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Chapitre 7
Entraînement 1

Colinéarité des vecteurs

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Exercices FLASH

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34

1. Dans un repère orthonormé, représenter trois vecteurs \vec{u} , \vec{v} et \vec{w} tels que \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires et \vec{u} et \vec{w} ne soient pas colinéaires.

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2. \vec{v} et \vec{w} sont-ils colinéaires ? Justifier.
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35

Soient \vec{u}\begin{pmatrix}{2} \\ {-4}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{-\dfrac{1}{2}} \\ {\dfrac{4}{3}}\end{pmatrix} deux vecteurs dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).

1. Calculer les coordonnées de 3 \vec{u}.

2. Calculer les coordonnées de -\dfrac{1}{2} \vec{u}.

3. Calculer les coordonnées de 2 \vec{v}.
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36

Réduire les expressions suivantes.

1. 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BD}}

2. 5 \overrightarrow{\mathrm{RS}}-5 \overrightarrow{\mathrm{QS}}

3. 7 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}
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37

Dans chaque cas, les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils colinéaires ?

1. \vec{u}\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{-6} \\ {9}\end{pmatrix}

2. \vec{u}\begin{pmatrix}{-9} \\ {6}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{-6} \\ {4}\end{pmatrix}
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38

Dans chaque cas, déterminer si les droites (\mathrm{RS}) et (\mathrm{TU}) sont parallèles.

1. \mathrm{R}(5\: ; 3), \mathrm{S}(2\: ;-6), \mathrm{T}(-1\: ; 4) et \mathrm{U}(3\: ;-2)

2. \mathrm{R}(-2\: ; 8), \mathrm{S}(-1\: ;-4), \mathrm{T}(5\: ; -1) et \mathrm{U}(3\: ;23)
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39

Dans chaque cas, déterminer si les points \text{J} , \text{K} et \text{L} sont alignés.

1. \mathrm{J}(4\: ;-1), \mathrm{K}(6 \:; 7) et \mathrm{L}(7\: ; 11)

2. \mathrm{J}(-4\: ;4), \mathrm{K}(-2 \:; 8) et \mathrm{L}(12\: ; 3)
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40
Vrai / Faux

Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Si elles sont fausses, les modifier pour qu'elles soient vraies.

1. Si deux vecteurs sont colinéaires alors ils sont égaux.

2. Si deux vecteurs sont égaux alors ils sont colinéaires.
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Exercices d'entraînement

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
42
 ;
46
 ;
61
 ;
64
 et
68
Parcours 2 : exercices
44
 ;
62
 ;
67
 ;
69
 ;
74
 et
76
Parcours 3 : exercices
45
 ;
60
 ;
73
 ;
75
 ;
78
 et
80
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41
 [Chercher.]
Quelques points ont été placés sur l'axe ci-dessous.

Colinéarité de vecteurs
1. Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels.
a. \overrightarrow{\mathrm{ED}} = ... \overrightarrow{\mathrm{CJ}}
b. \overrightarrow{\mathrm{FH}} = ... \overrightarrow{\mathrm{KB}}
c. \overrightarrow{\mathrm{CD}} = ... \overrightarrow{\mathrm{AK}}
d. \overrightarrow{\mathrm{DE}} = ... \overrightarrow{\mathrm{FC}}

2. Compléter l'égalité \overrightarrow{\mathrm{GF}} =
\overrightarrow{\mathrm{AJ}} et en déduire le coefficient k tel que \overrightarrow{\mathrm{AJ}}=k \overrightarrow{\mathrm{GF}}.

3. Quelle est l'image du point \text{E} par la translation de vecteur 2 \overrightarrow{\mathrm{AD}} ?

4. Quelle est l'image du point \text{F} par la translation de vecteur -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{EC}} ?
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42

Construire les points \text{C} et \text{D} tels que \overrightarrow{\mathrm{RC}}=\dfrac{1}{4} \vec{u} et \overrightarrow{\mathrm{DR}}=-\dfrac{3}{2} \vec{u}.

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43
 [Chercher.]
Le pavage ci-dessous est un pavage pajarita. On peut l'observer dans les mosaïques du palais de l'Alhambra à Grenade.

Placeholder pour Photographie de carrelage ornemental : motif géométrique complexe avec étoiles et formes courbes, bleu, vert, or et blanc.Photographie de carrelage ornemental : motif géométrique complexe avec étoiles et formes courbes, bleu, vert, or et blanc.
Colinéarité de vecteurs
1. Citer deux vecteurs égaux au vecteur \overrightarrow{\mathrm{NG}}.

2. Citer deux vecteurs égaux au vecteur 2\overrightarrow{\mathrm{NG}}.

3. Citer un vecteur égal au vecteur 2\overrightarrow{\mathrm{HS}}.

4. Citer deux vecteurs égaux au vecteur -3\overrightarrow{\mathrm{CW}}.

5. Quelle est l'image du point \text{G} par la translation de vecteur \dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{OR}} ?

