COURS 1


1
Colinéarité de vecteurs




Dans ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).

Application et méthode


Méthode

1. Calculer les coordonnées des vecteurs dont les extrémités sont connues.

2. Si on ne connaît pas le point D,\text{D}, on appelle xDx_\text{D} et yDy_\text{D} ses coordonnées.

3. Les coordonnées des autres vecteurs doivent être exprimées en fonction des coordonnées recherchées.

4. Écrire les équations à partir de l’égalité vectorielle de l’énoncé.

5. Résoudre.

SOLUTION

Les coordonnées de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} sont :
xBxA=13=4x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=-1-3=-4 et yByA=85=3,y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=8-5=3, donc AB(43).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-4} \\ {3}\end{pmatrix}.
Celles de CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} sont CD(xD2yD+4).\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{D}}-2} \\ {y_{\mathrm{D}}+4}\end{pmatrix}.
On a alors : xD2=3×(4)x_{\mathrm{D}}-2=3 \times(-4) et yD+4=3×3.y_{\mathrm{D}}+4=3 \times 3.
D'où : xD=10x_{\mathrm{D}}=-10 et yD=5.y_{\mathrm{D}}=5.

Pour s'entraîner : exercices 23 p. 207 ; 41 et 42 p. 208

Énoncé

Soient A(3;5),\mathrm{A}(3 \:; 5), B(1;8)\mathrm{B}(-1\: ; 8) et C(2;4)\mathrm{C}(2 \:;-4) trois points dans un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées du point D(xD;yD)\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\: ; y_{\mathrm{D}}\right) telles que CD=3AB.\overrightarrow{\mathrm{CD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

B
Colinéarité de vecteurs


Définitions

  • Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} non nuls sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre réel λ\lambda non nul tel que u=λv.\vec{u} = \lambda \vec{v}.
  • L’homothétie de centre A\text{A} et de rapport λ0 \lambda \neq 0 transforme le point M\text{M} en M\text{M}' tel que AM=λAM.\overrightarrow{\mathrm{AM}^{\prime}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AM}}.
  • Remarque

    Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

    DÉMONSTRATION

    Soient deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} de coordonnées respectives u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix}{ x} \\ { y}\end{pmatrix} et v(xy).\vec{v}\begin{pmatrix}{ x'} \\ { y'}\end{pmatrix}.
    u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe λR\lambda \in \mathbb{R} tel que u=λv(xy)=(λ×xλ×y)\vec{u}=\lambda \vec{v} \Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\lambda \times x^{\prime}} \\ {\lambda \times y^{\prime}}\end{pmatrix} \Leftrightarrow les coordonnées de u\vec{u} et v\vec{v} sont proportionnelles.

    Propriété

    Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} non nuls sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

    LOGIQUE

    « Il existe un nombre λ\lambda » signifie qu’il suffit de trouver un seul nombre réel appelé λ\lambda qui vérifie la suite de la phrase.

    A
    Produit d’un vecteur par un réel


    Propriétés

    Soient λ\lambda un nombre réel et u\vec{u} un vecteur de coordonnées u(xy).\vec{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix}.
    Les coordonnées de λu\lambda \vec{u} sont (λxλy)\begin{pmatrix}{\lambda x} \\ {\lambda y}\end{pmatrix} et :
  • si λ>0,\lambda > 0, alors u \vec{u} et λu\lambda \vec{u} sont de même direction, de même sens et λu=λu;\|\lambda \vec{u}\|=\lambda\|\vec{u}\| \: ;
  • si λ<0,\lambda \lt 0, alors u \vec{u} et λu\lambda \vec{u} sont de même direction, de sens contraire et λu=λu;\|\lambda \vec{u}\|=-\lambda\|\vec{u}\| \: ;
  • si λ=0,\lambda = 0, alors λu \lambda\vec{u} est le vecteur nul.

