Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

Cours 3

Congruences

A
Définition

Définition

Soient

m

un entier naturel non nul, et

a

b

deux entiers relatifs.
On dit que

a

b

sont congrus modulo

m

lorsqu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par

m

.
On dit aussi que

a

est congru à

b

modulo $m$ .

Notation

On note

a \equiv b [m]

;

a \equiv b (m)

a \equiv b m o d m

Exemple

15 = 2 \times 7 + 1

21 = 2 \times 10 + 1

donc

15 \equiv 21 [2]

Théorème

Soient

m

un entier naturel non nul et

a

b

deux entiers relatifs.

a \equiv b [m]

si, et seulement si,

m ∣ (a - b)

Remarque

En particulier, si

a \equiv 0 [m]

, alors

m ∣ a

Démonstration

Voir exercice

p. 109.

B
Congruences et opérations

Propriété

Soient

a

b

c

trois entiers relatifs et

m

un entier naturel non nul.
Si

a \equiv b [m]

b \equiv c [m]

, alors

a \equiv c [m]

Remarque

On dit que la relation de congruence est transitive.

Démonstration

D'après les hypothèses,

a

b

ont le même reste dans la division euclidienne par

m

, et

b

c

ont le même reste dans la division euclidienne par

m

, donc

a

c

ont le même reste dans la division euclidienne par

m

donc

a \equiv c [m]

Exemple

251 \equiv 8 [3]

8 \equiv 2 [3]

donc

251 \equiv 2 [3]

Propriété

Soient

a

b

c

d

quatre entiers relatifs et

m

un entier naturel non nul.
1. Compatibilité avec l'addition
Si

a \equiv b [m]

c \equiv d [m]

, alors

a + c \equiv b + d [m]

.

2. Compatibilité avec la multiplication
Si

a \equiv b [m]

c \equiv d [m]

, alors

a \times c \equiv b \times d [m]

.

3. Compatibilité avec les puissances
Soit

p

un entier naturel non nul. Si

a \equiv b [m]

, alors

a^{p} \equiv b^{p} [m]

Cas particuliers

c \equiv c [m]

donc, si

a \equiv b [m]

, alors

a + c \equiv b + c [m]

a \times c \equiv b \times c [m]

Attention

Il n'y a pas de compatibilité avec la division :

62 \equiv 26 [4]

mais

31

13

ne sont pas congrus modulo

4

Démonstration

Voir exercice

p. 109.

Application et méthode - 5

Énoncé

Montrer en utilisant un tableau de congruence que, pour tout entier relatif

n

n (n + 1) (2 n + 1)

est divisible par

3

Méthode

On recherche les restes possibles de

n

dans la division par

3

(conséquence de la division euclidienne).
On complète le tableau de congruence pour obtenir, dans la dernière ligne, les restes possibles de la division de

n (n + 1) (2 n + 1)

par

3

. Ces restes étant toujours nuls, on en déduit que, pour tout entier

n

n (n + 1) (2 n + 1)

est divisible par

3

Solution

On dresse un tableau de congruence de

n

modulo 3.

$n \equiv \dots [3]$	$0$	$1$	$2$
$(n + 1) \equiv \dots [3]$	$1$	$2$	$3 \equiv 0$
$(2 n + 1) \equiv \dots [3]$	1	$3 \equiv 0$	$5 \equiv 2$
Produit $n (n + 1) (2 n + 1)$ $\equiv \dots [3]$	$0 \times 1 \times 1 \equiv 0$	$1 \times 2 \times 0 \equiv 0$	$2 \times 0 \times 2 \equiv 0$

On remarque que, pour tout entier

n

n (n + 1) (2 n + 1) \equiv 0 [3]

, c'est‑à‑dire que

n (n + 1) (2 n + 1)

est divisible par

3

Pour s'entraîner

Exercices

C
Inverse modulo $m$

Définition

Soient

a

un entier relatif et

m

un entier naturel non nul.
On dit que

a

est inversible modulo

m

lorsqu'il existe un entier

b

tel que

a \times b \equiv 1 [m]

Exemple

8

est inversible modulo

3

car

8 \times 2 \equiv 1 [3]

2

est donc un inverse de

8

modulo

2

Application et méthode - 6

Énoncé

1. Démontrer que

3

est inversible modulo

5

.
2. Montrer que

4

n'admet pas d'inverse modulo

6

Méthode

1. On recherche un entier

b

tel que

3 b \equiv 1 [5]

.
Pour cela, on établit un tableau de congruence modulo

5

, en recherchant les restes possibles de

3 b

modulo

5

. Dans le tableau, on recherche s'il existe un entier

b

tel que

3 b \equiv 1 [5]

. Dans ce cas, on observe que l'entier

2

est une solution.

2. On établit un tableau de congruence modulo

6

. On observe que

4 c

n'est jamais congru à

1

modulo

6

Solution

1. Soit

b

un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo

5

$b \equiv \dots [5]$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$3 b \equiv \dots [5]$	$0$	$3$	$1$	$4$	$2$

On a donc

3 \times 2 \equiv 1 [5]

donc

2

est un inverse de

3

modulo

5

.
Cet inverse n'est d'ailleurs pas unique : tout entier s'écrivant

5 k + 2

, avec

k \in Z

, est un inverse de

3

modulo

5

.

2. Soit

c

un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo

6

$c \equiv \dots [6]$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$4 c \equiv \dots [6]$	$0$	$4$	$2$	$0$	$4$	$2$

Il n'existe pas d'entier

c

tel que

4 c \equiv 1 [6]

Donc

4

n'admet pas d'inverse modulo

6

Pour s'entraîner

Exercices

p. 105.

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Inverse modulo $m$

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C Inverse modulo m

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