COURS 2


2
Applications




A
Déterminant de deux vecteurs

Remarque

  • det(u;u)=0\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{u})=0
  • det(v;u)=det(u;v)\operatorname{det}(\vec{v} \:; \vec{u})= -\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v})

  • Définition

    Soient u\vec{u} et v,\vec{v}, deux vecteurs de coordonnées respectives (xy)\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix}et (xy).\begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix}.
    Le déterminant de u\vec{u} et v\vec{v} est le réel xyyx.x y^{\prime}-y x^{\prime}. On le note det(u;v).\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v}).

    NOTATION

    On note aussi det(u;v)=xxyy.\operatorname{det}(\vec{u} \: ; \vec{v})=\begin{vmatrix}{x} & {x^{\prime}} \\ {y} & {y^{\prime}}\end{vmatrix}.

    DÉMONSTRATION

    Voir exercice
    73
    p. 211.

    Propriété

    Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.

    Exemple

    u(924)\vec{u}\begin{pmatrix}{-9} \\ {24}\end{pmatrix} et v(616)\vec{v}\begin{pmatrix}{6} \\ {-16}\end{pmatrix} sont colinéaires car det(u;v)=9×(16)24×6=144144=0.\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v})=-9 \times(-16)-24 \times 6=144-144=0.

    Application et méthode

    Énoncé

    ►► Tester si des points sont alignés

    Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), les points A(3;2),\mathrm{A}(-3\: ; 2), B(1;0)\mathrm{B}(-1 \:; 0) et C(1;1)\mathrm{C}(1 \:;-1) sont-ils alignés ?

    Méthode

    1. Déterminer les coordonnées de deux vecteurs qui ont un point commun.

    2. Calculer leur déterminant.

    3. Conclure.

    Énoncé

    ►► Tester si deux droites sont parallèles

    Sur l’écran de contrôle aérien, à un instant, un avion A\text{A} est au point de coordonnées A1(25;18)\mathrm{A}_{1}(25\: ; 18) et un avion B\text{B} est au point de coordonnées B1(183;57).\mathrm{B}_{1}(183\: ; 57). Quelques minutes plus tard, l’avion A\text{A} est au point de coordonnées A2(38;47)\mathrm{A}_{2}(38 \: ; 47) et l’avion B\text{B} au point de coordonnées B2(51;465).\mathrm{B}_{2}(-51\: ;-465). Ces deux avions ont-ils des trajectoires qui se coupent sur l’écran de contrôle ?

    SOLUTION

    AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées (22)\begin{pmatrix}{2} \\ {-2}\end{pmatrix} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées (43).\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix}.
    det(AB;AC)=2×(3)(2)×4=6+8=2\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=2 \times(-3)-(-2) \times 4=-6+8=2
    202 \neq 0 donc A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} ne sont pas alignés.

    Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 207 et 67 p. 211

    SOLUTION

    A1A2\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} a pour coordonnées (38254718)\begin{pmatrix}{38-25} \\ {47-18}\end{pmatrix} soit (1329).\begin{pmatrix}{13} \\ {29}\end{pmatrix}.
    B1B2\overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}} a pour coordonnées (5118346557)\begin{pmatrix}{-51-183} \\ {-465-57}\end{pmatrix} soit (234522).\begin{pmatrix}{-234} \\ {-522}\end{pmatrix}.
    det(A1A2;B1B2)=13×(522)(234)×29=6786+6786=0.\operatorname{det}\left(\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} \:; \overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}}\right)=13 \times(-522)-(-234) \times 29=-6\,786+6\,786=0.
    Les trajectoires sont donc parallèles et ne se coupent pas.

    Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 207 et 68 p. 211

    Méthode

    1. Déterminer les coordonnées de vecteurs directeurs aux droites qui nous intéressent.

    2. Étudier la colinéarité de ces vecteurs.

