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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 7
Cours 2
Applications
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ADéterminant de deux vecteurs
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Définition
Soient \vec{u} et \vec{v}, deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix}et \begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix}.
Le déterminant de \vec{u} et \vec{v} est le réel x y^{\prime}-y x^{\prime}. On le note \operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v}).
Le déterminant de \vec{u} et \vec{v} est le réel x y^{\prime}-y x^{\prime}. On le note \operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v}).
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On note aussi \operatorname{det}(\vec{u} \: ; \vec{v})=\begin{vmatrix}{x} & {x^{\prime}} \\ {y} & {y^{\prime}}\end{vmatrix}.
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Propriété
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Genially
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Exemple
\vec{u}\begin{pmatrix}{-9} \\ {24}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{6} \\ {-16}\end{pmatrix} sont colinéaires car \operatorname{det}(\vec{u} \:; \vec{v})=-9 \times(-16)-24 \times 6=144-144=0.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacer les extrémités des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} pour modifier le déterminant de ces deux vecteurs et l'aire du parallélograme qu'ils engendrent.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
Soient \mathrm{A}(5 \:;-2), \mathrm{B}(-6\: ; 8), \mathrm{T}(-12\: ; 22) et \mathrm{U}(3\: ;-1) quatre points dans un repère.
Calculer le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{TU}}. Que peut-on en déduire ?
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Solution
x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=-6-5=-11 et y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=8-(-2)=10 soit \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-11} \\ {10}\end{pmatrix}.
x_{\mathrm{U}}-x_{\mathrm{T}}=3-(-12)=15 et y_{\mathrm{U}}-y_{\mathrm{T}}=-1-22=-23 soit \overrightarrow{\mathrm{TU}}\begin{pmatrix}{15} \\ {-23}\end{pmatrix}.
On a : \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{TU}})=-11 \times(-23)-15 \times 10=253-150=103.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{TU}} ne sont pas colinéaires.
x_{\mathrm{U}}-x_{\mathrm{T}}=3-(-12)=15 et y_{\mathrm{U}}-y_{\mathrm{T}}=-1-22=-23 soit \overrightarrow{\mathrm{TU}}\begin{pmatrix}{15} \\ {-23}\end{pmatrix}.
On a : \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{TU}})=-11 \times(-23)-15 \times 10=253-150=103.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{TU}} ne sont pas colinéaires.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 207
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1. Calculer les coordonnées des vecteurs dont on veut le déterminant.
2. Utiliser la formule du déterminant.
2. Utiliser la formule du déterminant.
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BParallélisme
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Propriété
Les droites (\text{AB}) et (\text{CD}) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Si les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles alors \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0.
Réciproquement, si \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0 alors (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
Réciproquement, si \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{CD}})=0 alors (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
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Démonstration
Supposons que \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} soient colinéaires.
Si \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}} : \mathrm{ABDC} est un parallélogramme donc (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
Si \overrightarrow{\mathrm{AB}} \neq \overrightarrow{\mathrm{CD}} : on note \text{E} le point d'intersection de (\mathrm{AC}) et (\mathrm{BD}).
Il existe un réel \lambda non nul tel que \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\lambda \neq 1). Par conséquent, \mathrm{C} est l'image de \mathrm{A} par l'homothétie de centre \mathrm{E} et de rapport \lambda. De même, \mathrm{D} est l'image de \mathrm{B} par cette homothétie.
Si \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}} : \mathrm{ABDC} est un parallélogramme donc (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
Si \overrightarrow{\mathrm{AB}} \neq \overrightarrow{\mathrm{CD}} : on note \text{E} le point d'intersection de (\mathrm{AC}) et (\mathrm{BD}).
Il existe un réel \lambda non nul tel que \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\lambda \neq 1). Par conséquent, \mathrm{C} est l'image de \mathrm{A} par l'homothétie de centre \mathrm{E} et de rapport \lambda. De même, \mathrm{D} est l'image de \mathrm{B} par cette homothétie.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
On a alors : \dfrac{\text{EB}}{\text{ED}}=\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}=\dfrac{1}{\lambda} et les points \text{E}, \text{B}, \text{D} et \text{E}, \text{A}, \text{C} alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
Réciproquement, si (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles alors \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} ont la même direction : ils sont donc colinéaires.
