Activités




B
Construction d’un tunnel autoroutier


LOGIQUE


4
Quelle équivalence peut-on conjecturer à partir des questions
3
et
4
?

6
Le quadrilatère E1S1S2E2\mathrm{E}_{1} \mathrm{S}_{1} \mathrm{S}_{2} \mathrm{E}_{2} n’est pas un parallélogramme mais cela ne veut pas dire que les droites (E1S1)\left(\mathrm{E}_{1} \mathrm{S}_{1}\right) et (E2S2)\left(\mathrm{E}_{2} \mathrm{S}_{2}\right) ne sont pas parallèles.

Un double tunnel autoroutier rectiligne doit être creusé sous une montagne. Pour être sûr que les deux voies seront bien parallèles, le constructeur décide de creuser sur quelques mètres et d’étudier le début de ces trajectoires.

AIDE

1
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il existe plusieurs méthodes : longueur des côtés, parallélisme, milieu des diagonales, etc.

Colinéarité de vecteurs


Objectif
Caractériser le parallélisme de deux droites.

Voir les réponses

Partie 2 : retour dans le tunnel

Grâce à des données GPS, nous avons pu modéliser le début du forage du tunnel dans le repère orthonormé suivant.

5
Lire les coordonnées des quatre points du repère.


6
En utilisant un déterminant de vecteurs, déterminer si les droites (E1S1)\left(\mathrm{E}_{1} \mathrm{S}_{1}\right) et (E2S2)\left(\mathrm{E}_{2} \mathrm{S}_{2}\right) sont parallèles. Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.

Voir les réponses

Partie 1 : étude préliminaire

1
Dans un repère orthonormé, on considère les quatre points suivants : A(1;2),\mathrm{A}(1\: ; 2), B(5;4),\mathrm{B}(5\: ; 4), C(4;1)\mathrm{C}(4\: ;-1) et D(7;1).\mathrm{D}(7\: ; 1).
a) Le quadrilatère ABDC\text{ABDC} est-il un parallélogramme ? Justifier.

b) Les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} ont-ils la même direction ? Sont-ils colinéaires ?


2
Dans le même repère orthonormé, on considère les quatre points suivants : E(1;3),\mathrm{E}(-1 \:; 3), F(3;2),\mathrm{F}(3 \:; 2), G(2;0)\mathrm{G}(-2\: ; 0) et H(2;1).\mathrm{H}(2 \:;-1).
a) Le quadrilatère EFGH\text{EFGH} est-il un parallélogramme ? Justifier.

b) Les vecteurs EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} ont-ils la même direction ? Sont-ils colinéaires ?


3
On appelle déterminant de u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} et v(xy)\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix} le nombre réel défini par det(u;v)=x×yy×x.\operatorname{det}(\vec{u}\: ; \vec{v})=x \times y^{\prime}-y \times x^{\prime}.
a) Calculer det(AB;CD).\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}}).

b) Calculer det(EF;GH).\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{GH}}).

c) Que peut-on conjecturer ?


4
On suppose que les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont tels que x,x , y,y , xx' et yy' sont tous différents de 0.0.
a) Sachant que det(u;v)=0,\operatorname{det}(\vec{u}\: ; \vec{v})=0, démontrer que les coordonnées de u\vec{u} et v\vec{v} sont proportionnelles.

b) Que peut-on en déduire pour u\vec{u} et v.\vec{v}.

Tunnel
Voir les réponses


Bilan
Quel lien peut-on faire entre le déterminant de vecteurs et le parallélisme de droites ?

A
Trajets en TGV



Objectif
Découvrir le produit d’un vecteur par un réel.


1
On représente Saumur par le point S\text{S} sur l’axe ci-dessous ainsi que le vecteur u\vec{u} d’origine S\text{S} et de norme 10 km. Placer sur cet axe Ancenis (représenté par le point A),\text{A}), Angers (G),(\text{G}), Tours (T)(\text{T}) et Saint-Pierre-des-Corps (P).(\text{P}).
MAT2_CH7_p196_2

AIDE

2
a)
3
a) On peut parler ici du sens, de la direction et de la norme des vecteurs.
Voir les réponses


Bilan
Soient A,B,C\text{A} , \text{B} , \text{C} et D\text{D} quatre points du plan et λ\lambda un nombre réel tel que AB=λCD.\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{CD}}. Que peut-on dire des vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}} et CD\overrightarrow{\text{CD}} ?


2
On souhaite comparer certains vecteurs avec le vecteur unitaire u.\vec{u}.
a) Que peut-on dire des vecteurs u\vec{u} et ST\text{ST} ? Que peut-on dire des vecteurs u\vec{u} et TP?\text{TP} \: ?

b) Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels positifs :
ST=×u\|\overrightarrow{\mathrm{ST}}\|=\ldots \times\|\vec{u}\|
TP=×u\|\overrightarrow{\mathrm{TP}}\|=\ldots \times\|\vec{u}\|

c) Expliquer pourquoi ST=u+u+u+u+u+u.\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}+\vec{u}.

d) Justifier alors la notation ST=6u.\overrightarrow{\mathrm{ST}}=6 \vec{u}.

e) Trouver le réel kk tel queTP=ku.\overrightarrow{\mathrm{TP}}=k \vec{u}.


3
a) Que peut-on dire des vecteurs u\vec{u} et SG\overrightarrow{\text{SG}} ? Que peut-on dire des vecteurs u\vec{u} et GA\overrightarrow{\text{GA}} ?

b) Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels positifs :
SG=×u\|\overrightarrow{\mathrm{SG}}\|=\ldots \times\|\vec{u}\|
GA=×u\|\overrightarrow{\mathrm{GA}}\|=\ldots \times\|\vec{u}\|

c) Peut-on dire que SG=6u?\overrightarrow{\mathrm{SG}}=6 \vec{u} \: ? Pourquoi ?

d) Trouver les deux réels k1k_1 et k2k_2 tels que SG=k1u\overrightarrow{\mathrm{SG}}=k_{1} \vec{u} et GA=k2u.\overrightarrow{\mathrm{GA}}=k_{2} \vec{u}.

Train TGV

Mila est conductrice de train. Elle effectue des trajets sur la ligne Nantes \leftrightarrow Saint-Pierre-des-Corps. Voici une représentation de la ligne qu’elle emprunte.

Colinéarité de vecteurs

On donne les distances suivantes :
  • Ancenis-Angers : 50 km ;
  • Ancenis-Saumur : 110 km ;
  • Saumur-Tours : 60 km ;
  • Tours-Saint-Pierre-des-Corps : 5 km.
On souhaite modéliser le trajet sur une seule droite
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