TP / TICE 2


Théorème de Ménélaüs




Pour aller plus loin


En fixant une valeur de c,c, écrire un programme avec Python qui calcule le déterminant de AB\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et AC\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} et le produit abcabc pour toutes les valeurs de aa et bb entre 2–2 et 22 avec un pas de 0,1.0{,}1.


Énoncé

Soient A(3;3),B(3;1)\mathrm{A}(-3\: ; 3), \mathrm{B}(3\: ;-1) et C(1;5)\mathrm{C}(1\: ; 5) trois points non alignés du plan muni d’un repère orthonormé.
On note A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' les points tels que : AB=aAC,BC=bBA\overrightarrow{\mathrm{A}' \mathrm{B}}=a \overrightarrow{\mathrm{A}' \mathrm{C}}, \overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{C}}=b \overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{A}} et CA=cCB\overrightarrow{\mathrm{C}'\text{A}}=c \overrightarrow{\mathrm{C}' \mathrm{B}}a,ba, b et cc sont des nombres réels différents de 1.1.

Questions préliminaires :

1. En utilisant BA=BC+CA,\overrightarrow{\mathrm{BA}'}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}'}, montrer que BA=aa1BC.\overrightarrow{\mathrm{BA}'}=\dfrac{a}{a-1} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.


2. Exprimer les coordonnées de A\text{A}' en fonction de a,a, celles de B\text{B}' en fonction bb et celles de C\text{C}' en fonction de c.c.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

Le tableur va nous permettre de tester différentes valeurs de aa et bb en fixant la valeur de c,c, et d’essayer d’en extraire une conjecture. Dans cette méthode, nous allons fixer la valeur c=0,5.c = 0{,}5 .

1. Calculer les coordonnées de C.\text{C}'.


2. Exprimer les coordonnées de AB\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et AC\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} en fonction de aa et b.b .


3. Dans un tableur, reproduire le tableau ci-dessous (la première colonne étant les valeurs de aa et la première ligne, les valeurs de bb).

Théorème de Ménélaüs
Lancer le module Geogebra
4. Dans la case B2, écrire une formule qui permet de calculer le déterminant de AB\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et AC\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} quand a=2a = -2 et b=2b = -2 puis étirer cette cellule pour calculer le déterminant pour toutes les cellules à l’écran en s’aidant des cellules A2 et B1 et en n’oubliant pas d’utiliser le symbole $\bf{\$}.

5. Pour quelles valeurs de aa et bb les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et AC\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} sont-ils colinéaires (sans oublier que c=0,5c = 0{,}5 ) ?


6. Conjecturer une relation entre les coefficients a,ba , b et cc pour que les points A,B\text{A} , \text{B} et C\text{C} soient alignés.
Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex : a+b+ca + b + c ).

Objectif

Le but de cette activité est de conjecturer, en utilisant une des deux méthodes, une relation entre les coefficients a,ba , b et cc pour que les points A,\text{A}' , B\text{B}' et C\text{C}' soient alignés.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

L’utilisation de GeoGebra va nous permettre de faire varier a,ba , b et c,c , et d’observer immédiatement les conséquences pour essayer de dégager une conjecture.

Lancer le module Geogebra
1. Construire les points A,\text{A}, B\text{B} et C.\text{C}.
2. Créer trois curseurs nommés a,ba , b et c,c , (incrémentation de 0,01,0{,}01, min=10,min = -10 , max=10max = 10 ) avec la commande
Théorème de Ménélaüs
.
3. À l’aide des questions préliminaires, placer les points A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' puis tracer la droite (AB).(\text{A}'\text{B}'). Par exemple, pour le point A,\text{A}', on peut écrire :

Théorème de Ménélaüs

4. Dans chacun des cas suivants, conjecturer une valeur de cc pour que les points A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' soient alignés.
  • a=0,5a = -0{,}5 et b=0,4b = 0{,}4
  • a=0,2a = 0{,}2 et b=5b = -5
  • a=4a = 4 et b=0,5b = -0{,}5


  • 5. Faire d’autres tests et conjecturer une relation entre les coefficients a,ba , b et cc pour que les points A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' soient alignés.
    Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex : a+b+ca + b + c ).
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