Synthèse




Club de Maths


82
DÉFI

Trois poids sont fixés aux sommets A(2;3),\text{A}(2\: ; 3), B(8;3)\text{B}(8\: ; 3) et C(4;6)\text{C}(4\: ; 6) d’une plaque de métal. Ces poids ont une masse non nulle mA,m_\text{A}, mBm_\text{B} et mC.m_\text{C}.

Colinéarité de vecteurs

En s’inspirant du défi 81, exprimer les coordonnées du point d’équilibre E\text{E} en fonction de mA,m_\text{A}, mBm_\text{B} et mC.m_\text{C}. On suppose ici aussi que la masse de la plaque est négligeable.

Histoire des maths


August Ferdinand Möbius fut l’élève de Carl Friedrich Gauss (célèbre mathématicien, astronome, physicien). Il effectua des recherches en mathématiques en parallèle de son travail d’astronome.
On lui attribue, ainsi qu’à Chasles, le concept de segment orienté, noté AB.\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Son traité du calcul barycentrique est le point de départ de nombreux calculs vectoriels sur le barycentre qui rejoindront le concept, en sciences physiques, de centre de gravité.
Il a par ailleurs été rendu célèbre par le ruban de Möbius (voir photo) que l’on retrouve dans de nombreux logos.

Ruban de Möbius

81
DÉFI

Deux poids sont fixés au bout d’une tige, dont on suppose que la masse est négligeable, en A(2;3)\text{A}(2 \:; 3) et en B(8;3).\text{B}(8\: ; 3).
Le poids en A\text{A} a une masse non nulle mAm_\text{A} et le poids en B\text{B} a une masse non nulle mB.m_\text{B}. Le but est de déterminer les coordonnées du point E\text{E} pour que la tige reste en équilibre.
La loi d’Archimède permet de déterminer la position d’équilibre lorsque le point E\text{E} respecte :
mA×AE=mB×BE.m_{\mathrm{A}} \times \mathrm{AE}=m_{\mathrm{B}} \times \mathrm{BE}.

Colinéarité de vecteurs

1. Déterminer une relation vectorielle entre AE\overrightarrow{\mathrm{AE}} et BE.\overrightarrow{\mathrm{BE}}.

2. Cas particulier : déterminer les coordonnées de E\text{E} lorsque mA=40m_{\mathrm{A}}=40 et mB=20.m_{\mathrm{B}}=20.

3. Cas général : exprimer les coordonnées de E\text{E} en fonction des masses mAm_{\mathrm{A}} et mBm_{\mathrm{B}} des poids.

77
[Chercher.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}). On considère les points suivants : A(2;1),B(2;3),C(1;2)\mathrm{A}(2\: ; 1), \mathrm{B}(-2\: ; 3), \mathrm{C}(-1\: ;-2) et D(3;1). \mathrm{D}(-3 \:;-1).
1. Les vecteurs AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} et BD\overrightarrow{\mathrm{BD}} sont-ils colinéaires ? Justifier.

2. Démontrer que le quadrilatère ABDC\text{ABDC} est un trapèze.

3. Soit E,\text{E}, le point de coordonnées (3;4).(3\: ; - 4).
a. Démontrer que les coordonnées du milieu M\text{M} de [AB][\mathrm{AB}] sont (0;2).(0\: ; 2).

b. Les points D,C\text{D}, \text{C} et E\text{E} sont-ils alignés ? Justifier.

c. Soit F,\text{F}, le point défini par AF=13AC.\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}. Calculer les coordonnées du point F.\text{F}.

d. Les points M,\text{M}, F\text{F} et E\text{E} sont-ils alignés ? Justifier.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 42 ; 46 ; 61 ; 64 et 68
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 62 ; 67 ; 69 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 60 ; 73 ; 75 ; 78 et 80

78
[Chercher.] ◉◉◉
ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme de centre O.\text{O}.
E\text{E} est le point tel que AE=3AB\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}} et F\text{F} le point tel que CF=2AB15AD.\overrightarrow{\mathrm{CF}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{1}{5} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
1. Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que FE=4AB45AD.\overrightarrow{\mathrm{FE}}=4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{4}{5} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.

