Colinéarité de vecteurs

$\lambda \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ équivaut à $\lambda =0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}.$

Pour tous réels $k$ et $k^{\prime }:$

$k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$

$\left(k+k^{\prime }\right)\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}+k^{\prime }\overrightarrow{u}$

$k\left(k^{\prime }\overrightarrow{u}\right)=\left(k{k}^{\prime }\right)\overrightarrow{u}.$

Déplacer le curseur pour modifier la valeur du réel par lequel le vecteur $\overrightarrow{u}$ est multiplié.

Soit $\overrightarrow{u}$ le vecteur de coordonnées $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\end{array}\right).$
$\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées : $\left(\begin{array}{c}-2\times 5\\ -2\times -3\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\end{array}\right).$
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de même direction mais de sens contraire : on a $\Vert -2\overrightarrow{u}\Vert =\Vert \overrightarrow{v}\Vert =|-2|\times \Vert \overrightarrow{u}\Vert =2\Vert \overrightarrow{u}\Vert .$

Soient $\mathrm{A}(3;5),$ $\mathrm{B}(-1;8)$ et $\mathrm{C}(2;-4)$ trois points dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ Déterminer les coordonnées du point $\mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}};y_{\mathrm{D}}\right)$ telles que $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$

Les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ sont :
$x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=-1-3=-4$ et $y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=8-5=3,$ donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right).$
Celles de $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{D}}-2\\ y_{\mathrm{D}}+4\end{array}\right).$
On a alors : $x_{\mathrm{D}}-2=3\times (-4)$ et $y_{\mathrm{D}}+4=3\times 3.$
D'où : $x_{\mathrm{D}}=-10$ et $y_{\mathrm{D}}=5.$


Exercices

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p. 207 ;

41

et

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p. 208

1. Calculer les coordonnées des vecteurs dont les extrémités sont connues.

2. Si on ne connaît pas le point $\text{D},$ on appelle $x_{\text{D}}$ et $y_{\text{D}}$ ses coordonnées.

3. Les coordonnées des autres vecteurs doivent être exprimées en fonction des coordonnées recherchées.

4. Écrire les équations à partir de l'égalité vectorielle de l'énoncé.

5. Résoudre.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires $\iff$ il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\iff \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \times x^{\prime }\\ \lambda \times y^{\prime }\end{array}\right)\iff$ les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont proportionnelles.

« Il existe un nombre $\lambda$ » signifie qu'il suffit de trouver un seul nombre réel appelé $\lambda$ qui vérifie la suite de la phrase.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs étudiés.

2. Étudier la proportionnalité des coordonnées.

3. Conclure en donnant éventuellement une égalité vectorielle.

Les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$ sont $\left(\begin{array}{c}3-(-6)\\ 5-3\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)$ et celles de $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ sont $\left(\begin{array}{c}14-(-4)\\ -1-(-5)\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}18\\ 4\end{array}\right).$
On a donc $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{KL}}:$ les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$ sont colinéaires.

Exercices

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et

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p. 207;

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et

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p. 208