Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Mes Pages
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 2
Division euclidienne
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
ADivision euclidienne dans \N
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Soient a et b deux entiers naturels avec b \neq 0.
Alors il existe un unique couple d'entiers naturels (q \: ; r) satisfaisant les deux conditions : a = bq + r et 0 \leqslant r \lt b. Cette relation est la division euclidienne de a par b.
q s'appelle le quotient de la division euclidienne de a par b.
r s'appelle le reste de la division euclidienne de a par b.
Alors il existe un unique couple d'entiers naturels (q \: ; r) satisfaisant les deux conditions : a = bq + r et 0 \leqslant r \lt b. Cette relation est la division euclidienne de a par b.
q s'appelle le quotient de la division euclidienne de a par b.
r s'appelle le reste de la division euclidienne de a par b.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
a s'appelle le dividende et b le diviseur dans la division euclidienne de a par b.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Soient a et b deux entiers naturels avec b \ne 0. b \: \vert a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soient a et b deux entiers naturels avec b non nul.
Existence
La partie entière d'un réel x est l'entier relatif n tel que n \leqslant x \lt n+1 . On note n = \text E (x). Posons alors q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right). On a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right) \geqslant 0. Par définition, q \leqslant \dfrac{a}{b} \lt q+1 ou encore qb \leqslant a \lt b \left(q+1\right) puisque b est strictement positif.
Autrement dit, on a b q-b q \leqslant a-b q \lt b q+b-b q soit enfin 0 \leqslant a-b q\lt b.
En posant r=a-b q, on a, d'une part, a=b q+r et, d'autre part, 0 \leqslant r \lt b. On a donc bien prouvé l'existence d'un couple (q \: ; r ) vérifiant les conditions demandées.
Unicité
Supposons qu'il existe deux couples d'entiers naturels (q \: ; r ) et (q' \: ; r' ) vérifiant les deux conditions, c'est-à-dire
\left\{\begin{array}{l}a=q b+r \:\text{ avec } 0 \leqslant r \lt b \\ a=q^{\prime} b+r^{\prime} \:\text{ avec }0 \leqslant r^{\prime}\lt b\end{array}\right.. On a alors :
On a alors q^{\prime}-q=0 donc q^{\prime}=q. D'où l'unicité.
Existence
La partie entière d'un réel x est l'entier relatif n tel que n \leqslant x \lt n+1 . On note n = \text E (x). Posons alors q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right). On a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc q = \text E \left(\dfrac{a}{b}\right) \geqslant 0. Par définition, q \leqslant \dfrac{a}{b} \lt q+1 ou encore qb \leqslant a \lt b \left(q+1\right) puisque b est strictement positif.
Autrement dit, on a b q-b q \leqslant a-b q \lt b q+b-b q soit enfin 0 \leqslant a-b q\lt b.
En posant r=a-b q, on a, d'une part, a=b q+r et, d'autre part, 0 \leqslant r \lt b. On a donc bien prouvé l'existence d'un couple (q \: ; r ) vérifiant les conditions demandées.
Unicité
Supposons qu'il existe deux couples d'entiers naturels (q \: ; r ) et (q' \: ; r' ) vérifiant les deux conditions, c'est-à-dire
\left\{\begin{array}{l}a=q b+r \:\text{ avec } 0 \leqslant r \lt b \\ a=q^{\prime} b+r^{\prime} \:\text{ avec }0 \leqslant r^{\prime}\lt b\end{array}\right.. On a alors :
- q b+r=q b^{\prime}+r^{\prime}, c'est-à-dire b\left(q^{\prime}-q\right)=r-r^{\prime} et donc b |\left(r-r^{\prime}\right).
- 0 \leqslant r \lt b et, puisque 0 \leqslant r^{\prime} \lt b, on a -b \lt-r^{\prime} \leqslant 0.
On a alors q^{\prime}-q=0 donc q^{\prime}=q. D'où l'unicité.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Si x \geqslant 0, alors \text E(x) \geqslant 0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On note \text E(x) la partie entière du réel x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Soit b un entier naturel tel que b \geqslant 2. Tout entier a s'écrit sous une, et une seule, des formes b q, b q+1, b q+2, \dots, b q+(b-1), où q est un entier.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soit a un entier.
En effectuant la division euclidienne de a par b non nul, il existe deux entiers naturels q et r tels que a=b q+r avec 0 \leqslant r \lt b.
Par unicité du quotient et du reste a=b q ou a=b q+1 ou a=b q+ 2 ou a=b q +3 ... ou a=b q+(b-1).
