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3. Congruences
P.98-99

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COURS


3
Congruences




A
Définition


Définition

Soient un entier naturel non nul, et et deux entiers relatifs.
On dit que et sont congrus modulo lorsqu’ils ont le même reste dans la division euclidienne par .
On dit aussi que est congru à modulo .

NOTATION

On note ; ou .

Exemple

et donc .

Théorème

Soient un entier naturel non nul et et deux entiers relatifs. si, et seulement si, .

Remarque

En particulier, si , alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
96
p. 109
.

B
Congruences et opérations


Propriété

Soient , et trois entiers relatifs et un entier naturel non nul.
Si et , alors .

Remarque

On dit que la relation de congruence est transitive.

DÉMONSTRATION

D’après les hypothèses, et ont le même reste dans la division euclidienne par , et et ont le même reste dans la division euclidienne par , donc et ont le même reste dans la division euclidienne par donc .

Exemple

et donc .

Propriétés

Soient , , et quatre entiers relatifs et un entier naturel non nul.
1. Compatibilité avec l'addition
Si et , alors .

2. Compatibilité avec la multiplication
Si et , alors .

3. Compatibilité avec les puissances
Soit un entier naturel non nul. Si , alors .

Cas particuliers

donc, si , alors et .

ATTENTION

Il n’y a pas de compatibilité avec la division : mais et ne sont pas congrus modulo .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
97
p. 109
.

Application et méthode - 5

Énoncé

Montrer en utilisant un tableau de congruence que, pour tout entier relatif , est divisible par .

Solution


On dresse un tableau de congruence de modulo 3.
1
Produit

On remarque que, pour tout entier , , c’est‑à‑dire que est divisible par .

Pour s'entraîner : exercices 50 et 51

Méthode

On recherche les restes possibles de dans la division par (conséquence de la division euclidienne).
On complète le tableau de congruence pour obtenir, dans la dernière ligne, les restes possibles de la division de par . Ces restes étant toujours nuls, on en déduit que, pour tout entier , est divisible par .

C
Inverse modulo


Définition

Soient un entier relatif et un entier naturel non nul.
On dit que est inversible modulo lorsqu’il existe un entier tel que .

Exemple

est inversible modulo car . est donc un inverse de modulo .

Application et méthode - 6

Énoncé

1. Démontrer que est inversible modulo .
2. Montrer que n’admet pas d’inverse modulo .

Solution


1. Soit un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo .


On a donc donc est un inverse de modulo .
Cet inverse n’est d’ailleurs pas unique : tout entier s’écrivant , avec , est un inverse de modulo .

2. Soit un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo .


Il n’existe pas d’entier tel que Donc n’admet pas d’inverse modulo .

Pour s'entraîner : exercices 52 et 53 p. 105

Méthode

1. On recherche un entier tel que .
Pour cela, on établit un tableau de congruence modulo , en recherchant les restes possibles de modulo . Dans le tableau, on recherche s’il existe un entier tel que . Dans ce cas, on observe que l’entier est une solution.

2. On établit un tableau de congruence modulo . On observe que n’est jamais congru à modulo .



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