Exercices de synthèse

Différenciation

Parcours 1 : exercices

42

;

46

;

61

;

64

et

68

Parcours 2 : exercices

44

;

62

;

67

;

69

;

74

et

76

Parcours 3 : exercices

45

;

60

;

73

;

75

;

78

et

80

78

[Chercher.]
$\text{ABCD}$ est un parallélogramme de centre $\text{O}.$
$\text{E}$ est le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\text{F}$ le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{AD}}.$

1. Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que $\overrightarrow{\mathrm{FE}}=4\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{4}{5}\overrightarrow{\mathrm{AD}}.$

2. Démontrer de même que $\overrightarrow{\mathrm{FO}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{10}\overrightarrow{\mathrm{AD}}.$

3. En déduire que les points $\text{F},\text{O}$ et $\text{E}$ sont alignés.

79

Démo

[Raisonner.]
$\text{K},\text{L}$ et $\text{M}$ sont trois points alignés.
${\text{K}}^{\prime },{\text{L}}^{\prime }$ et ${\text{M}}^{\prime }$ sont leurs images respectives par l'homothétie $h$ de centre $\text{P}$ et de rapport $k.$

Montrer que les points ${\text{K}}^{\prime },{\text{L}}^{\prime }$ et ${\text{M}}^{\prime }$sont alignés.

81

Défi

Deux poids sont fixés au bout d'une tige, dont on suppose que la masse est négligeable, en $\text{A}(2;3)$ et en $\text{B}(8;3).$
Le poids en $\text{A}$ a une masse non nulle $m_{\text{A}}$ et le poids en $\text{B}$ a une masse non nulle $m_{\text{B}}.$ Le but est de déterminer les coordonnées du point $\text{E}$ pour que la tige reste en équilibre.
La loi d'Archimède affirme alors qu'un tel point d'équilibre $\text{E}$ vérifie la relation :
$m_{\mathrm{A}}\times \mathrm{AE}=m_{\mathrm{B}}\times \mathrm{BE}.$


1. Déterminer une relation vectorielle entre $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BE}}.$

2. Cas particulier : déterminer les coordonnées de $\text{E}$ lorsque $m_{\mathrm{A}}=40$ et $m_{\mathrm{B}}=20.$

3. Cas général : exprimer les coordonnées de $\text{E}$ en fonction des masses $m_{\mathrm{A}}$ et $m_{\mathrm{B}}$ des poids.

82

Défi

Trois poids sont fixés aux sommets $\text{A}(2;3),$ $\text{B}(8;3)$ et $\text{C}(4;6)$ d'une plaque de métal. Ces poids ont une masse non nulle $m_{\text{A}},$ $m_{\text{B}}$ et $m_{\text{C}}.$


En s'inspirant du défi 81, exprimer les coordonnées du point d'équilibre $\text{E}$ en fonction de $m_{\text{A}},$ $m_{\text{B}}$ et $m_{\text{C}}.$ On suppose ici aussi que la masse de la plaque est négligeable.

August Ferdinand Möbius fut l'élève de Carl Friedrich Gauss (célèbre mathématicien, astronome, physicien). Il effectua des recherches en mathématiques en parallèle de son travail d'astronome.
On lui attribue, ainsi qu'à Chasles, le concept de segment orienté, noté $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$
Son traité du calcul barycentrique est le point de départ de nombreux calculs vectoriels sur le barycentre qui rejoindront le concept, en sciences physiques, de centre de gravité.
Il a par ailleurs été rendu célèbre par le ruban de Möbius (voir photo) que l'on retrouve dans de nombreux logos.