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2. Division euclidienne
P.96-97

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COURS 2


2
Division euclidienne




A
Division euclidienne dans


Théorème

Soient et deux entiers naturels avec .
Alors il existe un unique couple d’entiers naturels satisfaisant les deux conditions : et . Cette relation est la division euclidienne de par .
s’appelle le quotient de la division euclidienne de par .
s’appelle le reste de la division euclidienne de par .

Remarque

s’appelle le dividende et le diviseur dans la division euclidienne de par .

Remarque

Soient et deux entiers naturels avec . si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de par est nul.

NOTATION

On note la partie entière du réel .

Remarque

Si , alors .

DÉMONSTRATION

Soient et deux entiers naturels avec non nul.

Existence

La partie entière d’un réel est l’entier relatif tel que . On note . Posons alors . On a donc . Par définition, ou encore puisque est strictement positif.
Autrement dit, on a soit enfin .
En posant , on a, d’une part, et, d’autre part, . On a donc bien prouvé l’existence d’un couple vérifiant les conditions demandées.
Démonstration - Division euclidienne dans N

Unicité

Supposons qu’il existe deux couples d’entiers naturels et vérifiant les deux conditions, c’est-à-dire
. On a alors :
  • , c’est-à-dire et donc .
  • et, puisque , on a .
Ainsi, avec donc et .
On a alors donc . D'où l'unicité.

Propriété

Soit un entier naturel tel que . Tout entier s’écrit sous une, et une seule, des formes , où est un entier.

DÉMONSTRATION

Soit un entier.
En effectuant la division euclidienne de par non nul, il existe deux entiers naturels et tels que avec .
Par unicité du quotient et du reste ou ou ou ... ou .

Remarque

Ainsi, dans la division par , le reste est ou .
Tout entier s’écrit sous la forme ou .
On retrouve donc qu’un entier est pair ou impair.

Application et méthode - 3

Énoncé

Soit un entier naturel. Posons . Démontrer que est un multiple de .

Solution


Soit un entier naturel. On a trois cas possibles.

1er cas : il existe tel que .
donc est divisible par .

2e cas : il existe tel que .
donc est divisible par .

3e cas : il existe tel que .
donc est divisible par .

Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 105

Méthode

D’après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier s’écrit sous une des trois formes suivantes :

ou .

On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.

B
Division euclidienne d’un entier relatif par un entier naturel non nul


Théorème : division euclidienne (admis)

Pour tout entier relatif et tout entier naturel non nul, il existe un unique couple d’entiers tel que et .
est un entier relatif et est un entier naturel.

Exemple

Sachant que , on a .
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir .
On écrit soit .
Le reste de la division euclidienne de par est et le quotient est .

Remarque

On définit de même la division euclidienne d’un entier relatif par un relatif non nul : il existe un unique couple d’entiers tel que et .

Application et méthode - 4

Énoncé

Dans la division euclidienne de par l’entier naturel non nul , le reste est .
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient ?

Solution


La division euclidienne de par donne avec soit .
Les diviseurs de sont , , , , , , et .
Or, , on a alors ou .
Pour , on a et .
Pour , on a et .

Pour s'entraîner : exercices 44 et 45 p. 105

Méthode

On écrit la division euclidienne de par :
, ce qui nous donne une équation du type .
Pour déterminer les entiers solutions d’une telle équation, on recherche les diviseurs de .
De plus, la division euclidienne impose que .
On en déduit les entiers solutions.

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