6. Quelle est l'image du point \text{Q} par la translation de vecteur -\overrightarrow{\mathrm{BT}} ?
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44
 [Représenter.]

1. Soient \text{A}, \text{O} et \text{N} trois points du plan alignés comme sur la figure ci-dessous. Écrire une phrase incluant ces trois points et le mot « homothétie ».

Colinéarité de vecteurs
2. Construire le point \text{B} tel que \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{ON}} et le point \text{C} tel que \overrightarrow{\mathrm{BC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{ON}}.

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45
 [Représenter.]


1. Construire le point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{AD}}=2 \vec{u}-\vec{v}.
2. Construire le point \text{F} tel que \overrightarrow{\mathrm{BF}}=-2 \vec{v}-3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
3. Construire le point \text{E} tel que \overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{FB}}+\vec{v}-\dfrac{1}{3} \vec{u}.
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46

Soient \mathrm{V}(2 \:;-4), \mathrm{W}(9\: ; 4) et \mathrm{F}\left(\dfrac{1}{2} \:; \dfrac{3}{5}\right) trois points dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{VW}}, \overrightarrow{\mathrm{VF}}, 3 \overrightarrow{\mathrm{VW}} et 5 \overrightarrow{\mathrm{VW}}-2 \overrightarrow{\mathrm{VF}}.
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47
 [Calculer.]
Soient \mathrm{A}(3\: ; 6), \mathrm{B}(-1 \:;-4) et \mathrm{C}(-5\: ; 3) trois points du plan.
1. Les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont-elles proportionnelles ?

2. Que peut-on en déduire pour les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ?
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48
 [Calculer.]
Soient \mathrm{K}(-2\: ; 3), \mathrm{L}\left(\dfrac{5}{2}\: ; \dfrac{4}{3}\right), \mathrm{M}\left(-\dfrac{17}{4}\: ; 1\right) et \mathrm{N}\left(\dfrac{19}{4}\: ;-\dfrac{7}{3}\right) quatre points du plan.
1. Les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{KL}} et \overrightarrow{\mathrm{MN}} sont-elles proportionnelles ?

2. Que peut-on en déduire pour les droites (\mathrm{KL}) et (\mathrm{MN}) ?
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49
Algo
[Calculer.]
On donne l'algorithme suivant.

\boxed{ \begin{array} { l } { \text {Definir TEST}\left(\text{x}_{\text{u}}, \text{y}_{\text{u}}, \text{x}_{\text{v}}, \text{y}_{\text{v}}\right):} \\ \quad \mathrm{e} \leftarrow \dfrac{\text{x}_{\text{v}}}{\text{x}_{\text{u}}} \\ \quad \mathrm{f} \leftarrow \dfrac{\text{y}_{\text{v}}}{\text{y}_{\text{u}}} \\ \quad \text {Si } \mathrm{e} = \mathrm{f} \text { alors} : \\ \quad \quad \text {retourner « VRAI »}\\ \quad \text {Sinon}: \\ \quad \quad \text {retourner « FAUX »}\\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin} \end{array} }
1. Faire fonctionner cet algorithme avec les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{15} \\ {-9}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{25} \\ {-15}\end{pmatrix}.

2. À quoi sert cet algorithme ?

3. Que se passe-t-il avec les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{0} \\ {-2}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix} ?

4. Modifier l'algorithme pour éviter le problème rencontré à la question précédente.
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50
 [Calculer.]
Soient \mathrm{A}(4\: ;-2), \mathrm{B}(-2\: ; 1) et \mathrm{C}(-1 \:; 6) trois points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). Soit \text{D} le point de coordonnées \left(x_{\mathrm{D}} \:; y_{\mathrm{D}}\right) tel que \overrightarrow{\mathrm{CD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Déterminer les coordonnées de \text{D}.
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51
 [Calculer.]
Soient \mathrm{R}(-2\: ;6), \mathrm{S}(7\: ; 3) et \mathrm{T}(-1 \:; 6) trois points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}) et \text{U} le point tel que \overrightarrow{\mathrm{RU}}=-\dfrac{5}{2} \overrightarrow{\mathrm{ST}}.
Déterminer les coordonnées de \text{U}.
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52
 [Calculer.]
Soient \mathrm{K}(2\: ;-3), \mathrm{L}(5\: ; 2), \mathrm{M}(-3 \:; 1) et \mathrm{N}(-2 \:; 6) quatre points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées de \text{P} telles que \overrightarrow{\mathrm{KP}}=\overrightarrow{\mathrm{KL}}+2 \overrightarrow{\mathrm{MN}}-3 \overrightarrow{\mathrm{LN}}.
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53
 [Calculer.]
Soient \mathrm{R}(3\: ;-1), \mathrm{S}(2\: ; 4) et \mathrm{T}(-3 \:; -2) trois points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées de \text{U} telles que \overrightarrow{\mathrm{US}}=5 \overrightarrow{\mathrm{RT}}-2 \overrightarrow{\mathrm{ST}}.
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54
 [Calculer.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). h est l'homothétie de centre \mathrm{A}(4\: ;-3) et de rapport 3. Soient \mathrm{B}(2\: ;-1) et \mathrm{C}(0\: ;-4) deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{C}'}, image de \overrightarrow{\mathrm{BC}} par l'homothétie h.

