Soient m un entier naturel non nul, et a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont congrus modulom lorsqu’ils ont le même reste dans la division euclidienne par m.
On dit aussi que a est congru à b modulo m.
NOTATION
On note a≡b[m] ; a≡b(m) ou a≡bmodm.
Exemple
15=2×7+1 et 21=2×10+1 donc 15≡21[2].
Théorème
Soient m un entier naturel non nul et a et b deux entiers relatifs. a≡b[m] si, et seulement si, m∣(a−b).
Soient a, b et c trois entiers relatifs et m un entier naturel non nul.
Si a≡b[m] et b≡c[m], alors a≡c[m].
Remarque
On dit que la relation de congruence est transitive.
DÉMONSTRATION
D’après les hypothèses, a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m, et b et c ont le même reste dans la division euclidienne par m, donc a et c ont le même reste dans la division euclidienne par m donc a≡c[m].
Exemple
251≡8[3] et 8≡2[3] donc 251≡2[3].
Propriétés
Soient a, b, c et d quatre entiers relatifs et m un entier naturel non nul. 1. Compatibilité avec l'addition
Si a≡b[m] et c≡d[m], alors a+c≡b+d[m].
2. Compatibilité avec la multiplication
Si a≡b[m] et c≡d[m], alors a×c≡b×d[m].
3. Compatibilité avec les puissances
Soit p un entier naturel non nul. Si a≡b[m], alors ap≡bp[m].
Cas particuliers
c≡c[m] donc, si a≡b[m], alors a+c≡b+c[m] et a×c≡b×c[m].
ATTENTION
Il n’y a pas de compatibilité avec la division : 62≡26[4] mais 31 et 13 ne sont pas congrus modulo 4.