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COURS 2


2
Applications




A
Déterminant de deux vecteurs


Définition

Soient u\vec{u} et v,\vec{v}, deux vecteurs de coordonnées respectives (xy)\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix}et (xy).\begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix}.
Le déterminant de u\vec{u} et v\vec{v} est le réel xyyx.x y^{\prime}-y x^{\prime}. On le note det(u;v).\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v}).

NOTATION

On note aussi det(u;v)=xxyy.\operatorname{det}(\vec{u} \: ; \vec{v})=\begin{vmatrix}{x} & {x^{\prime}} \\ {y} & {y^{\prime}}\end{vmatrix}.

Propriété

Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
73
p. 211.

Remarque

  • det(u;u)=0\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{u})=0
  • det(v;u)=det(u;v)\operatorname{det}(\vec{v} \:; \vec{u})= -\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v})

  • Exemple

    u(924)\vec{u}\begin{pmatrix}{-9} \\ {24}\end{pmatrix} et v(616)\vec{v}\begin{pmatrix}{6} \\ {-16}\end{pmatrix} sont colinéaires car det(u;v)=9×(16)24×6=144144=0.\operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v})=-9 \times(-16)-24 \times 6=144-144=0.

    Application et méthode

    Énoncé

    Soient A(5;2),\mathrm{A}(5 \:;-2), B(6;8),\mathrm{B}(-6\: ; 8), T(12;22)\mathrm{T}(-12\: ; 22) et U(3;1)\mathrm{U}(3\: ;-1) quatre points dans un repère.
    Calculer le déterminant de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et TU.\overrightarrow{\mathrm{TU}}. Que peut-on en déduire ?

    Méthode

    1. Calculer les coordonnées des vecteurs dont on veut le déterminant.

    2. Utiliser la formule du déterminant.

    SOLUTION

    xBxA=65=11x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=-6-5=-11 et yByA=8(2)=10y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=8-(-2)=10 soit AB(1110).\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-11} \\ {10}\end{pmatrix}.
    xUxT=3(12)=15x_{\mathrm{U}}-x_{\mathrm{T}}=3-(-12)=15 et yUyT=122=23y_{\mathrm{U}}-y_{\mathrm{T}}=-1-22=-23 soit TU(1523).\overrightarrow{\mathrm{TU}}\begin{pmatrix}{15} \\ {-23}\end{pmatrix}.
    On a : det(AB;TU)=11×(23)15×10=253150=83.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{TU}})=-11 \times(-23)-15 \times 10=253-150=83.
    On en déduit que les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et TU\overrightarrow{\mathrm{TU}} ne sont pas colinéaires.

    Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 207

    B
    Parallélisme


    Propriété

    Les droites (AB)(\text{AB}) et (CD)(\text{CD}) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires.

    Colinéarité de vecteurs

    LOGIQUE

    Si les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles alors det(AB;CD)=0.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0.
    Réciproquement, si det(AB;CD)=0\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0 alors (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.

    DÉMONSTRATION

    Supposons que AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} soient colinéaires.
    Si AB=CD:ABDC\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}} : \mathrm{ABDC} est un parallélogramme donc (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.
    Si ABCD:\overrightarrow{\mathrm{AB}} \neq \overrightarrow{\mathrm{CD}} : on note E\text{E} le point d’intersection de (AC)(\mathrm{AC}) et (BD).(\mathrm{BD}).
    Il existe un réel λ\lambda non nul tel que CD=λAB\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}} (λ1).(\lambda \neq 1). Par conséquent, C\mathrm{C} est l’image de A\mathrm{A} par l’homothétie de centre E\mathrm{E} et de rapport λ.\lambda. De même, D\mathrm{D} est l’image de B\mathrm{B} par cette homothétie.

