Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 3

Congruences

A
Définition

Définition
Soient un entier naturel non nul, et et deux entiers relatifs.
On dit que et sont congrus modulo lorsqu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par .
On dit aussi que est congru à modulo .

Notation

On note ; ou .
Exemple
et donc .
Théorème
Soient un entier naturel non nul et et deux entiers relatifs. si, et seulement si, .

Remarque

En particulier, si , alors .
Démonstration
Voir exercice p. 109.

B
Congruences et opérations

Propriété
Soient , et trois entiers relatifs et un entier naturel non nul.
Si et , alors .

Remarque

On dit que la relation de congruence est transitive.
Démonstration
D'après les hypothèses, et ont le même reste dans la division euclidienne par , et et ont le même reste dans la division euclidienne par , donc et ont le même reste dans la division euclidienne par donc .
Exemple
et donc .
Propriété
Soient , , et quatre entiers relatifs et un entier naturel non nul.
1. Compatibilité avec l'addition
Si et , alors .

2. Compatibilité avec la multiplication
Si et , alors .

3. Compatibilité avec les puissances
Soit un entier naturel non nul. Si , alors .

Cas particuliers

donc, si , alors et .

Attention

Il n'y a pas de compatibilité avec la division : mais et ne sont pas congrus modulo .
Démonstration
Voir exercice p. 109.
Application et méthode - 5
Énoncé
Montrer en utilisant un tableau de congruence que, pour tout entier relatif , est divisible par .

Méthode

On recherche les restes possibles de dans la division par (conséquence de la division euclidienne).
On complète le tableau de congruence pour obtenir, dans la dernière ligne, les restes possibles de la division de par . Ces restes étant toujours nuls, on en déduit que, pour tout entier , est divisible par .
Solution
On dresse un tableau de congruence de modulo 3.
1
Produit

On remarque que, pour tout entier , , c'est‑à‑dire que est divisible par .

Pour s'entraîner
Exercices et .

C
Inverse modulo

Définition
Soient un entier relatif et un entier naturel non nul.
On dit que est inversible modulo lorsqu'il existe un entier tel que .
Exemple
est inversible modulo car . est donc un inverse de modulo .
Application et méthode - 6
Énoncé
1. Démontrer que est inversible modulo .
2. Montrer que n'admet pas d'inverse modulo .

Méthode

1. On recherche un entier tel que .
Pour cela, on établit un tableau de congruence modulo , en recherchant les restes possibles de modulo . Dans le tableau, on recherche s'il existe un entier tel que . Dans ce cas, on observe que l'entier est une solution.

2. On établit un tableau de congruence modulo . On observe que n'est jamais congru à modulo .
Solution
1. Soit un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo .


On a donc donc est un inverse de modulo .
Cet inverse n'est d'ailleurs pas unique : tout entier s'écrivant , avec , est un inverse de modulo .

2. Soit un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo .


Il n'existe pas d'entier tel que Donc n'admet pas d'inverse modulo .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 105.

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah

Premium activé


5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.