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Divisibilité dans Z
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Chapitre 3


Divisibilité dans Z\Z





Divisibilité dans Z


L’arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des entiers. Euclide, Diophante, Fermat, Gauss et, plus récemment, Andrew Wiles ont contribué aux avancées dans ce domaine.
L’arithmétique est aujourd’hui au centre des problèmes liés à l’informatique (codage, cryptographie).
Les bases de l’arithmétique sont les opérations enseignées à l’école primaire. Dans ce chapitre, nous allons gravir une nouvelle marche en étudiant les notions de divisibilité dans Z\Z et de congruence.

Capacités attendues - chapitre 3

1. Déterminer les diviseurs d’un entier.
2. Montrer qu’un entier aa est divisible par un entier bb.
3. Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne.
4. Déterminer des restes à l’aide de congruences.
5. Résoudre des équations avec des congruences.
6. Démontrer des critères de divisibilité.
7. Étudier des problèmes de codage et de chiffrement.

Avant de commencer

Prérequis

1. Utiliser la parité d’un nombre.
2. Connaître les principaux critères de divisibilité.
3. Utiliser la notion de diviseur.
4. Savoir raisonner par récurrence.
5. Savoir écrire un algorithme et utiliser le langage Python.

1
Travailler avec la parité des nombres

1. Démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.


2. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.


3. Compléter les tableaux suivants.

+ Pair Impair
Pair
Impair


×\times Pair Impair
Pair
Impair
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2
Rédiger une démonstration

1. Montrer que 77 et 1111 sont la différence de deux carrés.


2. Démontrer que tout entier naturel impair peut s’écrire comme la différence de deux carrés successifs.
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3
Comprendre une fonction Python

Soit la fonction inconnue écrite en Python.

Exercice - Fonction inconnue écrite en Python

Que permet de déterminer cette fonction ?
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4
Déterminer des diviseurs

Justifier que 20202\, 020 est divisible par 55 et par 1010.
Est-il divisible par 33 ?
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5
Diviseurs communs

Lors d’un tournoi de jeu de société, on compte 6060 hommes et 4040 femmes inscrits. Les organisateurs veulent créer des équipes mixtes contenant toutes le même nombre xx d’hommes et yy de femmes.

Comment les équipes peuvent-elles être constituées sachant qu’une équipe doit comprendre au moins quatre personnes et au plus dix personnes ?
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6
Adapter une démarche de recherche

20202 \, 020 peut-il s’exprimer comme la somme de quatre entiers consécutifs ?
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7
Travailler avec la récurrence

Soit (Un)(\text U_n) la suite définie, pour tout nNn \in \N, par Un+1=2n+1+Un\text U_{n+1} = 2^{n+1} + \text U_n et de premier terme U0=2\text U_0=2.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, Un\text U_n est pair.
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8
Problème

1. Soit nn un entier naturel.
Démontrer que nn et n2n^2 ont la même parité.


2. Supposons que 2\sqrt{2} est un nombre rationnel. Il existe alors deux entiers aa et bb, avec bb non nul, tels que 2=ab\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.
Quitte à la simplifier, on suppose que ab \dfrac{a}{b} est une fraction irréductible.

a. Démontrer que a2a^2 est pair, puis en déduire la parité de aa.


b. Démontrer alors que bb est pair.


c. Déduire une contradiction des questions précédentes. Que peut-on en conclure ?
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Anecdote

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un célèbre mathématicien et physicien originaire de la principauté du Brunswick. D’une famille pauvre, son instituteur J.G. Büttner et son assistant Martin Bartels lui ont permis de développer ses talents mathématiques précoces. Il publie ses premiers résultats dès 19 ans et à 24 ans, il introduit les congruences étudiées dans ce chapitre dans ses Discussions arithmétiques, qui deviendra très vite une référence en arithmétique.
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