2. Démontrer de même que FO=32AB310AD.\overrightarrow{\mathrm{FO}}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{3}{10} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.

3. En déduire que les points F,O\text{F}, \text{O} et E\text{E} sont alignés.

76
[Chercher.] ◉◉
Soit ABC\text{ABC} un triangle quelconque dans un repère non orthogonal.

Colinéarité de vecteurs

1. Déterminer graphiquement les coordonnées de A,\text{A}, B\text{B} et C.\text{C} .

2. Calculer les coordonnées de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC.\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

3. On souhaite construire le point N\text{N} tel que 2AB+BN+CN=AC.2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}. Montrer que le point N\text{N} a pour coordonnées (2;0).(2 \:; 0).

4. Démontrer que les droites (AB)(\text{AB}) et (CN)(\text{CN}) sont parallèles.

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
et

75
[Chercher.] ◉◉◉ Reproduire la figure ci-dessous.

Colinéarité de vecteurs

1. Construire le point F\text{F} tel que : AF=2AC2BC.\overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Lancer le module Geogebra

2. Quelle relation existe-t-il entre les points B,\text{B}, A\text{A} et F\text{F} ? Justifier.

80
EN SVT
[Chercher.] ◉◉◉
Nous allons étudier le mouvement des plaques lithosphériques pacifique et nord-américaine ainsi que celui des plaques sud-américaine et africaine.
On dit qu’il existe un coulissage entre deux plaques lithosphériques lorsqu’elles se déplacent l’une contre l’autre dans des sens opposés.

Faille sismique

Quelques coordonnées ont pu être récoltées.
  • Le point A\text{A} se situant sur la plaque pacifique s’est déplacé de (34,8;120,3)(34{,}8 \:; - 120{,}3) à (34,5;119,9).(34{,}5\: ; - 119{,}9).
  • Le point B\text{B} se situant sur la plaque nord-américaine s’est déplacé de (35,7;117,5)(35{,}7\: ; - 117{,}5) à (36,9;119,1).(36{,}9 \:; - 119{,}1).
  • Les points C\text{C} et D\text{D} se situant sur la frontière entre les plaques pacifique et nord-américaine ont pour coordonnées (35,6;119,4)(35{,}6\: ; - 119{,}4) et (35;118,6).(35\: ; - 118{,}6) .
  • Le point E\text{E} se situant sur la plaque sud-américaine s’est déplacé de (11,6;17,9)(-11{,}6 \:; - 17{,}9) à (11,1;16,9).(-11{,}1\: ; - 16{,}9) .
  • Le point F\text{F} se situant sur la plaque africaine s’est déplacé de (6,5;8,7)(-6{,}5 \:; - 8{,}7) à (7,5;10,7).(-7{,}5\: ; - 10,7) .
  • Les points G\text{G} et H\text{H} se situant sur la frontière entre les plaques africaine et sud-américaine ont pour coordonnées (9,4;13,5)(-9{,}4\: ; - 13{,}5) et (10,2;13,1).(-10{,}2 \:; - 13{,}1).

1. Faille de San Andreas.
a. Soient u\vec{u} le vecteur représentant le déplacement de la plaque pacifique et v\vec{v} celui de la plaque nord-américaine. u\vec{u} et v\vec{v} sont-ils colinéaires ?

b. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre ces deux plaques ? Justifier.

2. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre les plaques sud-américaine et africaine ? Justifier.

79
[Raisonner.]
DÉMO

K,L\text{K}, \text{L} et M\text{M} sont trois points alignés.
K,L\text{K}', \text{L}' et M\text{M}' sont leurs images respectives par l’homothétie hh de centre P\text{P} et de rapport k.k .
Montrer que les points K,L\text{K}', \text{L}' et M\text{M}'sont alignés.

74
[Chercher.] ◉◉
Reproduire la figure ci-dessous.

Colinéarité de vecteurs

1. Construire les points E\text{E} et F\text{F} tels que :
AE=2AB+12BC\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}} et AF=2AC2BC. \overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Lancer le module Geogebra

2. Démontrer que EF=12BC.\overrightarrow{\mathrm{EF}}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

3. Que peut-on en déduire à propos des droites (EF)(\mathrm{EF}) et (BC)(\mathrm{BC}) ?
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