    Colinéarité de vecteurs
    On a alors : EBED=EAEC=ABCD=1λ\dfrac{\text{EB}}{\text{ED}}=\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}=\dfrac{1}{\lambda} et les points E,B,D \text{E}, \text{B}, \text{D} et E,A,C\text{E}, \text{A}, \text{C} alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.
    Réciproquement, si (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles alors AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} ont la même direction : ils sont donc colinéaires.

    Propriété

    Soient A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} trois points distincts deux à deux. Les points A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

    Remarque

    On peut aussi utiliser par exemple les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et BC.\overrightarrow{\mathrm{BC}}.

    DÉMONSTRATION

    Dire que A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} sont alignés est équivalent à dire que les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (AC)(\mathrm{AC}) sont confondues (donc parallèles avec un point commun). Ce qui revient à dire que les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

    Exemple

    Soient A(5;8),B(3;1)\mathrm{A}(5 \:; 8), \mathrm{B}(-3\: ;-1) et C(1;9)\mathrm{C}(-1\: ; 9) trois points dans un repère.
    On a AB(89)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-8} \\ {-9}\end{pmatrix} et AC(61).\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {1}\end{pmatrix}. On peut calculer le déterminant de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC:\overrightarrow{\mathrm{AC}}:
    det(AB;AC)=8×1(6×(9))=62.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-8 \times 1-(-6 \times(-9))=-62. Donc det(AB;AC)0.\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}) \neq 0.
    Par conséquent, A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} ne sont pas alignés.

    Application et méthode

    Énoncé

    ►► Tester si deux droites sont parallèles

    Sur l’écran de contrôle aérien, à un instant, un avion A\text{A} est au point de coordonnées A1(25;18)\mathrm{A}_{1}(25\: ; 18) et un avion B\text{B} est au point de coordonnées B1(183;57).\mathrm{B}_{1}(183\: ; 57). Quelques minutes plus tard, l’avion A\text{A} est au point de coordonnées A2(38;47)\mathrm{A}_{2}(38 \: ; 47) et l’avion B\text{B} au point de coordonnées B2(51;465).\mathrm{B}_{2}(-51\: ;-465). Ces deux avions ont-ils des trajectoires qui se coupent sur l’écran de contrôle ?

    Méthode

    1. Déterminer les coordonnées de vecteurs directeurs aux droites qui nous intéressent.

    2. Étudier la colinéarité de ces vecteurs.

    3. Conclure sur le parallélisme.

    SOLUTION

    A1A2\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} a pour coordonnées (38254718)\begin{pmatrix}{38-25} \\ {47-18}\end{pmatrix} soit (1329).\begin{pmatrix}{13} \\ {29}\end{pmatrix}.
    B1B2\overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}} a pour coordonnées (5118346557)\begin{pmatrix}{-51-183} \\ {-465-57}\end{pmatrix} soit (234522).\begin{pmatrix}{-234} \\ {-522}\end{pmatrix}.
    det(A1A2;B1B2)=13×(522)(234)×29=6786+6786=0.\operatorname{det}\left(\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} \:; \overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}}\right)=13 \times(-522)-(-234) \times 29=-6\,786+6\,786=0.
    Les trajectoires sont donc parallèles et ne se coupent pas.

    Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 207 et 68 p. 211

    Énoncé

    ►► Tester si des points sont alignés

    Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), les points A(3;2),\mathrm{A}(-3\: ; 2), B(1;0)\mathrm{B}(-1 \:; 0) et C(1;1)\mathrm{C}(1 \:;-1) sont-ils alignés ?

    Méthode

    1. Déterminer les coordonnées de deux vecteurs qui ont un point commun.

    2. Calculer leur déterminant.

    3. Conclure.

    SOLUTION

    AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées (22)\begin{pmatrix}{2} \\ {-2}\end{pmatrix} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées (43).\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix}.
    det(AB;AC)=2×(3)(2)×4=6+8=2\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=2 \times(-3)-(-2) \times 4=-6+8=2
    202 \neq 0 donc A,B\text{A}, \text{B} et C\text{C} ne sont pas alignés.

    Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 207 et 67 p. 211
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