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Propriété
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points distincts deux à deux.
Les points \text{A}, \text{B} et \text{C} sont alignés si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.
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On peut aussi utiliser par exemple les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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Démonstration
Dire que \text{A}, \text{B} et \text{C} sont alignés est équivalent à dire que les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{AC}) sont confondues (donc parallèles avec un point commun). Ce qui revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.
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Exemple
Soient \mathrm{A}(5 \:; 8), \mathrm{B}(-3\: ;-1) et \mathrm{C}(-1\: ; 9) trois points dans un repère.
On a \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-8} \\ {-9}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {1}\end{pmatrix}. On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}:
\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-8 \times 1-(-6 \times(-9))=-62. Donc \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}) \neq 0.
Par conséquent, \text{A}, \text{B} et \text{C} ne sont pas alignés.
On a \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{-8} \\ {-9}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{-6} \\ {1}\end{pmatrix}. On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}:
\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-8 \times 1-(-6 \times(-9))=-62. Donc \operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}) \neq 0.
Par conséquent, \text{A}, \text{B} et \text{C} ne sont pas alignés.
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Application et méthode
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Tester si deux droites sont parallèles
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Énoncé
Sur l'écran de contrôle aérien, à un instant, un avion \text{A} est au point de coordonnées \mathrm{A}_{1}(25\: ; 18) et un avion \text{B} est au point de coordonnées \mathrm{B}_{1}(183\: ; 57). Quelques minutes plus tard, l'avion \text{A} est au point de coordonnées \mathrm{A}_{2}(38 \: ; 47) et l'avion \text{B} au point de coordonnées \mathrm{B}_{2}(-51\: ;-465). Ces deux avions ont-ils des trajectoires qui se coupent sur l'écran de contrôle ?
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Solution
\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{38-25} \\ {47-18}\end{pmatrix} soit \begin{pmatrix}{13} \\ {29}\end{pmatrix}.
\overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{-51-183} \\ {-465-57}\end{pmatrix} soit \begin{pmatrix}{-234} \\ {-522}\end{pmatrix}.
\operatorname{det}\left(\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} \:; \overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}}\right)=13 \times(-522)-(-234) \times 29=-6\,786+6\,786=0.
Les trajectoires sont donc parallèles et ne se coupent pas.
Exercices et p. 207 et p. 211
\overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{-51-183} \\ {-465-57}\end{pmatrix} soit \begin{pmatrix}{-234} \\ {-522}\end{pmatrix}.
\operatorname{det}\left(\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} \:; \overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{B}_{2}}\right)=13 \times(-522)-(-234) \times 29=-6\,786+6\,786=0.
Les trajectoires sont donc parallèles et ne se coupent pas.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 207 et p. 211
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1. Déterminer les coordonnées de vecteurs directeurs aux droites qui nous intéressent.
2. Étudier la colinéarité de ces vecteurs.
3. Conclure sur le parallélisme.
2. Étudier la colinéarité de ces vecteurs.
3. Conclure sur le parallélisme.
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Tester si des points sont alignés
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Énoncé
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), les points \mathrm{A}(-3\: ; 2), \mathrm{B}(-1 \:; 0) et \mathrm{C}(1 \:;-1) sont-ils alignés ?
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Solution
\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{2} \\ {-2}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées \begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix}.
\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=2 \times(-3)-(-2) \times 4=-6+8=2
2 \neq 0 donc \text{A}, \text{B} et \text{C} ne sont pas alignés.
Exercices et p. 207 et p. 211
\operatorname{det}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=2 \times(-3)-(-2) \times 4=-6+8=2
2 \neq 0 donc \text{A}, \text{B} et \text{C} ne sont pas alignés.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 207 et p. 211
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1. Déterminer les coordonnées de deux vecteurs
qui ont un point commun.
2. Calculer leur déterminant.
3. Conclure.
2. Calculer leur déterminant.
3. Conclure.
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