Théorème de Ménélaüs

1. En utilisant $\overrightarrow{{\mathrm{BA}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{{\mathrm{CA}}^{\prime }},$ montrer que $\overrightarrow{{\mathrm{BA}}^{\prime }}=\frac{a}{a-1}\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

2. Exprimer les coordonnées de ${\text{A}}^{\prime }$ en fonction de $a,$ celles de ${\text{B}}^{\prime }$ en fonction $b$ et celles de ${\text{C}}^{\prime }$ en fonction de $c.$

1. Construire les points $\text{A},$ $\text{B}$ et $\text{C}.$
2. Créer trois curseurs nommés $a,b$ et $c,$ (incrémentation de $0,01,$ $min=-10,$ $max=10$) avec la commande
3. À l'aide des questions préliminaires, placer les points ${\text{A}}^{\prime },$ ${\text{B}}^{\prime }$ et ${\text{C}}^{\prime }$ puis tracer la droite $({\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }).$ Par exemple, pour le point ${\text{A}}^{\prime },$ on peut écrire :

4. Dans chacun des cas suivants, conjecturer une valeur de $c$ pour que les points ${\text{A}}^{\prime },$ ${\text{B}}^{\prime }$ et ${\text{C}}^{\prime }$ soient alignés.

$a=-0,5$ et $b=0,4$

$a=0,2$ et $b=-5$

$a=4$ et $b=-0,5$

5. Faire d'autres tests et conjecturer une relation entre les coefficients $a,b$ et $c$ pour que les points ${\text{A}}^{\prime },$ ${\text{B}}^{\prime }$ et ${\text{C}}^{\prime }$ soient alignés.
Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex : $a+b+c$).

Le tableur va nous permettre de tester différentes valeurs de $a$ et $b$ en fixant la valeur de $c,$ et d'essayer d'en extraire une conjecture. Dans cette méthode, nous allons fixer la valeur $c=0,5.$ 1. Calculer les coordonnées de ${\text{C}}^{\prime }.$

2. Exprimer les coordonnées de $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}$ en fonction de $a$ et $b.$

3. Dans un tableur, reproduire le tableau ci-dessous (la première colonne étant les valeurs de $a$ et la première ligne, les valeurs de $b$).

4. Dans la case B2, écrire une formule qui permet de calculer le déterminant de $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}$ quand $a=-2$ et $b=-2$ puis étirer cette cellule pour calculer le déterminant pour toutes les cellules à l'écran en s'aidant des cellules A2 et B1 et en n'oubliant pas d'utiliser le symbole $\$$.

5. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ les vecteurs $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}$ sont-ils colinéaires (sans oublier que $c=0,5$) ?

6. Conjecturer une relation entre les coefficients $a,b$ et $c$ pour que les points $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}$ soient alignés.
Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex : $a+b+c$).