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2. Division euclidienne
P.96-97

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COURS 2


2
Division euclidienne




A
Division euclidienne dans N\N


Théorème

Soient aa et bb deux entiers naturels avec b0b \neq 0.
Alors il existe un unique couple d’entiers naturels (q;r)(q \: ; r) satisfaisant les deux conditions : a=bq+ra = bq + r et 0r<b0 \leqslant r \lt b. Cette relation est la division euclidienne de aa par bb.
qq s’appelle le quotient de la division euclidienne de aa par bb.
rr s’appelle le reste de la division euclidienne de aa par bb.

Remarque

aa s’appelle le dividende et bb le diviseur dans la division euclidienne de aa par bb.

Remarque

Soient aa et bb deux entiers naturels avec b0b \ne 0. bab \: \vert a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de aa par bb est nul.

NOTATION

On note E(x)\text E(x) la partie entière du réel xx.

Remarque

Si x0x \geqslant 0, alors E(x)0\text E(x) \geqslant 0.

DÉMONSTRATION

Soient aa et bb deux entiers naturels avec bb non nul.

Existence

La partie entière d’un réel xx est l’entier relatif nn tel que nx<n+1n \leqslant x \lt n+1 . On note n=E(x)n = \text E (x). Posons alors q=E(ab)q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right). On a ab0\dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc q=E(ab)0q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right) \geqslant 0. Par définition, qab<q+1q \leqslant \dfrac{a}{b} \lt q+1 ou encore qba<b(q+1)qb \leqslant a \lt b \left(q+1\right) puisque bb est strictement positif.
Autrement dit, on a bqbqabq<bq+bbqb q-b q \leqslant a-b q \lt b q+b-b q soit enfin 0abq<b0 \leqslant a-b q\lt b.
En posant r=abqr=a-b q, on a, d’une part, a=bq+ra=b q+r et, d’autre part, 0r<b0 \leqslant r \lt b. On a donc bien prouvé l’existence d’un couple (q;r)(q \: ; r ) vérifiant les conditions demandées.
Démonstration - Division euclidienne dans N

Unicité

Supposons qu’il existe deux couples d’entiers naturels (q;r)(q \: ; r ) et (q;r)(q' \: ; r' ) vérifiant les deux conditions, c’est-à-dire
{a=qb+r avec 0r<ba=qb+r avec 0r<b\left\{\begin{array}{l}a=q b+r \:\text{ avec } 0 \leqslant r \lt b \\ a=q^{\prime} b+r \:\text{ avec }0 \leqslant r^{\prime}\lt b\end{array}\right.. On a alors :
  • qb+r=qb+rq b+r=q b^{\prime}+r^{\prime}, c’est-à-dire b(qq)=rrb\left(q^{\prime}-q\right)=r-r^{\prime} et donc b(rr)b |\left(r-r^{\prime}\right).
  • 0r<b0 \leqslant r \lt b et, puisque 0r<b0 \leqslant r^{\prime} \lt b, on a b<r0-b \lt-r^{\prime} \leqslant 0.
Ainsi, b(rr)b |\left(r-r^{\prime}\right) avec b<rr<b-b \lt r-r^{\prime} \lt b donc rr=0r-r^{\prime}=0 et r=rr=r^{\prime}.
On a alors qq=0q^{\prime}-q=0 donc q=qq^{\prime}=q. D'où l'unicité.

Propriété

Soit bb un entier naturel tel que b2b \geqslant 2. Tout entier aa s’écrit sous une, et une seule, des formes bq,bq+1,bq+2,,bq+(b1)b q, b q+1, b q+2, \dots, b q+(b-1), où qq est un entier.

DÉMONSTRATION

Soit aa un entier.
En effectuant la division euclidienne de aa par bb non nul, il existe deux entiers naturels qq et rr tels que a=bq+ra=b q+r avec 0r<b0 \leqslant r \lt b.
Par unicité du quotient et du reste a=bqa=b q ou a=bq+1a=b q+1 ou a=bq+2a=b q+ 2 ou a=bq+3a=b q +3 ... ou a=bq+(b1)a=b q+(b-1).

