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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2
Division euclidienne
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ADivision euclidienne dans \N
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Théorème
Soient a et b deux entiers naturels avec b \neq 0.
Alors il existe un unique couple d'entiers naturels (q \: ; r) satisfaisant les deux conditions : a = bq + r et 0 \leqslant r \lt b. Cette relation est la division euclidienne de a par b.
q s'appelle le quotient de la division euclidienne de a par b.
r s'appelle le reste de la division euclidienne de a par b.
Alors il existe un unique couple d'entiers naturels (q \: ; r) satisfaisant les deux conditions : a = bq + r et 0 \leqslant r \lt b. Cette relation est la division euclidienne de a par b.
q s'appelle le quotient de la division euclidienne de a par b.
r s'appelle le reste de la division euclidienne de a par b.
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a s'appelle le dividende et b le diviseur dans la division euclidienne de a par b.
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Soient a et b deux entiers naturels avec b \ne 0. b \: \vert a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
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Démonstration
Soient a et b deux entiers naturels avec b non nul.
Existence
La partie entière d'un réel x est l'entier relatif n tel que n \leqslant x \lt n+1 . On note n = \text E (x). Posons alors q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right). On a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right) \geqslant 0. Par définition, q \leqslant \dfrac{a}{b} \lt q+1 ou encore qb \leqslant a \lt b \left(q+1\right) puisque b est strictement positif.
Autrement dit, on a b q-b q \leqslant a-b q \lt b q+b-b q soit enfin 0 \leqslant a-b q\lt b.
En posant r=a-b q, on a, d'une part, a=b q+r et, d'autre part, 0 \leqslant r \lt b. On a donc bien prouvé l'existence d'un couple (q \: ; r ) vérifiant les conditions demandées.
Unicité
Supposons qu'il existe deux couples d'entiers naturels (q \: ; r ) et (q' \: ; r' ) vérifiant les deux conditions, c'est-à-dire
\left\{\begin{array}{l}a=q b+r \:\text{ avec } 0 \leqslant r \lt b \\ a=q^{\prime} b+r^{\prime} \:\text{ avec }0 \leqslant r^{\prime}\lt b\end{array}\right.. On a alors :
On a alors q^{\prime}-q=0 donc q^{\prime}=q. D'où l'unicité.
Existence
La partie entière d'un réel x est l'entier relatif n tel que n \leqslant x \lt n+1 . On note n = \text E (x). Posons alors q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right). On a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right) \geqslant 0. Par définition, q \leqslant \dfrac{a}{b} \lt q+1 ou encore qb \leqslant a \lt b \left(q+1\right) puisque b est strictement positif.
Autrement dit, on a b q-b q \leqslant a-b q \lt b q+b-b q soit enfin 0 \leqslant a-b q\lt b.
En posant r=a-b q, on a, d'une part, a=b q+r et, d'autre part, 0 \leqslant r \lt b. On a donc bien prouvé l'existence d'un couple (q \: ; r ) vérifiant les conditions demandées.
Unicité
Supposons qu'il existe deux couples d'entiers naturels (q \: ; r ) et (q' \: ; r' ) vérifiant les deux conditions, c'est-à-dire
\left\{\begin{array}{l}a=q b+r \:\text{ avec } 0 \leqslant r \lt b \\ a=q^{\prime} b+r^{\prime} \:\text{ avec }0 \leqslant r^{\prime}\lt b\end{array}\right.. On a alors :
- q b+r=q b^{\prime}+r^{\prime}, c'est-à-dire b\left(q^{\prime}-q\right)=r-r^{\prime} et donc b |\left(r-r^{\prime}\right).
- 0 \leqslant r \lt b et, puisque 0 \leqslant r^{\prime} \lt b, on a -b \lt-r^{\prime} \leqslant 0.
On a alors q^{\prime}-q=0 donc q^{\prime}=q. D'où l'unicité.
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Si x \geqslant 0, alors \text E(x) \geqslant 0.
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On note \text E(x) la partie entière du réel x.
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Propriété
Soit b un entier naturel tel que b \geqslant 2. Tout entier a s'écrit sous une, et une seule, des formes b q, b q+1, b q+2, \dots, b q+(b-1), où q est un entier.
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Démonstration
Soit a un entier.
En effectuant la division euclidienne de a par b non nul, il existe deux entiers naturels q et r tels que a=b q+r avec 0 \leqslant r \lt b.
Par unicité du quotient et du reste a=b q ou a=b q+1 ou a=b q+ 2 ou a=b q +3 ... ou a=b q+(b-1).
