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Congruences

On dresse un tableau de congruence de $n$ modulo 3.

On remarque que, pour tout entier $n$, $n(n+1)(2n+1)\equiv 0[3]$, c’est‑à‑dire que $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $3$.

Pour s'entraîner : exercices 50 et 51

On recherche les restes possibles de $n$ dans la division par $3$ (conséquence de la division euclidienne).
On complète le tableau de congruence pour obtenir, dans la dernière ligne, les restes possibles de la division de $n(n+1)(2n+1)$ par $3$. Ces restes étant toujours nuls, on en déduit que, pour tout entier $n$, $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $3$.

1. Soit $b$ un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo $5$.


On a donc $3\times 2\equiv 1[5]$ donc $2$ est un inverse de $3$ modulo $5$.
Cet inverse n’est d’ailleurs pas unique : tout entier s’écrivant $5k+2$, avec $k\in \mathbb{Z}$, est un inverse de $3$ modulo $5$.

2. Soit $c$ un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo $6$.


Il n’existe pas d’entier $c$ tel que $4c\equiv 1[6]$ Donc $4$ n’admet pas d’inverse modulo $6$.

Pour s'entraîner : exercices 52 et 53 p. 105

1. On recherche un entier $b$ tel que $3b\equiv 1[5]$.
Pour cela, on établit un tableau de congruence modulo $5$, en recherchant les restes possibles de $3b$ modulo $5$. Dans le tableau, on recherche s’il existe un entier $b$ tel que $3b\equiv 1[5]$. Dans ce cas, on observe que l’entier $2$ est une solution.

2. On établit un tableau de congruence modulo $6$. On observe que $4c$ n’est jamais congru à $1$ modulo $6$.