Soient a et b deux entiers naturels avec b=0.
Alors il existe un unique couple d’entiers naturels (q;r) satisfaisant les deux conditions : a=bq+r et 0⩽r<b. Cette relation est la division euclidienne de a par b.
q s’appelle le quotient de la division euclidienne de a par b.
r s’appelle le reste de la division euclidienne de a par b.
Remarque
a s’appelle le dividende et b le diviseur dans la division euclidienne de a par b.
Remarque
Soient a et b deux entiers naturels avec b=0. b∣a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
NOTATION
On note E(x) la partie entière du réel x.
Remarque
Si x⩾0, alors E(x)⩾0.
DÉMONSTRATION
Soient a et b deux entiers naturels avec b non nul.
Existence
La partie entière d’un réel x est l’entier relatif n tel que n⩽x<n+1. On note n=E(x). Posons alors q=E(ba). On a ba⩾0 donc q=E(ba)⩾0. Par définition, q⩽ba<q+1 ou encore qb⩽a<b(q+1) puisque b est strictement positif.
Autrement dit, on a bq−bq⩽a−bq<bq+b−bq soit enfin 0⩽a−bq<b.
En posant r=a−bq, on a, d’une part, a=bq+r et, d’autre part, 0⩽r<b. On a donc bien prouvé l’existence d’un couple (q;r) vérifiant les conditions demandées.
Unicité
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers naturels (q;r) et (q′;r′) vérifiant les deux conditions, c’est-à-dire {a=qb+r avec 0⩽r<ba=q′b+r avec 0⩽r′<b. On a alors :
qb+r=qb′+r′, c’est-à-dire b(q′−q)=r−r′ et donc b∣(r−r′).
0⩽r<b et, puisque 0⩽r′<b, on a −b<−r′⩽0.
Ainsi, b∣(r−r′) avec −b<r−r′<b donc r−r′=0 et r=r′.
On a alors q′−q=0 donc q′=q. D'où l'unicité.
Propriété
Soit b un entier naturel tel que b⩾2. Tout entier a s’écrit sous une, et une seule, des formes bq,bq+1,bq+2,…,bq+(b−1), où q est un entier.
DÉMONSTRATION
Soit a un entier.
En effectuant la division euclidienne de a par b non nul, il existe deux entiers naturels q et r tels que a=bq+r avec 0⩽r<b.
Par unicité du quotient et du reste a=bq ou a=bq+1 ou a=bq+2 ou a=bq+3 ... ou a=bq+(b−1).
Remarque
Ainsi, dans la division par 2, le reste est 0 ou 1.
Tout entier s’écrit sous la forme 2k ou 2k+1.
On retrouve donc qu’un entier est pair ou impair.
Application et méthode - 3
Énoncé
Soit n un entier naturel. Posons A=n(n−2)(n+2). Démontrer que A est un multiple de 3.
Solution
Soit n un entier naturel. On a trois cas possibles.
1er cas : il existe k∈N tel que n=3k.
A=3k(3k−2)(3k+2) donc A est divisible par 3.
2e cas : il existe k∈N tel que n=3k+1.
A=(3k+1)(3k+1−2)(3k+1+2)=(3k+1)(3k−1)(3k+3)=3(3k+1)(3k−1)(k+1) donc A est divisible par 3.
3e cas : il existe k∈N tel que n=3k+2.
A=(3k+2)(3k+2−2)(3k+2+2)=(3k+2)(3k)(3k+4) donc A est divisible par 3.
D’après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier n s’écrit sous une des trois formes suivantes :
n=3k;n=3k+1 ou n=3k+2.
On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.
B
Division euclidienne d’un entier relatif par un entier naturel non nul
Théorème : division euclidienne (admis)
Pour tout entier relatif a et tout entier naturel b non nul, il existe un unique couple d’entiers (q;r) tel que a=bq+r et 0⩽r<b.
q est un entier relatif et r est un entier naturel.
Exemple
Sachant que 524=30×17+14, on a −524=−30×17−14.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir −14.
On écrit −524=−30×17−17+17−14 soit −524=−31×17+3.
Le reste de la division euclidienne de −524 par 17 est 3 et le quotient est −31.
Remarque
On définit de même la division euclidienne d’un entier relatif a par un relatif non nul b : il existe un unique couple d’entiers (q;r) tel que a=bq+r et 0⩽r<∣b∣.
Application et méthode - 4
Énoncé
Dans la division euclidienne de −37 par l’entier naturel non nul b, le reste est 14.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?
Solution
La division euclidienne de −37 par b donne −37=qb+14 avec 14<b soit qb=−51.
Les diviseurs de −51 sont −51, −17, −3, −1, 1, 3, 17 et 51.
Or, b>14, on a alors b=17 ou b=51.
Pour b=17, on a −37=17×(−3)+14 et q=−3.
Pour b=51, on a −37=51×(−1)+14 et q=−1.
On écrit la division euclidienne de −37 par b : −37=qb+14, ce qui nous donne une équation du type q×b=n.
Pour déterminer les entiers solutions d’une telle équation, on recherche les diviseurs de n.
De plus, la division euclidienne impose que 0⩽r<b.
On en déduit les entiers solutions.
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