3

Congruences

$15=2\times 7+1$ et $21=2\times 10+1$ donc $15\equiv 21[2]$.

En particulier, si $a\equiv 0[m]$, alors $m|a$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

96

p. 109.

On dit que la relation de congruence est transitive.

DÉMONSTRATION

D’après les hypothèses, $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $m$, et $b$ et $c$ ont le même reste dans la division euclidienne par $m$, donc $a$ et $c$ ont le même reste dans la division euclidienne par $m$ donc $a\equiv c[m]$.

$251\equiv 8[3]$ et $8\equiv 2[3]$ donc $251\equiv 2[3]$.

$c\equiv c[m]$ donc, si $a\equiv b[m]$, alors $a+c\equiv b+c[m]$ et $a\times c\equiv b\times c[m]$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

97

p. 109.

Montrer en utilisant un tableau de congruence que, pour tout entier relatif $n$, $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $3$.

$8$ est inversible modulo $3$ car $8\times 2\equiv 1[3]$. $2$ est donc un inverse de $8$ modulo $2$.

1. Démontrer que $3$ est inversible modulo $5$.
2. Montrer que $4$ n’admet pas d’inverse modulo $6$.