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TRAVAILLER ENSEMBLE


Composition d’homothéties





Soient A\text{A} et B\text{B} deux points distincts du plan. k1k_1 et k2k_2 sont deux réels strictement positifs. On note h1h_1 l’homothétie de centre A\text{A} et de rapport k1,k_1, et h2h_2 l’homothétie de centre B\text{B} et de rapport k2.k_2. Le but est de déterminer, suivant les valeurs de k1k_1 et k2,k_2, un moyen d’obtenir l’image d’un point par h1h_1 puis par h2.h_2.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ☆☆

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Dans cette partie, on prendra k1=2k_{1}=2 et k2=12.k_{2}=\dfrac{1}{2}.

Composition d’homothéties

1. Construire M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' les images de M,\text{M}, N\text{N} et P\text{P} par h1.h_1.


2. Construire M,\text{M}'', N\text{N}'' et P\text{P}'' les images de M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' par h2.h_2.


3. Proposer une méthode pour construire directement C\text{C}'' à partir de C,\text{C}, C\text{C} est un point quelconque du plan.

PARTIE 2 ★★

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Dans cette partie, on prendra k1=3k_{1}=3 et k2=13.k_{2}=\dfrac{1}{3}.

Composition d’homothéties

1. Construire M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' les images de M,\text{M}, N\text{N} et P\text{P} par h1.h_1.


2. Construire M,\text{M}'', N\text{N}'' et P\text{P}'' les images de M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' par h2.h_2.


3. Proposer une méthode pour construire directement C\text{C}'' à partir de C,\text{C}, C\text{C} est un point quelconque du plan.

PARTIE 3 ★★★

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Dans cette partie, on prendra k1=2k_{1}=2 et k2=13.k_{2}=\dfrac{1}{3}.

Composition d’homothéties

1. Construire M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' les images de M,\text{M}, N\text{N} et P\text{P} par h1.h_1.


2. Construire M,\text{M}'', N\text{N}'' et P\text{P}'' les images de M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' par h2.h_2.


3. Que peut-on dire des vecteurs MP\overrightarrow{\mathrm{MP}} et MP?\overrightarrow{\mathrm{M}''\mathrm{P}''}\:? Et des vecteurs MN\overrightarrow{\mathrm{MN}} et MN?\overrightarrow{\mathrm{M}''\mathrm{N}''}\:? Et des triangles MNP\text{MNP} et MNP?\text{M}''\text{N}''\text{P}'' \: ?


4. Tracer les droites (MM),\left(\mathrm{MM}^{\prime \prime}\right), (NN)\left(\mathrm{NN}^{\prime \prime}\right) et (PP).\left(\mathrm{PP}^{\prime \prime}\right). Que remarque-t-on ?


5. Proposer une méthode pour construire directement C\text{C}'' à partir de C,\text{C}, C\text{C} est un point quelconque du plan.

PARTIE 4 ★★★

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Dans cette partie, on prendra k1=12k_{1}=\dfrac{1}{2} et k2=3.k_{2}=3.

Composition d’homothéties

1. Construire M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' les images de M,\text{M}, N\text{N} et P\text{P} par h1.h_1.


2. Construire M,\text{M}'', N\text{N}'' et P\text{P}'' les images de M,\text{M}', N\text{N}' et P\text{P}' par h2.h_2.


3. Que peut-on dire des vecteurs MP\overrightarrow{\mathrm{MP}} et MP?\overrightarrow{\mathrm{M}''\mathrm{P}''}\:? Et des vecteurs MN\overrightarrow{\mathrm{MN}} et MN?\overrightarrow{\mathrm{M}''\mathrm{N}''}\:? Et des triangles MNP\text{MNP} et MNP?\text{M}''\text{N}''\text{P}'' \: ?


4. Proposer une méthode pour construire directement C\text{C}'' à partir de C,\text{C}, C\text{C} est un point quelconque du plan.
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Mise en commun

Conjecturer, suivant les valeurs de k1k_1 et k2,k_2, une méthode pour construire directement l’image d’un point C\text{C} quelconque du plan par h1h_1 puis par h2.h_2.
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