Synthèse

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 42 ; 46 ; 61 ; 64 et 68
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 62 ; 67 ; 69 ; 74 et 76
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 60 ; 73 ; 75 ; 78 et 80

74

[Chercher.] ◉◉◉
Reproduire la figure ci-dessous.

1. Construire les points $\text{E}$ et $\text{F}$ tels que :
$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{F}}=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}-2\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}.$

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2. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{F}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}.$

3. Que peut-on en déduire à propos des droites $(\mathrm{E}\mathrm{F})$ et $(\mathrm{B}\mathrm{C})$ ?

75

[Chercher.] ◉◉◉ Reproduire la figure ci-dessous.

1. Construire le point $\text{F}$ tel que : $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{F}}=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}-2\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}.$

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2. Quelle relation existe-t-il entre les points $\text{B},$ $\text{A}$ et $\text{F}$ ? Justifier.

76

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $\text{ABC}$ un triangle quelconque dans un repère non orthogonal.

1. Déterminer graphiquement les coordonnées de $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}.$

2. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}.$

3. On souhaite construire le point $\text{N}$ tel que $2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{N}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}.$ Montrer que le point $\text{N}$ a pour coordonnées $(2;0).$

4. Démontrer que les droites $(\text{AB})$ et $(\text{CN})$ sont parallèles.

77

[Chercher.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ On considère les points suivants : $\mathrm{A}(2;1),\mathrm{B}(-2;3),\mathrm{C}(-1;-2)$ et $\mathrm{D}(-3;-1).$
1. Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{D}}$ sont-ils colinéaires ? Justifier.

2. Démontrer que le quadrilatère $\text{ABDC}$ est un trapèze.

3. Soit $\text{E},$ le point de coordonnées $(3;-4).$
a. Démontrer que les coordonnées du milieu $\text{M}$ de $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ sont $(0;2).$

b. Les points $\text{D},\text{C}$ et $\text{E}$ sont-ils alignés ? Justifier.

c. Soit $\text{F},$ le point défini par $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}.$ Calculer les coordonnées du point $\text{F}.$

d. Les points $\text{M},$ $\text{F}$ et $\text{E}$ sont-ils alignés ? Justifier.

78

[Chercher.] ◉◉◉
$\text{ABCD}$ est un parallélogramme de centre $\text{O}.$
$\text{E}$ est le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}=3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\text{F}$ le point tel que $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{F}}=-2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}.$
1. Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que $\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{E}}=4\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\frac{4}{5}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}.$

2. Démontrer de même que $\overrightarrow{\mathrm{F}\mathrm{O}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\frac{3}{10}\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}.$

3. En déduire que les points $\text{F},\text{O}$ et $\text{E}$ sont alignés.

79

[Raisonner.]

DÉMO

$\text{K},\text{L}$ et $\text{M}$ sont trois points alignés.
${\text{K}}^{\prime },{\text{L}}^{\prime }$ et ${\text{M}}^{\prime }$ sont leurs images respectives par l’homothétie $h$ de centre $\text{P}$ et de rapport $k.$
Montrer que les points ${\text{K}}^{\prime },{\text{L}}^{\prime }$ et ${\text{M}}^{\prime }$sont alignés.

80

EN SVT

[Chercher.] ◉◉◉
Nous allons étudier le mouvement des plaques lithosphériques pacifique et nord-américaine ainsi que celui des plaques sud-américaine et africaine.
On dit qu’il existe un coulissage entre deux plaques lithosphériques lorsqu’elles se déplacent l’une contre l’autre dans des sens opposés.

Quelques coordonnées ont pu être récoltées.

• Le point $\text{A}$ se situant sur la plaque pacifique s’est déplacé de $(34,8;-120,3)$ à $(34,5;-119,9).$
• Le point $\text{B}$ se situant sur la plaque nord-américaine s’est déplacé de $(35,7;-117,5)$ à $(36,9;-119,1).$
• Les points $\text{C}$ et $\text{D}$ se situant sur la frontière entre les plaques pacifique et nord-américaine ont pour coordonnées $(35,6;-119,4)$ et $(35;-118,6).$
• Le point $\text{E}$ se situant sur la plaque sud-américaine s’est déplacé de $(-11,6;-17,9)$ à $(-11,1;-16,9).$
• Le point $\text{F}$ se situant sur la plaque africaine s’est déplacé de $(-6,5;-8,7)$ à $(-7,5;-10,7).$
• Les points $\text{G}$ et $\text{H}$ se situant sur la frontière entre les plaques africaine et sud-américaine ont pour coordonnées $(-9,4;-13,5)$ et $(-10,2;-13,1).$

1. Faille de San Andreas.
a. Soient $\overrightarrow{u}$ le vecteur représentant le déplacement de la plaque pacifique et $\overrightarrow{v}$ celui de la plaque nord-américaine. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils colinéaires ?

b. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre ces deux plaques ? Justifier.

2. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre les plaques sud-américaine et africaine ? Justifier.