Entrainement 1


Colinéarité des vecteurs





53
[Calculer.]
Soient R(3;1),\mathrm{R}(3\: ;-1), S(2;4)\mathrm{S}(2\: ; 4) et T(3;2)\mathrm{T}(-3 \:; -2) trois points dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées de U\text{U} telles que US=5RT2ST.\overrightarrow{\mathrm{US}}=5 \overrightarrow{\mathrm{RT}}-2 \overrightarrow{\mathrm{ST}}.

50
[Calculer.]
Soient A(4;2),\mathrm{A}(4\: ;-2), B(2;1)\mathrm{B}(-2\: ; 1) et C(1;6)\mathrm{C}(-1 \:; 6) trois points dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). Soit D\text{D} le point de coordonnées (xD;yD)\left(x_{\mathrm{D}} \:; y_{\mathrm{D}}\right) tel que CD=3AB.\overrightarrow{\mathrm{CD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Déterminer les coordonnées de D.\text{D}.

61
[Chercher.] ◉◉
Les vecteurs u,v,w,k,r\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{k}, \vec{r} et s\vec{s} sont représentés dans le repère ci-dessous.

Colinéarité de vecteurs

1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs u,v,w,k,r\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{k}, \vec{r} et s.\vec{s}.

2. Quels vecteurs sont colinéaires ? Déterminer la relation liant ces vecteurs.

62
[Chercher.] ◉◉
Soient m\vec{m} et n\vec{n} deux vecteurs du plan.
Les vecteurs 12m+4n-12 \vec{m}+4 \vec{n} et 9m3n9 \vec{m}-3 \vec{n} sont-ils colinéaires ?

52
[Calculer.]
Soient K(2;3),\mathrm{K}(2\: ;-3), L(5;2),\mathrm{L}(5\: ; 2), M(3;1)\mathrm{M}(-3 \:; 1) et N(2;6)\mathrm{N}(-2 \:; 6) quatre points dans un repère (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées de P\text{P} telles que KP=KL+2MN3LN.\overrightarrow{\mathrm{KP}}=\overrightarrow{\mathrm{KL}}+2 \overrightarrow{\mathrm{MN}}-3 \overrightarrow{\mathrm{LN}}.

44
[Représenter.] ◉◉
1. Soient A,O\text{A}, \text{O} et N\text{N} trois pointsdu plan alignés comme sur la figure ci-dessous. Écrire une phrase incluant ces trois points et le mot « homothétie ».

Colinéarité de vecteurs


2. Construire le point B\text{B} tel que AB=2ON\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{ON}} et le point C\text{C} tel que BC=3ON.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{ON}}.

Colinéarité de vecteurs

58
[Calculer.]
Recopier et compléter les égalités suivantes.
1. 3BC+3CD=3(+)=3 \overrightarrow{\mathrm{BC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CD}}=3(\vec{\ldots}+\vec{\ldots})=\vec{\ldots}

2. 5MP3MS=5(R+)3(+K)5 \overrightarrow{\mathrm{MP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{MS}}=5(\overrightarrow{\ldots \mathrm{R}}+\vec{\ldots})-3(\vec{\ldots}+\overrightarrow{\mathrm{K} \ldots})

48
[Calculer.]
Soient K(2;3),\mathrm{K}(-2\: ; 3), L(52;43),\mathrm{L}\left(\dfrac{5}{2}\: ; \dfrac{4}{3}\right), M(174;1)\mathrm{M}\left(-\dfrac{17}{4}\: ; 1\right) et N(194;73)\mathrm{N}\left(\dfrac{19}{4}\: ;-\dfrac{7}{3}\right) quatre points du plan.
1. Les coordonnées de KL\overrightarrow{\mathrm{KL}} et MN\overrightarrow{\mathrm{MN}} sont-elles proportionnelles ?

2. Que peut-on en déduire pour les droites (KL)(\mathrm{KL}) et (MN)(\mathrm{MN}) ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 42 ; 46 ; 61 ; 64 et 68
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 62 ; 67 ; 69 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 60 ; 73 ; 75 ; 78 et 80

42
[Représenter.] ◉◉
Construire les points C\text{C} et D\text{D} tels que RC=14u\overrightarrow{\mathrm{RC}}=\dfrac{1}{4} \vec{u} et DR=32u.\overrightarrow{\mathrm{DR}}=-\dfrac{3}{2} \vec{u}.

Colinéarité des vecteurs

54
[Calculer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). hh est l’homothétie de centre A(4;3)\mathrm{A}(4\: ;-3) et de rapport 3.3. Soient B(2;1)\mathrm{B}(2\: ;-1) et C(0;4)\mathrm{C}(0\: ;-4) deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur BC,\overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{C}'}, image de BC\overrightarrow{\mathrm{BC}} par l’homothétie h.h.

