Applications

Voir exercice

73

p. 211.

Déplacer les extrémités des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ pour modifier le déterminant de ces deux vecteurs et l'aire du parallélograme qu'ils engendrent.

Soient $\mathrm{A}(5;-2),$ $\mathrm{B}(-6;8),$ $\mathrm{T}(-12;22)$ et $\mathrm{U}(3;-1)$ quatre points dans un repère. Calculer le déterminant de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{TU}}.$ Que peut-on en déduire ?

$x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=-6-5=-11$ et $y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=8-(-2)=10$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}-11\\ 10\end{array}\right).$
$x_{\mathrm{U}}-x_{\mathrm{T}}=3-(-12)=15$ et $y_{\mathrm{U}}-y_{\mathrm{T}}=-1-22=-23$ soit $\overrightarrow{\mathrm{TU}}\left(\begin{array}{c}15\\ -23\end{array}\right).$
On a : $\det (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{TU}})=-11\times (-23)-15\times 10=253-150=103.$
On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{TU}}$ ne sont pas colinéaires.

Exercices

26

et

27

p. 207

1. Calculer les coordonnées des vecteurs dont on veut le déterminant.

2. Utiliser la formule du déterminant.

Sur l'écran de contrôle aérien, à un instant, un avion $\text{A}$ est au point de coordonnées ${\mathrm{A}}_1(25;18)$ et un avion $\text{B}$ est au point de coordonnées ${\mathrm{B}}_1(183;57).$ Quelques minutes plus tard, l'avion $\text{A}$ est au point de coordonnées ${\mathrm{A}}_2(38;47)$ et l'avion $\text{B}$ au point de coordonnées ${\mathrm{B}}_2(-51;-465).$ Ces deux avions ont-ils des trajectoires qui se coupent sur l'écran de contrôle ?

$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}38-25\\ 47-18\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}13\\ 29\end{array}\right).$
$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-51-183\\ -465-57\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}-234\\ -522\end{array}\right).$
$\det \left(\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2};\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2}\right)=13\times (-522)-(-234)\times 29=-6786+6786=0.$
Les trajectoires sont donc parallèles et ne se coupent pas.



Exercices

29

et

30

p. 207 et

68

p. 211

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$ les points $\mathrm{A}(-3;2),$ $\mathrm{B}(-1;0)$ et $\mathrm{C}(1;-1)$ sont-ils alignés ?