  • DÉMONSTRATION

    Dans le repère (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on peut écrire :
    λu=λ(xi+yj)=λxi+λyj.\lambda \vec{u}=\lambda(x \vec{i}+y \vec{j})=\lambda x \vec{i}+\lambda y \vec{j}.
    Les coordonnées de λu\lambda \vec{u} sont donc (λxλy).\begin{pmatrix}{\lambda x} \\ {\lambda y}\end{pmatrix}.
    Si u\vec{u} est un vecteur directeur d’une droite d,d, alors λu\lambda \vec{u} aussi. Donc u \vec{u} et λu\lambda \vec{u} sont de même direction.

    λu=(λx)2+(λy)2\|\lambda \vec{u}\|=\sqrt{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}
    =λ2(x2+y2)=\sqrt{\lambda^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}
    =λ2×(x2+y2)=\sqrt{\lambda^{2}} \times \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}
    =λ×u=|\lambda| \times\|\vec{u}\|
    d’où les différents cas énoncés en fonction du signe de λ.\lambda.

    NOTATION

    Les coordonnées d’un vecteur peuvent s’écrire en ligne (x;y)(x\: ; y) ou en colonne (xy).\begin{pmatrix}{ x} \\ { y}\end{pmatrix}.

    LOGIQUE

    λu=0\lambda \vec{u}=\overrightarrow{0} équivaut à λ=0\lambda =0 ou u=0. \vec{u}=\overrightarrow{0}.

    Remarque

    Pour tous réels kk et k:k' :
  • k(u+v)=ku+kvk(\vec{u}+\vec{v})=k \vec{u}+k \vec{v}
  • (k+k)u=ku+ku\left(k+k^{\prime}\right) \vec{u}=k \vec{u}+k^{\prime} \vec{u}
  • k(ku)=(kk)u.k\left(k^{\prime} \vec{u}\right)=\left(k k^{\prime}\right) \vec{u}.

  • Exemple

    Soit u\vec{u} le vecteur de coordonnées (53).\begin{pmatrix}{5} \\ {-3}\end{pmatrix}.
    v=2u\vec{v}=-2 \vec{u} a pour coordonnées : (2×52×3)\begin{pmatrix}{-2 \times 5} \\ { -2 \times -3}\end{pmatrix} soit (106).\begin{pmatrix}{-10} \\ { 6}\end{pmatrix}.
    u\vec{u} et v\vec{v} sont de même direction mais de sens contraire : on a 2u=v=2×u=2u.\|-2 \vec{u}\|=\|\vec{v}\|=|-2| \times\|\vec{u}\|=2\|\vec{u}\|.

    Application et méthode


    SOLUTION

    Les coordonnées de KL\overrightarrow{\mathrm{KL}} sont (3(6)53)\begin{pmatrix}{3-(-6)} \\ {5-3}\end{pmatrix} soit (92)\begin{pmatrix}{9} \\ {2}\end{pmatrix} et celles de MN\overrightarrow{\mathrm{MN}} sont (14(4)1(5))\begin{pmatrix}{14-(-4)} \\ {-1-(-5)}\end{pmatrix} soit (184).\begin{pmatrix}{18} \\ {4}\end{pmatrix}.
    On a donc MN=2KL:\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2 \overrightarrow{\mathrm{KL}} : les vecteurs MN\overrightarrow{\mathrm{MN}} et KL\overrightarrow{\mathrm{KL}} sont colinéaires.

    Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 207 ; 47 et 48 p. 208

    Méthode

    1. Calculer les coordonnées des vecteurs étudiés.

    2. Étudier la proportionnalité des coordonnées.

    3. Conclure en donnant éventuellement une égalité vectorielle.

    Énoncé

    Soient K(6;3),\mathrm{K}(-6 \:; 3), L(3;5),\mathrm{L}(3 \:; 5), M(4;5)\mathrm{M}(-4 \:;-5) et N(14;1)\mathrm{N}(14 \:;-1) quatre points dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
    Les vecteurs KL\overrightarrow{\mathrm{KL}} et MN\overrightarrow{\mathrm{MN}} sont-ils colinéaires ? Justifier.
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