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Division euclidienne

$a$ s’appelle le dividende et $b$ le diviseur dans la division euclidienne de $a$ par $b$.

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b \ne 0$. $b \: \vert a$ si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.

Si $x \geqslant 0$, alors $\text E(x) \geqslant 0$.

DÉMONSTRATION

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b$ non nul.

Existence

La partie entière d’un réel $x$ est l’entier relatif $n$ tel que $n \leqslant x \lt n+1$. On note $n = \text E (x)$. Posons alors $q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right)$. On a $\dfrac{a}{b} \geqslant 0$ donc $q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right) \geqslant 0$. Par définition, $q \leqslant \dfrac{a}{b} \lt q+1$ ou encore $qb \leqslant a \lt b \left(q+1\right)$ puisque $b$ est strictement positif.
Autrement dit, on a $b q-b q \leqslant a-b q \lt b q+b-b q$ soit enfin $0 \leqslant a-b q\lt b$.
En posant $r=a-b q$, on a, d’une part, $a=b q+r$ et, d’autre part, $0 \leqslant r \lt b$. On a donc bien prouvé l’existence d’un couple $(q \: ; r )$ vérifiant les conditions demandées.

Unicité

Supposons qu’il existe deux couples d’entiers naturels $(q \: ; r )$ et $(q' \: ; r' )$ vérifiant les deux conditions, c’est-à-dire
$\left\{\begin{array}{l}a=q b+r \:\text{ avec } 0 \leqslant r \lt b \\ a=q^{\prime} b+r \:\text{ avec }0 \leqslant r^{\prime}\lt b\end{array}\right.$. On a alors :

• $q b+r=q b^{\prime}+r^{\prime}$, c’est-à-dire $b\left(q^{\prime}-q\right)=r-r^{\prime}$ et donc $b |\left(r-r^{\prime}\right)$.
• $0 \leqslant r \lt b$ et, puisque $0 \leqslant r^{\prime} \lt b$, on a $-b \lt-r^{\prime} \leqslant 0$.

Ainsi, $b |\left(r-r^{\prime}\right)$ avec $-b \lt r-r^{\prime} \lt b$ donc $r-r^{\prime}=0$ et $r=r^{\prime}$.
On a alors $q^{\prime}-q=0$ donc $q^{\prime}=q$. D'où l'unicité.

DÉMONSTRATION

Soit $a$ un entier.
En effectuant la division euclidienne de $a$ par $b$ non nul, il existe deux entiers naturels $q$ et $r$ tels que $a=b q+r$ avec $0 \leqslant r \lt b$.
Par unicité du quotient et du reste $a=b q$ ou $a=b q+1$ ou $a=b q+ 2$ ou $a=b q +3$ ... ou $a=b q+(b-1)$.

Ainsi, dans la division par $2$, le reste est $0$ ou $1$.
Tout entier s’écrit sous la forme $2k$ ou $2k + 1$.
On retrouve donc qu’un entier est pair ou impair.

Soit $n$ un entier naturel. Posons $\text A=n(n-2)(n+2)$. Démontrer que $\text A$ est un multiple de $3$.

Exemple

Sachant que $524=30 \times 17+14$, on a $-524=-30 \times 17-14$.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir $-14$.
On écrit $-524=-30 \times 17 \color{orange}-17+17 \color{black}-14$ soit $-524=-31 \times 17+3$.
Le reste de la division euclidienne de $-524$ par $17$ est $3$ et le quotient est $-31$.

On définit de même la division euclidienne d’un entier relatif $a$ par un relatif non nul $b$ : il existe un unique couple d’entiers $(q \: ; r)$ tel que $a=b q+r$ et $0 \leqslant r\lt \vert \: b\: \vert$.

Dans la division euclidienne de $-37$ par l’entier naturel non nul $b$, le reste est $14$.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?