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3. Congruences
P.98-99

COURS


3
Congruences




A
Définition


Définition

Soient un entier naturel non nul, et et deux entiers relatifs.
On dit que et sont congrus modulo lorsqu’ils ont le même reste dans la division euclidienne par .
On dit aussi que est congru à modulo .

NOTATION

On note ; ou .

Exemple

et donc .

Théorème

Soient un entier naturel non nul et et deux entiers relatifs. si, et seulement si, .

Remarque

En particulier, si , alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 109
.

B
Congruences et opérations


Propriété

Soient , et trois entiers relatifs et un entier naturel non nul.
Si et , alors .

Remarque

On dit que la relation de congruence est transitive.

DÉMONSTRATION

D’après les hypothèses, et ont le même reste dans la division euclidienne par , et et ont le même reste dans la division euclidienne par , donc et ont le même reste dans la division euclidienne par donc .

Exemple

et donc .

Propriétés

Soient , , et quatre entiers relatifs et un entier naturel non nul.
1. Compatibilité avec l'addition
Si et , alors .

2. Compatibilité avec la multiplication
Si et , alors .

3. Compatibilité avec les puissances
Soit un entier naturel non nul. Si , alors .

Cas particuliers

donc, si , alors et .

ATTENTION

Il n’y a pas de compatibilité avec la division : mais et ne sont pas congrus modulo .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
97
p. 109
.

Application et méthode - 5

Énoncé

Montrer en utilisant un tableau de congruence que, pour tout entier relatif , est divisible par .

C
Inverse modulo


Définition

Soient un entier relatif et un entier naturel non nul.
On dit que est inversible modulo lorsqu’il existe un entier tel que .

Exemple

est inversible modulo car . est donc un inverse de modulo .

Application et méthode - 6

Énoncé

1. Démontrer que est inversible modulo .
2. Montrer que n’admet pas d’inverse modulo .
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