Applications

Différenciation

Parcours 1 : exercices

42

;

46

;

61

;

64

et

68

Parcours 2 : exercices

44

;

62

;

67

;

69

;

74

et

76

Parcours 3 : exercices

45

;

60

;

73

;

75

;

78

et

80

72

[Chercher.]
1. Construire un triangle $\text{ABC}$ ainsi que les points ${\text{B}}^{\prime }$ et $\text{D}$ tels que $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Insérer une formule mathématique

2. Montrer que les points $\text{D},$ $\text{B}$ et ${\text{B}}^{\prime }$ sont alignés.

Insérer une formule mathématique

73

[Raisonner.]

On souhaite démontrer la proposition suivante : « Dans un repère orthonormé, les vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x^{\prime };y^{\prime })$ sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. »
1. On suppose que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires. Après avoir rappelé la définition de la colinéarité de deux vecteurs, démontrer que $\det (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0.$

2. On suppose maintenant que $\det (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0.$
a. On se place dans le cas où au moins un des quatre nombres $x,$ $x^{\prime },$ $y$ et $y^{\prime }$ est égal à $0.$ Démontrer que, dans ce cas, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

b. On suppose maintenant que tous les nombres $x,$ $x^{\prime },$ $y$ et $y^{\prime }$ sont différents de $0.$ Démontrer que $\frac{x}{x^{\prime }}=\frac{y}{y^{\prime }}$ et conclure.