Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2

Division euclidienne

A
Division euclidienne dans

Théorème
Soient et deux entiers naturels avec .
Alors il existe un unique couple d'entiers naturels satisfaisant les deux conditions : et . Cette relation est la division euclidienne de par .
s'appelle le quotient de la division euclidienne de par .
s'appelle le reste de la division euclidienne de par .

Remarque

s'appelle le dividende et le diviseur dans la division euclidienne de par .

Remarque

Soient et deux entiers naturels avec . si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de par est nul.
Démonstration
Soient et deux entiers naturels avec non nul.
Existence
La partie entière d'un réel est l'entier relatif tel que . On note . Posons alors . On a donc . Par définition, ou encore puisque est strictement positif.
Autrement dit, on a soit enfin .
En posant , on a, d'une part, et, d'autre part, . On a donc bien prouvé l'existence d'un couple vérifiant les conditions demandées.

Démonstration - Division euclidienne dans N
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : lelivrescolaire.fr


Unicité
Supposons qu'il existe deux couples d'entiers naturels et vérifiant les deux conditions, c'est-à-dire
. On a alors :
  • , c'est-à-dire et donc .
  • et, puisque , on a .
Ainsi, avec donc et .
On a alors donc . D'où l'unicité.

Remarque

Si , alors .

Notation

On note la partie entière du réel .
Propriété
Soit un entier naturel tel que . Tout entier s'écrit sous une, et une seule, des formes , où est un entier.
Démonstration
Soit un entier.
En effectuant la division euclidienne de par non nul, il existe deux entiers naturels et tels que avec .
Par unicité du quotient et du reste ou ou ou ... ou .

Remarque

Ainsi, dans la division par , le reste est ou . Tout entier s'écrit sous la forme ou .
On retrouve donc qu'un entier est pair ou impair.
Application et méthode - 3
Énoncé
Soit un entier naturel. Posons . Démontrer que est un multiple de .

Méthode

D'après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier s'écrit sous une des trois formes suivantes :

ou .

On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.
Solution
Soit un entier naturel. On a trois cas possibles.

1er cas : il existe tel que .
donc est divisible par .

2e cas : il existe tel que .
donc est divisible par .

3e cas : il existe tel que .
donc est divisible par .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 105.

B
Division euclidienne d'un entier relatif par un entier naturel non nul

Théorème
Pour tout entier relatif et tout entier naturel non nul, il existe un unique couple d'entiers tel que et .
est un entier relatif et est un entier naturel.

Remarque

On définit de même la division euclidienne d'un entier relatif par un relatif non nul : il existe un unique couple d'entiers tel que et .
Exemple
Sachant que , on a .
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir .
On écrit soit .
Le reste de la division euclidienne de par est et le quotient est .
Application et méthode - 4
Énoncé
Dans la division euclidienne de par l'entier naturel non nul , le reste est . Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?

Méthode

On écrit la division euclidienne de par :
, ce qui nous donne une équation du type
Pour déterminer les entiers solutions d'une telle équation, on recherche les diviseurs de
De plus, la division euclidienne impose que .
On en déduit les entiers solutions.
Solution
La division euclidienne de par donne avec soit .
Les diviseurs de sont , , , , , , et .
Or, , on a alors ou .
Pour , on a et .
Pour , on a et .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 105

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