En effectuant la division euclidienne de a par b non nul, il existe deux entiers naturels q et r tels que a=b q+r avec 0 \leqslant r \lt b.
Par unicité du quotient et du reste a=b q ou a=b q+1 ou a=b q+ 2 ou a=b q +3 ... ou a=b q+(b-1).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Ainsi, dans la division par 2, le reste est 0 ou 1.
Tout entier s'écrit sous la forme 2k ou 2k + 1.
On retrouve donc qu'un entier est pair ou impair.
On retrouve donc qu'un entier est pair ou impair.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 3
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Soit n un entier naturel. Posons \text A=n(n-2)(n+2). Démontrer que \text A est un multiple de 3.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
D'après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier n s'écrit sous une des trois formes suivantes :
On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.
n=3 k \: ; n=3 k+1 ou n=3 k+2.
On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
Soit n un entier naturel. On a trois cas possibles.
1er cas : il existe k \in \N tel que n=3k.
\text A=3 k(3 k-2)(3 k+2) donc \text A est divisible par 3.
2e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+1.
\text A=(3 k+1)(3 k+1-2)(3 k+1+2)=(3 k+1)(3 k-1)(3 k+3)=3(3 k+1)(3 k-1)(k+1) donc \text A est divisible par 3.
3e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+2.
\text A=(3 k+2)(3 k+2-2)(3 k+2+2)=(3 k+2)(3 k)(3 k+4) donc \text A est divisible par 3.
1er cas : il existe k \in \N tel que n=3k.
\text A=3 k(3 k-2)(3 k+2) donc \text A est divisible par 3.
2e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+1.
\text A=(3 k+1)(3 k+1-2)(3 k+1+2)=(3 k+1)(3 k-1)(3 k+3)=3(3 k+1)(3 k-1)(k+1) donc \text A est divisible par 3.
3e cas : il existe k \in \N tel que n=3k+2.
\text A=(3 k+2)(3 k+2-2)(3 k+2+2)=(3 k+2)(3 k)(3 k+4) donc \text A est divisible par 3.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 105.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
B
Division euclidienne d'un entier relatif par un entier naturel non nul
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Pour tout entier relatif a et tout entier naturel b non nul, il existe un unique couple d'entiers (q \: ; r) tel que a=b q+r et 0 \leqslant r \lt b.
q est un entier relatif et r est un entier naturel.
q est un entier relatif et r est un entier naturel.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On définit de même la division euclidienne d'un entier relatif a par un relatif non nul b : il existe un unique couple d'entiers (q \: ; r) tel que a=b q+r et 0 \leqslant r\lt \vert \: b\: \vert.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Sachant que 524=30 \times 17+14, on a -524=-30 \times 17-14.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir -14.
On écrit -524=-30 \times 17 \color{orange}-17+17 \color{black}-14 soit -524=-31 \times 17+3.
Le reste de la division euclidienne de -524 par 17 est 3 et le quotient est -31.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir -14.
On écrit -524=-30 \times 17 \color{orange}-17+17 \color{black}-14 soit -524=-31 \times 17+3.
Le reste de la division euclidienne de -524 par 17 est 3 et le quotient est -31.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 4
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Dans la division euclidienne de -37 par l'entier naturel non nul b, le reste est 14.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On écrit la division euclidienne de -37 par b :
-37 = qb + 14, ce qui nous donne une équation du type q \times b = n.
Pour déterminer les entiers solutions d'une telle équation, on recherche les diviseurs de n.
De plus, la division euclidienne impose que 0 \leqslant r \lt b.
On en déduit les entiers solutions.
-37 = qb + 14, ce qui nous donne une équation du type q \times b = n.
Pour déterminer les entiers solutions d'une telle équation, on recherche les diviseurs de n.
De plus, la division euclidienne impose que 0 \leqslant r \lt b.
On en déduit les entiers solutions.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
La division euclidienne de -37 par b donne -37=q b+14 avec 14\lt b soit qb = -51.
Les diviseurs de -51 sont -51, -17, -3, -1, 1, 3, 17 et 51.
Or, b \gt 14, on a alors b=17 ou b=51.
Pour b=17, on a -37 = 17 \times (-3) + 14 et q = -3.
Pour b=51, on a -37 = 51 \times (-1) + 14 et q=-1.
Les diviseurs de -51 sont -51, -17, -3, -1, 1, 3, 17 et 51.
Or, b \gt 14, on a alors b=17 ou b=51.
Pour b=17, on a -37 = 17 \times (-3) + 14 et q = -3.
Pour b=51, on a -37 = 51 \times (-1) + 14 et q=-1.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 105
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
