Mathématiques 2de

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Chapitre 7
TP / TICE

Une histoire de paramètre et de trapèze

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Énoncé

Soient \mathrm{A}(-5\: ; 3), \mathrm{B}(-1\: ;5), \mathrm{C}(5\: ; 3) et \mathrm{D}(-2\: ; -4) quatre points dans un repère orthonormé. \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H} sont les points tels que : \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{DG}}=\dfrac{2}{5} \overrightarrow{\mathrm{DC}} et \overrightarrow{\mathrm{DH}}=k \overrightarrow{\mathrm{DA}}k est un réel compris entre -2 et 2.
Questions préliminaires :

1. a. Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{EB}}, \overrightarrow{\mathrm{BF}} et \overrightarrow{\mathrm{DG}}.

b. Exprimer celles de \overrightarrow{\mathrm{DH}} en fonction de k.


2. a. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{EF}}.

b. Exprimer celles de \overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k.
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Objectif

On souhaite déterminer les éventuelles valeurs de k (approchées au centième) telles que \text{EFGH} soit un trapèze de grande base [\text{EF}] en utilisant une des trois méthodes.
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Méthode 1
GeoGebra

GeoGebra nous permet d'obtenir une valeur approchée de k et de visualiser le résultat dans un repère.

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GeoGebra

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1. Construire les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D}.
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2. Créer un curseur nommé k variant entre –5 et 5 avec une incrémentation de 0{,}01 avec le bouton
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.

3. Compléter la saisie pour obtenir les points \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H}. Par exemple, pour le point \text{E}, on peut écrire :
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4. Tracer les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} avec le bouton
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.

5. a. Dans la zone de saisie, écrire :
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b. Que représente le nombre \text{d} ?


6. Déterminer un encadrement de k à 10-2 près pour lequel le quadrilatère \text{EFGH} est un trapèze.
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Méthode 2
Tableur

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1. Utiliser la colonne A pour les valeurs du nombre k et la remplir de nombres allant de -2 à 2 avec un pas de 0{,}01.

2. Compléter la colonne B avec l'abscisse de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et la colonne C avec l'ordonnée de \overrightarrow{\mathrm{EF}}.

3. En utilisant la formule appropriée, compléter la colonne D avec l'abscisse de \overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k et la colonne E avec l'ordonnée de \overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k .

4. Dans la colonne F, écrire la formule appropriée pour calculer le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} pour chaque valeur de k .

5. Déterminer un encadrement de k à 10-2 près pour lequel le quadrilatère \text{EFGH} est un trapèze.
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Méthode 3
Calculatrice

1. Puisque \text{EFGH} est un trapèze de grande base [\text{EF}], que peut-on dire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} ?


2. Exprimer, en fonction de k , le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}}.


3. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=49{,}5 x-\dfrac{287}{15}.
a. Quel est le lien entre la fonction f et le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} ?

b. Pourquoi doit-on trouver un antécédent de 0 par la fonction f ?

c. Représenter graphiquement la fonction f à la calculatrice.


4. Déterminer un encadrement de k à 10-2 près pour lequel le quadrilatère \text{EFGH} est un trapèze.
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