Remarque

Ainsi, dans la division par 22, le reste est 00 ou 11.
Tout entier s’écrit sous la forme 2k2k ou 2k+12k + 1.
On retrouve donc qu’un entier est pair ou impair.

Application et méthode - 3

Énoncé

Soit nn un entier naturel. Posons A=n(n2)(n+2)\text A=n(n-2)(n+2). Démontrer que A\text A est un multiple de 33.

Solution


Soit nn un entier naturel. On a trois cas possibles.

1er cas : il existe kNk \in \N tel que n=3kn=3k.
A=3k(3k2)(3k+2)\text A=3 k(3 k-2)(3 k+2) donc A\text A est divisible par 33.

2e cas : il existe kNk \in \N tel que n=3k+1n=3k+1.
A=(3k+1)(3k+12)(3k+1+2)=(3k+1)(3k1)(3k+3)=3(3k+1)(3k1)(k+1)\text A=(3 k+1)(3 k+1-2)(3 k+1+2)=(3 k+1)(3 k-1)(3 k+3)=3(3 k+1)(3 k-1)(k+1) donc A\text A est divisible par 33.

3e cas : il existe kNk \in \N tel que n=3k+2n=3k+2.
A=(3k+2)(3k+22)(3k+2+2)=(3k+2)(3k)(3k+4)\text A=(3 k+2)(3 k+2-2)(3 k+2+2)=(3 k+2)(3 k)(3 k+4) donc A\text A est divisible par 33.

Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 105

Méthode

D’après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier nn s’écrit sous une des trois formes suivantes :

n=3k;n=3k+1n=3 k \: ; n=3 k+1 ou n=3k+2n=3 k+2.

On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.

B
Division euclidienne d’un entier relatif par un entier naturel non nul


Théorème : division euclidienne (admis)

Pour tout entier relatif aa et tout entier naturel bb non nul, il existe un unique couple d’entiers (q;r)(q \: ; r) tel que a=bq+ra=b q+r et 0r<b0 \leqslant r \lt b.
qq est un entier relatif et rr est un entier naturel.

Exemple

Sachant que 524=30×17+14524=30 \times 17+14, on a 524=30×1714-524=-30 \times 17-14.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir 14-14.
On écrit 524=30×1717+1714-524=-30 \times 17 \color{orange}-17+17 \color{black}-14 soit 524=31×17+3-524=-31 \times 17+3.
Le reste de la division euclidienne de 524-524 par 1717 est 33 et le quotient est 31-31.

Remarque

On définit de même la division euclidienne d’un entier relatif aa par un relatif non nul bb : il existe un unique couple d’entiers (q;r)(q \: ; r) tel que a=bq+ra=b q+r et 0r<b0 \leqslant r\lt \vert \: b\: \vert.

Application et méthode - 4

Énoncé

Dans la division euclidienne de 37-37 par l’entier naturel non nul bb, le reste est 1414.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?

Solution


La division euclidienne de 37-37 par bb donne 37=qb+14-37=q b+14 avec 14<b14\lt b soit qb=51qb = -51.
Les diviseurs de 51-51 sont 51-51, 17-17, 3-3, 1-1, 11, 33, 1717 et 5151.
Or, b>14b \gt 14, on a alors b=17b=17 ou b=51b=51.
Pour b=17b=17, on a 37=17×(3)+14-37 = 17 \times (-3) + 14 et q=3q = -3.
Pour b=51b=51, on a 37=51×(1)+14-37 = 51 \times (-1) + 14 et q=1q=-1.

Pour s'entraîner : exercices 44 et 45 p. 105

Méthode

On écrit la division euclidienne de 37-37 par bb :
37=qb+14-37 = qb + 14, ce qui nous donne une équation du type q×b=nq \times b = n.
Pour déterminer les entiers solutions d’une telle équation, on recherche les diviseurs de nn.
De plus, la division euclidienne impose que 0r<b0 \leqslant r \lt b.
On en déduit les entiers solutions.

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