2. Déterminer les coordonnées de \text{B}'.

3. Donner deux méthodes pour calculer les coordonnées de \text{C}' (sans faire les calculs).
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55
 [Calculer.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). h est l'homothétie de centre \mathrm{S}(-1\: ;6) et de rapport -\dfrac{1}{2}. \mathrm{T}(4\: ;5) et \mathrm{U}(-8\: ;16) sont deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{T}' \mathrm{U}'}, image de \overrightarrow{\mathrm{TU}} par l'homothétie h.

2. Déterminer les coordonnées de \text{T}'.

3. Donner deux méthodes pour calculer celles de \text{U}' (sans faire les calculs).
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56
 [Chercher.]
\mathrm{A}(3\:;-1), \mathrm{B}(0\: ; 4) et \mathrm{C}(2 \:; 8) sont trois points du plan.
On note \text{B}' et \text{C}' les images respectives de \text{B} et \text{C} par l'homothétie h de centre \text{A} et de rapport -\dfrac{1}{2}.
On note \text{B}'' et \text{C}'' les images respectives de \text{B}' et \text{C}' par l'homothétie k de centre \text{A} et de rapport 3.
Que peut-on dire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{B}''\mathrm{C}''} ?
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57
 [Représenter.]
On considère un parallélogramme \text{KLMN} de centre \text{I}. Faire une figure puis :
1. construire le point \text{H} tel que \overrightarrow{\mathrm{LH}}=\dfrac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{KL}} \: ;
2. construire le point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{ID}}=-\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{KN}}\: ;
3. construire le point \text{V} tel que \overrightarrow{\mathrm{VL}}=\dfrac{5}{4} \overrightarrow{\mathrm{MN}}.

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58
 [Calculer.]
Recopier et compléter les égalités suivantes.
1. 3 \overrightarrow{\mathrm{BC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CD}}=3(\vec{\ldots}+\vec{\ldots})=\vec{\ldots}

2. 5 \overrightarrow{\mathrm{MP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{MS}}=5(\overrightarrow{\ldots \mathrm{R}}+\vec{\ldots})-3(\vec{\ldots}+\overrightarrow{\mathrm{K} \ldots})
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59
 [Calculer.]
Simplifier les expressions suivantes sous la forme d'une somme de deux vecteurs.
1. \overrightarrow{\mathrm{MC}}+2 \overrightarrow{\mathrm{KL}}+2 \overrightarrow{\mathrm{LS}}-\overrightarrow{\mathrm{TC}}

2. \overrightarrow{\mathrm{KL}}+3 \overrightarrow{\mathrm{LM}}-2 \overrightarrow{\mathrm{RM}}
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60
 [Calculer.]

Soient \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D} et \text{E} cinq points du plan. \text{M} est le point tel que :

\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CE}}+\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DB}}.

1. Démontrer que :
\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CE}}+\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

2. Que peut-on en déduire pour le point \text{M} ?
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61

Les vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{k}, \vec{r} et \vec{s} sont représentés dans le repère ci-dessous.

Colinéarité de vecteurs

1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{k}, \vec{r} et \vec{s}.

2. Quels vecteurs sont colinéaires ? Déterminer la relation liant ces vecteurs.
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 [Chercher.]

Soient \vec{m} et \vec{n} deux vecteurs du plan.
Les vecteurs -12 \vec{m}+4 \vec{n} et 9 \vec{m}-3 \vec{n} sont-ils colinéaires ?
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63
 [Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer le nombre réel a tel que \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires.

1. \vec{u}\begin{pmatrix}{5} \\ {-8}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{a} \\ {25}\end{pmatrix}

2. \vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{3}{5}} \\ {\dfrac{-7}{12}}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{\dfrac{-2}{7}} \\ {a}\end{pmatrix}

3. \vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{3}{4}} \\ {\dfrac{1}{6}}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{a} \\ {\dfrac{-2}{3}}\end{pmatrix}

4. \vec{u}\begin{pmatrix}{7} \\ {3}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{2a+5} \\ {-3a+2}\end{pmatrix}
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