Synthèse

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 42 ; 46 ; 61 ; 64 et 68
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 62 ; 67 ; 69 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 60 ; 73 ; 75 ; 78 et 80

75

[Chercher.] ◉◉◉ Reproduire la figure ci-dessous.

1. Construire le point $\text{F}$ tel que : $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Lancer le module Geogebra

2. Quelle relation existe-t-il entre les points $\text{B},$ $\text{A}$ et $\text{F}$ ? Justifier.

80

EN SVT

[Chercher.] ◉◉◉
Nous allons étudier le mouvement des plaques lithosphériques pacifique et nord-américaine ainsi que celui des plaques sud-américaine et africaine.
On dit qu’il existe un coulissage entre deux plaques lithosphériques lorsqu’elles se déplacent l’une contre l’autre dans des sens opposés.

Quelques coordonnées ont pu être récoltées.

• Le point $\text{A}$ se situant sur la plaque pacifique s’est déplacé de $(34{,}8 \:; - 120{,}3)$ à $(34{,}5\: ; - 119{,}9).$
• Le point $\text{B}$ se situant sur la plaque nord-américaine s’est déplacé de $(35{,}7\: ; - 117{,}5)$ à $(36{,}9 \:; - 119{,}1).$
• Les points $\text{C}$ et $\text{D}$ se situant sur la frontière entre les plaques pacifique et nord-américaine ont pour coordonnées $(35{,}6\: ; - 119{,}4)$ et $(35\: ; - 118{,}6) .$
• Le point $\text{E}$ se situant sur la plaque sud-américaine s’est déplacé de $(-11{,}6 \:; - 17{,}9)$ à $(-11{,}1\: ; - 16{,}9) .$
• Le point $\text{F}$ se situant sur la plaque africaine s’est déplacé de $(-6{,}5 \:; - 8{,}7)$ à $(-7{,}5\: ; - 10,7) .$
• Les points $\text{G}$ et $\text{H}$ se situant sur la frontière entre les plaques africaine et sud-américaine ont pour coordonnées $(-9{,}4\: ; - 13{,}5)$ et $(-10{,}2 \:; - 13{,}1).$

1. Faille de San Andreas.
a. Soient $\vec{u}$ le vecteur représentant le déplacement de la plaque pacifique et $\vec{v}$ celui de la plaque nord-américaine. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?

b. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre ces deux plaques ? Justifier.

2. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre les plaques sud-américaine et africaine ? Justifier.

77

[Chercher.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).$ On considère les points suivants : $\mathrm{A}(2\: ; 1), \mathrm{B}(-2\: ; 3), \mathrm{C}(-1\: ;-2)$ et $\mathrm{D}(-3 \:;-1).$
1. Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ sont-ils colinéaires ? Justifier.

2. Démontrer que le quadrilatère $\text{ABDC}$ est un trapèze.

3. Soit $\text{E},$ le point de coordonnées $(3\: ; - 4).$
a. Démontrer que les coordonnées du milieu $\text{M}$ de $[\mathrm{AB}]$ sont $(0\: ; 2).$

b. Les points $\text{D}, \text{C}$ et $\text{E}$ sont-ils alignés ? Justifier.

c. Soit $\text{F},$ le point défini par $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$ Calculer les coordonnées du point $\text{F}.$

d. Les points $\text{M},$ $\text{F}$ et $\text{E}$ sont-ils alignés ? Justifier.

79

[Raisonner.]

DÉMO

$\text{K}, \text{L}$ et $\text{M}$ sont trois points alignés.
$\text{K}', \text{L}'$ et $\text{M}'$ sont leurs images respectives par l’homothétie $h$ de centre $\text{P}$ et de rapport $k .$
Montrer que les points $\text{K}', \text{L}'$ et $\text{M}'$sont alignés.

78

[Chercher.] ◉◉◉
$\text{ABCD}$ est un parallélogramme de centre $\text{O}.$
$\text{E}$ est le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\text{F}$ le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{1}{5} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.$
1. Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que $\overrightarrow{\mathrm{FE}}=4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{4}{5} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.$

2. Démontrer de même que $\overrightarrow{\mathrm{FO}}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{3}{10} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.$

3. En déduire que les points $\text{F}, \text{O}$ et $\text{E}$ sont alignés.

76

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $\text{ABC}$ un triangle quelconque dans un repère non orthogonal.

1. Déterminer graphiquement les coordonnées de $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C} .$

2. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

3. On souhaite construire le point $\text{N}$ tel que $2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$ Montrer que le point $\text{N}$ a pour coordonnées $(2 \:; 0).$

4. Démontrer que les droites $(\text{AB})$ et $(\text{CN})$ sont parallèles.

74

[Chercher.] ◉◉◉
Reproduire la figure ci-dessous.

1. Construire les points $\text{E}$ et $\text{F}$ tels que :
$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

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2. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

3. Que peut-on en déduire à propos des droites $(\mathrm{EF})$ et $(\mathrm{BC})$ ?