le constructeur décide de creuser sur quelques mètres et d'étudier le début de ces trajectoires.

Dans un repère orthonormé, on considère les quatre points suivants : $\mathrm{A}(1;2),$ $\mathrm{B}(5;4),$ $\mathrm{C}(4;-1)$ et $\mathrm{D}(7;1).$ a) Le quadrilatère $\text{ABDC}$ est-il un parallélogramme ? Justifier.

Aide

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il existe plusieurs méthodes : longueur des côtés, parallélisme, milieu des diagonales, etc.

b) Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ ont-ils la même direction ? Sont-ils colinéaires ?

Dans le même repère orthonormé, on considère les quatre points suivants : $\mathrm{E}(-1;3),$ $\mathrm{F}(3;2),$ $\mathrm{G}(-2;0)$ et $\mathrm{H}(2;-1).$
a) Le quadrilatère $\text{EFGH}$ est-il un parallélogramme ? Justifier.

b) Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ ont-ils la même direction ? Sont-ils colinéaires ?

On appelle déterminant de $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ le nombre réel défini par $\det (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=x\times y^{\prime }-y\times x^{\prime }.$
a) Calculer $\det (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{CD}}).$

b) Calculer $\det (\overrightarrow{\mathrm{EF}};\overrightarrow{\mathrm{GH}}).$

c) Que peut-on conjecturer ?

On suppose que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont tels que $x,$ $y,$ $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ sont tous différents de $0.$ a) Sachant que $\det (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0,$ démontrer que les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont proportionnelles.

b) Que peut-on en déduire pour $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}.$

Grâce à des données GPS, nous avons pu modéliser le début du forage du tunnel dans le repère orthonormé suivant.

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Lire les coordonnées des quatre points du repère.

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En utilisant un déterminant de vecteurs, déterminer si les droites $\left({\mathrm{E}}_1{\mathrm{S}}_1\right)$ et $\left({\mathrm{E}}_2{\mathrm{S}}_2\right)$ sont parallèles. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

Logique

Le quadrilatère ${\mathrm{E}}_1{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2{\mathrm{E}}_2$ n'est pas un parallélogramme mais cela ne veut pas dire que les droites $\left({\mathrm{E}}_1{\mathrm{S}}_1\right)$ et $\left({\mathrm{E}}_2{\mathrm{S}}_2\right)$ ne sont pas parallèles.