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Énoncé
Soient \mathrm{A}(-3\: ; 3), \mathrm{B}(3\: ;-1) et \mathrm{C}(1\: ; 5) trois points non alignés du plan muni d'un repère orthonormé.
On note \text{A}',\text{B}' et \text{C}' les points tels que : \overrightarrow{\mathrm{A}' \mathrm{B}}=a \overrightarrow{\mathrm{A}' \mathrm{C}}, \overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{C}}=b \overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{A}} et \overrightarrow{\mathrm{C}'\text{A}}=c \overrightarrow{\mathrm{C}' \mathrm{B}} où a, b et c sont des nombres réels différents de 1. Questions préliminaires :
1.En utilisant \overrightarrow{\mathrm{BA}'}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}'}, montrer que \overrightarrow{\mathrm{BA}'}=\dfrac{a}{a-1} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2.Exprimer les coordonnées de \text{A}' en fonction de a, celles de \text{B}' en fonction b et celles de \text{C}' en fonction de c.
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Objectif
Le but de cette activité est de conjecturer, en utilisant une des deux méthodes, une relation entre les coefficients a , b et c pour que les points \text{A}' ,\text{B}' et \text{C}' soient alignés.
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Méthode 1
GeoGebra
L'utilisation de GeoGebra va nous permettre de faire varier a , b et c , et d'observer immédiatement les conséquences pour essayer de dégager une conjecture.
GeoGebra
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1. Construire les points \text{A},\text{B} et \text{C}. 2. Créer trois curseurs nommés a , b et c , (incrémentation de 0{,}01,min = -10 ,max = 10 ) avec la commande
Le zoom est accessible dans la version Premium.
.
3. À l'aide des questions préliminaires, placer les
points \text{A}',\text{B}' et \text{C}' puis tracer la droite (\text{A}'\text{B}'). Par exemple, pour le point \text{A}', on peut écrire :
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4. Dans chacun des cas suivants, conjecturer une
valeur de c pour que les points \text{A}',\text{B}' et \text{C}' soient alignés.
a = -0{,}5 et b = 0{,}4
a = 0{,}2 et b = -5
a = 4 et b = -0{,}5
5. Faire d'autres tests et conjecturer une relation entre les coefficients a , b et c pour que les points \text{A}',\text{B}' et \text{C}' soient alignés.
Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex : a + b + c ).
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Méthode 2
Tableur
Le tableur va nous permettre de tester différentes valeurs de a et b en fixant la valeur de c, et d'essayer d'en extraire une conjecture. Dans cette méthode, nous allons fixer la valeur c = 0{,}5 .1.Calculer les coordonnées de \text{C}'.
2.Exprimer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} en fonction de a et b .
3. Dans un tableur, reproduire le tableau ci-dessous
(la première colonne étant les valeurs de a et la première ligne, les valeurs de b).
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4. Dans la case B2, écrire une formule qui permet de calculer le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} quand a = -2 et b = -2 puis étirer cette cellule pour calculer le déterminant pour toutes les cellules à l'écran en s'aidant des cellules A2 et B1 et en n'oubliant pas d'utiliser le symbole \bf{\$}.
5.Pour quelles valeurs de a et b les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} sont-ils colinéaires (sans oublier que c = 0{,}5 ) ?
6.Conjecturer une relation entre les coefficients a , b et c pour que les points \text{A} , \text{B} et \text{C} soient alignés.
Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex : a + b + c ).
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Pour aller plus loin
En fixant une valeur de c, écrire un programme avec Python qui calcule le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} et le produit abc pour toutes les valeurs de a et b entre –2 et 2 avec un pas de 0{,}1.
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