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Divisibilité dans Z
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Chapitre 3


Divisibilité dans





Divisibilité dans Z


L’arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des entiers. Euclide, Diophante, Fermat, Gauss et, plus récemment, Andrew Wiles ont contribué aux avancées dans ce domaine.
L’arithmétique est aujourd’hui au centre des problèmes liés à l’informatique (codage, cryptographie).
Les bases de l’arithmétique sont les opérations enseignées à l’école primaire. Dans ce chapitre, nous allons gravir une nouvelle marche en étudiant les notions de divisibilité dans et de congruence.

Capacités attendues - chapitre 3

1. Déterminer les diviseurs d’un entier.
2. Montrer qu’un entier est divisible par un entier .
3. Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne.
4. Déterminer des restes à l’aide de congruences.
5. Résoudre des équations avec des congruences.
6. Démontrer des critères de divisibilité.
7. Étudier des problèmes de codage et de chiffrement.

Avant de commencer

Prérequis

1. Utiliser la parité d’un nombre.
2. Connaître les principaux critères de divisibilité.
3. Utiliser la notion de diviseur.
4. Savoir raisonner par récurrence.
5. Savoir écrire un algorithme et utiliser le langage Python.

1
Travailler avec la parité des nombres

1. Démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.


2. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.


3. Compléter les tableaux suivants.

+ Pair Impair
Pair
Impair


Pair Impair
Pair
Impair
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2
Rédiger une démonstration

1. Montrer que et sont la différence de deux carrés.


2. Démontrer que tout entier naturel impair peut s’écrire comme la différence de deux carrés successifs.
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3
Comprendre une fonction Python

Soit la fonction inconnue écrite en Python.

Exercice - Fonction inconnue écrite en Python

Que permet de déterminer cette fonction ?
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4
Déterminer des diviseurs

Justifier que est divisible par et par .
Est-il divisible par ?
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5
Diviseurs communs

Lors d’un tournoi de jeu de société, on compte hommes et femmes inscrits. Les organisateurs veulent créer des équipes mixtes contenant toutes le même nombre d’hommes et de femmes.

Comment les équipes peuvent-elles être constituées sachant qu’une équipe doit comprendre au moins quatre personnes et au plus dix personnes ?
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6
Adapter une démarche de recherche

peut-il s’exprimer comme la somme de quatre entiers consécutifs ?
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7
Travailler avec la récurrence

Soit la suite définie, pour tout , par et de premier terme .

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , est pair.
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8
Problème

1. Soit un entier naturel.
Démontrer que et ont la même parité.


2. Supposons que est un nombre rationnel. Il existe alors deux entiers et , avec non nul, tels que .
Quitte à la simplifier, on suppose que est une fraction irréductible.

a. Démontrer que est pair, puis en déduire la parité de .


b. Démontrer alors que est pair.


c. Déduire une contradiction des questions précédentes. Que peut-on en conclure ?
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Anecdote

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un célèbre mathématicien et physicien originaire de la principauté du Brunswick. D’une famille pauvre, son instituteur J.G. Büttner et son assistant Martin Bartels lui ont permis de développer ses talents mathématiques précoces. Il publie ses premiers résultats dès 19 ans et à 24 ans, il introduit les congruences étudiées dans ce chapitre dans ses Discussions arithmétiques, qui deviendra très vite une référence en arithmétique.
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