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TP / TICE 1


Une histoire de paramètre et de trapèze




Énoncé

Soient A(5;3),B(1;5),\mathrm{A}(-5\: ; 3), \mathrm{B}(-1\: ;5), C(5;3)\mathrm{C}(5\: ; 3) et D(2;4)\mathrm{D}(-2\: ; -4) quatre points dans un repère orthonormé.
E,\text{E}, F,\text{F}, G\text{G} et H\text{H} sont les points tels que : BE=34BA,BF=23BC,DG=25DC\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{DG}}=\dfrac{2}{5} \overrightarrow{\mathrm{DC}} et DH=kDA\overrightarrow{\mathrm{DH}}=k \overrightarrow{\mathrm{DA}}kk est un réel compris entre 2-2 et 2.2.

Questions préliminaires :
1. a. Déterminer les coordonnées de EB,BF\overrightarrow{\mathrm{EB}}, \overrightarrow{\mathrm{BF}} et DG.\overrightarrow{\mathrm{DG}}.

b. Exprimer celles de DH\overrightarrow{\mathrm{DH}} en fonction de k.k.


2. a. Calculer les coordonnées de EF.\overrightarrow{\mathrm{EF}}.

b. Exprimer celles de GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k.k.

Objectif

On souhaite déterminer les éventuelles valeurs de kk (approchées au centième) telles que EFGH\text{EFGH} soit un trapèze de grande base [EF][\text{EF}] en utilisant une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

GeoGebra nous permet d’obtenir une valeur approchée de kk et de visualiser le résultat dans un repère.

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1. Construire les points A,\text{A}, B,\text{B}, C\text{C} et D.\text{D}.
Une histoire de paramètre et de trapèze

2. Créer un curseur nommé kk variant entre 5–5 et 55 avec une incrémentation de 0,010{,}01 avec le bouton
Une histoire de paramètre et de trapèze
.
3. Compléter la saisie pour obtenir les points E,\text{E}, F,\text{F}, G\text{G} et H.\text{H}. Par exemple, pour le point E,\text{E}, on peut écrire :
Une histoire de paramètre et de trapèze


4. Tracer les vecteurs EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} avec le bouton
Une histoire de paramètre et de trapèze
.

5. a. Dans la zone de saisie, écrire :
Une histoire de paramètre et de trapèze

b. Que représente le nombre d\text{d} ?


6. Déterminer un encadrement de kk à 10-2 près pour lequel le quadrilatère EFGH\text{EFGH} est un trapèze.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

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1. Utiliser la colonne A pour les valeurs du nombre kk et la remplir de nombres allant de 2-2 à 22 avec un pas de 0,01.0{,}01.

2. Compléter la colonne B avec l’abscisse de EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et la colonne C avec l’ordonnée de EF.\overrightarrow{\mathrm{EF}}.

3. En utilisant la formule appropriée, compléter la colonne D avec l’abscisse de GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de kk et la colonne E avec l’ordonnée de GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k.k .

4. Dans la colonne F, écrire la formule appropriée pour calculer le déterminant de EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} pour chaque valeur de k.k .

5. Déterminer un encadrement de kk à 10-2 près pour lequel le quadrilatère EFGH\text{EFGH} est un trapèze.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
CALCULATRICE

1. Puisque EFGH\text{EFGH} est un trapèze de grande base [EF][\text{EF}], que peut-on dire des vecteurs EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} ?


2. Exprimer, en fonction de k,k , le déterminant de EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et GH.\overrightarrow{\mathrm{GH}}.


3. On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=49,5x28715.f(x)=49{,}5 x-\dfrac{287}{15}.
a. Quel est le lien entre la fonction ff et le déterminant de EF\overrightarrow{\mathrm{EF}} et GH\overrightarrow{\mathrm{GH}} ?

b. Pourquoi doit-on trouver un antécédent de 00 par la fonction ff ?

c. Représenter graphiquement la fonction ff à la calculatrice.


4. Déterminer un encadrement de kk à 10-2 près pour lequel le quadrilatère EFGH\text{EFGH} est un trapèze.
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