2. Déterminer les coordonnées de B.\text{B}'.

3. Donner deux méthodes pour calculer les coordonnées de C\text{C}' (sans faire les calculs).

63
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer le nombre réel aa tel que u\vec{u} et v\vec{v} soient colinéaires.
1. u(58)\vec{u}\begin{pmatrix}{5} \\ {-8}\end{pmatrix} et v(a25)\vec{v}\begin{pmatrix}{a} \\ {25}\end{pmatrix}

2. u(35712)\vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{3}{5}} \\ {\dfrac{-7}{12}}\end{pmatrix} et v(27a)\vec{v}\begin{pmatrix}{\dfrac{-2}{7}} \\ {a}\end{pmatrix}

3. u(3416)\vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{3}{4}} \\ {\dfrac{1}{6}}\end{pmatrix} et v(a23)\vec{v}\begin{pmatrix}{a} \\ {\dfrac{-2}{3}}\end{pmatrix}

4. u(73)\vec{u}\begin{pmatrix}{7} \\ {3}\end{pmatrix} et v(2a+53a+2)\vec{v}\begin{pmatrix}{2a+5} \\ {-3a+2}\end{pmatrix}

46
[Calculer.] ◉◉
Soient V(2;4),W(9;4)\mathrm{V}(2 \:;-4), \mathrm{W}(9\: ; 4) et F(12;35)\mathrm{F}\left(\dfrac{1}{2} \:; \dfrac{3}{5}\right) trois points dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Calculer les coordonnées de VW,\overrightarrow{\mathrm{VW}}, VF,\overrightarrow{\mathrm{VF}}, 3VW3 \overrightarrow{\mathrm{VW}} et 5VW2VF.5 \overrightarrow{\mathrm{VW}}-2 \overrightarrow{\mathrm{VF}}.

55
[Calculer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). hh est l’homothétie de centre S(1;6)\mathrm{S}(-1\: ;6) et de rapport 12.-\dfrac{1}{2}. T(4;5)\mathrm{T}(4\: ;5) et U(8;16)\mathrm{U}(-8\: ;16) sont deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur TU,\overrightarrow{\mathrm{T}' \mathrm{U}'}, image de TU\overrightarrow{\mathrm{TU}} par l’homothétie h.h.

2. Déterminer les coordonnées de T.\text{T}'.

3. Donner deux méthodes pour calculer celles de U\text{U}' (sans faire les calculs).

51
[Calculer.]
Soient R(2;6),\mathrm{R}(-2\: ;6), S(7;3)\mathrm{S}(7\: ; 3) et T(1;6)\mathrm{T}(-1 \:; 6) trois points dans un repère (O;i,j)(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}) et U\text{U} le point tel que RU=52ST.\overrightarrow{\mathrm{RU}}=-\dfrac{5}{2} \overrightarrow{\mathrm{ST}}.
Déterminer les coordonnées de U.\text{U}.

43
[Chercher.]
Le pavage ci-dessous est un pavage pajarita. On peut l’observer dans les mosaïques du palais de l’Alhambra à Grenade.

Pavage pajarita
Colinéarité de vecteurs

1. Citer deux vecteurs égaux au vecteur NG.\overrightarrow{\mathrm{NG}}.

2. Citer deux vecteurs égaux au vecteur 2NG.2\overrightarrow{\mathrm{NG}}.

3. Citer un vecteur égal au vecteur 2HS.2\overrightarrow{\mathrm{HS}}.

4. Citer deux vecteurs égaux au vecteur 3CW.-3\overrightarrow{\mathrm{CW}}.

5. Quelle est l’image du point G\text{G} par la translation de vecteur 32OR\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{OR}} ?

6. Quelle est l’image du point Q\text{Q} par la translation de vecteur BT-\overrightarrow{\mathrm{BT}} ?

57
[Représenter.]
On considère un parallélogramme KLMN\text{KLMN} de centre I.\text{I}. Faire une figure puis :
1. construire le point H\text{H} tel que LH=43KL;\overrightarrow{\mathrm{LH}}=\dfrac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{KL}} \: ;
2. construire le point D\text{D} tel que ID=32KN;\overrightarrow{\mathrm{ID}}=-\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{KN}}\: ;
3. construire le point V\text{V} tel que VL=54MN.\overrightarrow{\mathrm{VL}}=\dfrac{5}{4} \overrightarrow{\mathrm{MN}}.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

59
[Calculer.]
Simplifier les expressions suivantes sous la forme d’une somme de deux vecteurs.
1. MC+2KL+2LSTC\overrightarrow{\mathrm{MC}}+2 \overrightarrow{\mathrm{KL}}+2 \overrightarrow{\mathrm{LS}}-\overrightarrow{\mathrm{TC}}

2. KL+3LM2RM\overrightarrow{\mathrm{KL}}+3 \overrightarrow{\mathrm{LM}}-2 \overrightarrow{\mathrm{RM}}

49
ALGO
[Calculer.]
On donne l’algorithme suivant.

Definir TEST(xu,yu,xv,yv):exvxufyvyuSi e=f alors:retourner « VRAI »Sinon:retourner « FAUX »Fin SiFin \boxed{ \begin{array} { l } { \text {Definir TEST}\left(\text{x}_{\text{u}}, \text{y}_{\text{u}}, \text{x}_{\text{v}}, \text{y}_{\text{v}}\right):} \\ \quad \mathrm{e} \leftarrow \dfrac{\text{x}_{\text{v}}}{\text{x}_{\text{u}}} \\ \quad \mathrm{f} \leftarrow \dfrac{\text{y}_{\text{v}}}{\text{y}_{\text{u}}} \\ \quad \text {Si } \mathrm{e} = \mathrm{f} \text { alors} : \\ \quad \quad \text {retourner « VRAI »}\\ \quad \text {Sinon}: \\ \quad \quad \text {retourner « FAUX »}\\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin} \end{array} }