En effectuant la division euclidienne de a par b non nul, il existe deux entiers naturels q et r tels que a=b q+r avec 0 \leqslant r \lt b.
Par unicité du quotient et du reste a=b q ou a=b q+1 ou a=b q+ 2 ou a=b q +3 ... ou a=b q+(b-1).
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Ainsi, dans la division par 2, le reste est 0 ou 1.
Tout entier s'écrit sous la forme 2k ou 2k + 1.
On retrouve donc qu'un entier est pair ou impair.
On retrouve donc qu'un entier est pair ou impair.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Soit n un entier naturel. Posons \text A=n(n-2)(n+2). Démontrer que \text A est un multiple de 3.
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D'après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier n s'écrit sous une des trois formes suivantes :
On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.
n=3 k \: ; n=3 k+1 ou n=3 k+2.
On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.
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Solution
Soit n un entier naturel. On a trois cas possibles.
1er cas : il existe k \in \N tel que n=3k.
\text A=3 k(3 k-2)(3 k+2) donc \text A est divisible par 3.
2e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+1.
\text A=(3 k+1)(3 k+1-2)(3 k+1+2)=(3 k+1)(3 k-1)(3 k+3)=3(3 k+1)(3 k-1)(k+1) donc \text A est divisible par 3.
3e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+2.
\text A=(3 k+2)(3 k+2-2)(3 k+2+2)=(3 k+2)(3 k)(3 k+4) donc \text A est divisible par 3.
1er cas : il existe k \in \N tel que n=3k.
\text A=3 k(3 k-2)(3 k+2) donc \text A est divisible par 3.
2e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+1.
\text A=(3 k+1)(3 k+1-2)(3 k+1+2)=(3 k+1)(3 k-1)(3 k+3)=3(3 k+1)(3 k-1)(k+1) donc \text A est divisible par 3.
3e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+2.
\text A=(3 k+2)(3 k+2-2)(3 k+2+2)=(3 k+2)(3 k)(3 k+4) donc \text A est divisible par 3.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 105.
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B
Division euclidienne d'un entier relatif par un entier naturel non nul
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Théorème
Pour tout entier relatif a et tout entier naturel b non nul, il existe un unique couple d'entiers (q \: ; r) tel que a=b q+r et 0 \leqslant r \lt b.
q est un entier relatif et r est un entier naturel.
q est un entier relatif et r est un entier naturel.
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On définit de même la division euclidienne d'un entier relatif a par un relatif non nul b : il existe un unique couple d'entiers (q \: ; r) tel que a=b q+r et 0 \leqslant r\lt \vert \: b\: \vert.
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Exemple
Sachant que 524=30 \times 17+14, on a -524=-30 \times 17-14.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir -14.
On écrit -524=-30 \times 17 \color{orange}-17+17 \color{black}-14 soit -524=-31 \times 17+3.
Le reste de la division euclidienne de -524 par 17 est 3 et le quotient est -31.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir -14.
On écrit -524=-30 \times 17 \color{orange}-17+17 \color{black}-14 soit -524=-31 \times 17+3.
Le reste de la division euclidienne de -524 par 17 est 3 et le quotient est -31.
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Dans la division euclidienne de -37 par l'entier naturel non nul b, le reste est 14.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?
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On écrit la division euclidienne de -37 par b :
-37 = qb + 14, ce qui nous donne une équation du type q \times b = n.
Pour déterminer les entiers solutions d'une telle équation, on recherche les diviseurs de n.
De plus, la division euclidienne impose que 0 \leqslant r \lt b.
On en déduit les entiers solutions.
-37 = qb + 14, ce qui nous donne une équation du type q \times b = n.
Pour déterminer les entiers solutions d'une telle équation, on recherche les diviseurs de n.
De plus, la division euclidienne impose que 0 \leqslant r \lt b.
On en déduit les entiers solutions.
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Solution
La division euclidienne de -37 par b donne -37=q b+14 avec 14\lt b soit qb = -51.
Les diviseurs de -51 sont -51, -17, -3, -1, 1, 3, 17 et 51.
Or, b \gt 14, on a alors b=17 ou b=51.
Pour b=17, on a -37 = 17 \times (-3) + 14 et q = -3.
Pour b=51, on a -37 = 51 \times (-1) + 14 et q=-1.
Les diviseurs de -51 sont -51, -17, -3, -1, 1, 3, 17 et 51.
Or, b \gt 14, on a alors b=17 ou b=51.
Pour b=17, on a -37 = 17 \times (-3) + 14 et q = -3.
Pour b=51, on a -37 = 51 \times (-1) + 14 et q=-1.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 105
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