Une histoire de paramètre et de trapèze

1. a. Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{EB}},\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{DG}}.$

b. Exprimer celles de $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ en fonction de $k.$

2. a. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}.$

b. Exprimer celles de $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ en fonction de $k.$

GeoGebra nous permet d'obtenir une valeur approchée de $k$ et de visualiser le résultat dans un repère.

1. Construire les points $\text{A},$ $\text{B},$ $\text{C}$ et $\text{D}.$

2. Créer un curseur nommé $k$ variant entre $–5$ et $5$ avec une incrémentation de $0,01$ avec le bouton
3. Compléter la saisie pour obtenir les points $\text{E},$ $\text{F},$ $\text{G}$ et $\text{H}.$ Par exemple, pour le point $\text{E},$ on peut écrire :

4. Tracer les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ avec le bouton .

5. a. Dans la zone de saisie, écrire :
b. Que représente le nombre $\text{d}$ ?

6. Déterminer un encadrement de $k$ à 10^-2 près pour lequel le quadrilatère $\text{EFGH}$ est un trapèze.

1. Utiliser la colonne A pour les valeurs du nombre $k$ et la remplir de nombres allant de $-2$ à $2$ avec un pas de $0,01.$

2. Compléter la colonne B avec l'abscisse de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et la colonne C avec l'ordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}.$

3. En utilisant la formule appropriée, compléter la colonne D avec l'abscisse de $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ en fonction de $k$ et la colonne E avec l'ordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ en fonction de $k.$

4. Dans la colonne F, écrire la formule appropriée pour calculer le déterminant de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ pour chaque valeur de $k.$

5. Déterminer un encadrement de $k$ à 10^-2 près pour lequel le quadrilatère $\text{EFGH}$ est un trapèze.

1. Puisque $\text{EFGH}$ est un trapèze de grande base $[\text{EF}]$, que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ ?

2. Exprimer, en fonction de $k,$ le déterminant de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GH}}.$

3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=49,5x-\frac{287}{15}.$

a. Quel est le lien entre la fonction $f$ et le déterminant de $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ ?

b. Pourquoi doit-on trouver un antécédent de $0$ par la fonction $f$ ?

c. Représenter graphiquement la fonction $f$ à la calculatrice.

4. Déterminer un encadrement de $k$ à 10^-2 près pour lequel le quadrilatère $\text{EFGH}$ est un trapèze.