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Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 3
Congruences
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A
Définition
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Définition
Soient m un entier naturel non nul, et a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont congrus modulo \boldsymbol{m} lorsqu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par m.
On dit aussi que a est congru à \boldsymbol{b} modulo \boldsymbol{m}.
On dit que a et b sont congrus modulo \boldsymbol{m} lorsqu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par m.
On dit aussi que a est congru à \boldsymbol{b} modulo \boldsymbol{m}.
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On note a \equiv b[m] ; a \equiv b(m) ou a \equiv b \bmod m.
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Exemple
15 = 2 \times 7 + 1 et 21 = 2 \times 10 + 1 donc 15 \equiv 21[2].
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Théorème
Soient m un entier naturel non nul et a et b deux entiers relatifs. a \equiv b[m] si, et seulement si, m |(a-b).
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En particulier, si a \equiv 0[m], alors m\ |\ a.
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Démonstration
Voir exercice p. 109.
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B
Congruences et opérations
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Propriété
Soient a, b et c trois entiers relatifs et m un entier naturel non nul.
Si a \equiv b[m] et b \equiv c[m], alors a \equiv c[m].
Si a \equiv b[m] et b \equiv c[m], alors a \equiv c[m].
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On dit que la relation de congruence est transitive.
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Démonstration
D'après les hypothèses, a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m, et b et c ont le même reste dans la division euclidienne par m, donc a et c ont le même reste dans la division euclidienne par m donc a \equiv c[m].
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Exemple
251 \equiv 8[3] et 8 \equiv 2[3] donc 251 \equiv 2[3].
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Propriété
Soient a, b, c et d quatre entiers relatifs et m un entier naturel non nul.
1. Compatibilité avec l'addition
Si a \equiv b[m] et c \equiv d[m], alors a+c \equiv b+d[m].
2. Compatibilité avec la multiplication
Si a \equiv b[m] et c \equiv d[m], alors a \times c \equiv b\times d[m].
3. Compatibilité avec les puissances
Soit p un entier naturel non nul. Si a \equiv b[m], alors a^p \equiv b^p[m].
1. Compatibilité avec l'addition
Si a \equiv b[m] et c \equiv d[m], alors a+c \equiv b+d[m].
2. Compatibilité avec la multiplication
Si a \equiv b[m] et c \equiv d[m], alors a \times c \equiv b\times d[m].
3. Compatibilité avec les puissances
Soit p un entier naturel non nul. Si a \equiv b[m], alors a^p \equiv b^p[m].
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c \equiv c[m] donc, si a \equiv b[m], alors a+c \equiv b+c[m] et a \times c \equiv b \times c[m].
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Il n'y a pas de compatibilité avec la division : 62 \equiv 26[4] mais 31 et 13 ne sont pas congrus modulo 4.
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Démonstration
Voir exercice p. 109.
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Montrer en utilisant un tableau de congruence que, pour tout entier relatif n, n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3.
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On recherche les restes possibles de n dans la division par 3 (conséquence de la division euclidienne).
On complète le tableau de congruence pour obtenir, dans la dernière ligne, les restes possibles de la division de n(n + 1)(2n + 1) par 3. Ces restes étant toujours nuls, on en déduit que, pour tout entier n, n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3.
On complète le tableau de congruence pour obtenir, dans la dernière ligne, les restes possibles de la division de n(n + 1)(2n + 1) par 3. Ces restes étant toujours nuls, on en déduit que, pour tout entier n, n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3.
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Solution
On dresse un tableau de congruence de n modulo 3.
On remarque que, pour tout entier n, n(n+1)(2 n+1) \equiv 0[3], c'est‑à‑dire que n(n+1)(2 n+1) est divisible par 3.
| \boldsymbol{n \equiv … [3]} | 0 | 1 | 2 |
| \boldsymbol{(n+1) \equiv … [3]} | 1 | 2 | 3 \equiv 0 |
| \boldsymbol{(2n+1) \equiv … [3]} | 1 | 3 \equiv 0 | 5 \equiv 2 |
| Produit \boldsymbol{n(n+1)(2n+1)}\boldsymbol{\equiv … [3]} | 0 \times 1 \times 1 \equiv 0 | 1 \times 2 \times 0 \equiv 0 | 2 \times 0 \times 2 \equiv 0 |
On remarque que, pour tout entier n, n(n+1)(2 n+1) \equiv 0[3], c'est‑à‑dire que n(n+1)(2 n+1) est divisible par 3.
Pour s'entraîner
Exercices et .
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C
Inverse modulo \boldsymbol{m}
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Définition
Soient a un entier relatif et m un entier naturel non nul.
On dit que a est inversible modulo \boldsymbol{m} lorsqu'il existe un entier b tel que a \times b \equiv 1 [m].
On dit que a est inversible modulo \boldsymbol{m} lorsqu'il existe un entier b tel que a \times b \equiv 1 [m].
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Exemple
8 est inversible modulo 3 car 8 \times 2 \equiv 1 [3]. 2 est donc un inverse de 8 modulo 3.
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Application et méthode - 6
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Énoncé
1. Démontrer que 3 est inversible modulo 5.
2. Montrer que 4 n'admet pas d'inverse modulo 6.
2. Montrer que 4 n'admet pas d'inverse modulo 6.
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1. On recherche un entier b tel que 3b \equiv 1 [5].
Pour cela, on établit un tableau de congruence modulo 5, en recherchant les restes possibles de 3b modulo 5. Dans le tableau, on recherche s'il existe un entier b tel que 3b \equiv 1 [5]. Dans ce cas, on observe que l'entier 2 est une solution.
2. On établit un tableau de congruence modulo 6. On observe que 4c n'est jamais congru à 1 modulo 6.
Pour cela, on établit un tableau de congruence modulo 5, en recherchant les restes possibles de 3b modulo 5. Dans le tableau, on recherche s'il existe un entier b tel que 3b \equiv 1 [5]. Dans ce cas, on observe que l'entier 2 est une solution.
2. On établit un tableau de congruence modulo 6. On observe que 4c n'est jamais congru à 1 modulo 6.
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Solution
1. Soit b un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo 5.
On a donc 3 \times 2 \equiv 1 [5] donc 2 est un inverse de 3 modulo 5.
Cet inverse n'est d'ailleurs pas unique : tout entier s'écrivant 5k + 2, avec k \in \mathbb{Z}, est un inverse de 3 modulo 5.
2. Soit c un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo 6.
Il n'existe pas d'entier c tel que 4c \equiv 1 [6] Donc 4 n'admet pas d'inverse modulo 6.
| \boldsymbol{b \equiv …[5]} | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \boldsymbol{3b \equiv …[5]} | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
On a donc 3 \times 2 \equiv 1 [5] donc 2 est un inverse de 3 modulo 5.
Cet inverse n'est d'ailleurs pas unique : tout entier s'écrivant 5k + 2, avec k \in \mathbb{Z}, est un inverse de 3 modulo 5.
2. Soit c un entier relatif. On établit un tableau de congruence modulo 6.
| \boldsymbol{c \equiv …[6]} | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \boldsymbol{4c \equiv …[6]} | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
Il n'existe pas d'entier c tel que 4c \equiv 1 [6] Donc 4 n'admet pas d'inverse modulo 6.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 105.
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