$a$ s'appelle le dividende et $b$ le diviseur dans la division euclidienne de $a$ par $b$.

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b$ non nul.
Existence
La partie entière d'un réel $x$ est l'entier relatif $n$ tel que $n⩽x<n+1$. On note $n=\text{E}(x)$. Posons alors $q=\text{E}\left(\frac{a}{b}\right)$. On a $\frac{a}{b}⩾0$ donc $q=\text{E}\left(\frac{a}{b}\right)⩾0$. Par définition, $q⩽\frac{a}{b}<q+1$ ou encore $qb⩽a<b\left(q+1\right)$ puisque $b$ est strictement positif.
Autrement dit, on a $bq-bq⩽a-bq<bq+b-bq$ soit enfin $0⩽a-bq<b$.
En posant $r=a-bq$, on a, d'une part, $a=bq+r$ et, d'autre part, $0⩽r<b$. On a donc bien prouvé l'existence d'un couple $(q;r)$ vérifiant les conditions demandées.



Unicité
Supposons qu'il existe deux couples d'entiers naturels $(q;r)$ et $(q^{\prime };r^{\prime })$ vérifiant les deux conditions, c'est-à-dire
$\{\begin{array}{l}a=qb+r\text{ avec }0⩽r<b\\ a=q^{\prime }b+r\text{ avec }0⩽r^{\prime }<b\end{array}$. On a alors :

• $qb+r=q{b}^{\prime }+r^{\prime }$, c'est-à-dire $b\left(q^{\prime }-q\right)=r-r^{\prime }$ et donc $b|\left(r-r^{\prime }\right)$.
• $0⩽r<b$ et, puisque $0⩽r^{\prime }<b$, on a $-b<-r^{\prime }⩽0$.

Ainsi, $b|\left(r-r^{\prime }\right)$ avec $-b<r-r^{\prime }<b$ donc $r-r^{\prime }=0$ et $r=r^{\prime }$.
On a alors $q^{\prime }-q=0$ donc $q^{\prime }=q$. D'où l'unicité.

Soit $b$ un entier naturel tel que $b⩾2$. Tout entier $a$ s'écrit sous une, et une seule, des formes $bq,bq+1,bq+2,\dots ,bq+(b-1)$, où $q$ est un entier.

Soit $n$ un entier naturel. On a trois cas possibles.

1^er cas : il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=3k$.
$\text{A}=3k(3k-2)(3k+2)$ donc $\text{A}$ est divisible par $3$.

2^e cas : il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=3k+1$.
$\text{A}=(3k+1)(3k+1-2)(3k+1+2)=(3k+1)(3k-1)(3k+3)=3(3k+1)(3k-1)(k+1)$ donc $\text{A}$ est divisible par $3$.

3^e cas : il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=3k+2$.
$\text{A}=(3k+2)(3k+2-2)(3k+2+2)=(3k+2)(3k)(3k+4)$ donc $\text{A}$ est divisible par $3$.

Exercices

38

et

39

p. 105.

Sachant que $524=30\times 17+14$, on a $-524=-30\times 17-14$.
Le reste ne peut pas être négatif donc il ne peut pas valoir $-14$.
On écrit $-524=-30\times 17-17+17-14$ soit $-524=-31\times 17+3$.
Le reste de la division euclidienne de $-524$ par $17$ est $3$ et le quotient est $-31$.

La division euclidienne de $-37$ par $b$ donne $-37=qb+14$ avec $14<b$ soit $qb=-51$.
Les diviseurs de $-51$ sont $-51$, $-17$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $17$ et $51$.
Or, $b>14$, on a alors $b=17$ ou $b=51$.
Pour $b=17$, on a $-37=17\times (-3)+14$ et $q=-3$.
Pour $b=51$, on a $-37=51\times (-1)+14$ et $q=-1$.

Exercices

44

et

45

p. 105