    3. Conclure sur le parallélisme.

    Application et méthode

    Énoncé

    Soient A(5;2),\mathrm{A}(5 \:;-2), B(6;8),\mathrm{B}(-6\: ; 8), T(12;22)\mathrm{T}(-12\: ; 22) et U(3;1)\mathrm{U}(3\: ;-1) quatre points dans un repère.
    Calculer le déterminant de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et TU.\overrightarrow{\mathrm{TU}}. Que peut-on en déduire ?

    Méthode

    1. Calculer les coordonnées des vecteurs dont on veut le déterminant.

    2. Utiliser la formule du déterminant.

    SOLUTION

    xBxA=65=11x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=-6-5=-11 et yByA=8(2)=10y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=8-(-2)=10 soit AB(1110).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-11} \\ {10}\end{pmatrix}.
    xUxT=3(12)=15x_{\mathrm{U}}-x_{\mathrm{T}}=3-(-12)=15 et yUyT=122=23y_{\mathrm{U}}-y_{\mathrm{T}}=-1-22=-23 soit TU(1523).\overrightarrow{\mathrm{TU}}\begin{pmatrix}{15} \\ {-23}\end{pmatrix}.
    On a : det(AB;TU)=11×(23)15×10=253150=83.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{TU}})=-11 \times(-23)-15 \times 10=253-150=83.
    On en déduit que les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et TU\overrightarrow{\mathrm{TU}} ne sont pas colinéaires.

    Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 207

    B
    Parallélisme


    Exemple

    Soient A(5;8),B(3;1)\mathrm{A}(5 \:; 8), \mathrm{B}(-3\: ;-1) et C(1;9)\mathrm{C}(-1\: ; 9) trois points dans un repère.
    On a AB(89)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-8} \\ {-9}\end{pmatrix} et AC(61).\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {1}\end{pmatrix}. On peut calculer le déterminant de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC:\overrightarrow{\mathrm{AC}}:
    det(AB;AC)=8×1(6×(9))=62.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-8 \times 1-(-6 \times(-9))=-62. Donc det(AB;AC)0.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}) \neq 0.
    Par conséquent, A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} ne sont pas alignés.

    Propriété

    Les droites (AB)(\text{AB}) et (CD)(\text{CD}) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires.

    Colinéarité de vecteurs

    LOGIQUE

    Si les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles alors det(AB;CD)=0.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0.
    Réciproquement, si det(AB;CD)=0\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0 alors (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.

    Remarque

    On peut aussi utiliser par exemple les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et BC.\overrightarrow{\mathrm{BC}}.

    DÉMONSTRATION

    Supposons que AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} soient colinéaires.
    Si AB=CD:ABDC\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}} : \mathrm{ABDC} est un parallélogramme donc (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.
    Si ABCD:\overrightarrow{\mathrm{AB}} \neq \overrightarrow{\mathrm{CD}} : on note E\text{E} le point d’intersection de (AC)(\mathrm{AC}) et (BD).(\mathrm{BD}).
    Il existe un réel λ\lambda non nul tel que CD=λAB\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}} (λ1).(\lambda \neq 1). Par conséquent, C\mathrm{C} est l’image de A\mathrm{A} par l’homothétie de centre E\mathrm{E} et de rapport λ.\lambda. De même, D\mathrm{D} est l’image de B\mathrm{B} par cette homothétie.

    Colinéarité de vecteurs
    On a alors : EBED=EAEC=ABCD=1λ\dfrac{\text{EB}}{\text{ED}}=\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}=\dfrac{1}{\lambda} et les points E,B,D \text{E}, \text{B}, \text{D} et E,A,C\text{E}, \text{A}, \text{C} alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.
    Réciproquement, si (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles alors AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} ont la même direction : ils sont donc colinéaires.

    DÉMONSTRATION

    Dire que A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} sont alignés est équivalent à dire que les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (AC)(\mathrm{AC}) sont confondues (donc parallèles avec un point commun). Ce qui revient à dire que les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

    Propriété

    Soient A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} trois points distincts deux à deux. Les points A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.
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