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3. Congruences
P.109-111

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Entraînement


3
Congruences





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

92
FLASH

Sans calculatrice, compléter les égalités.

1. 5454 \equiv[7][7]

2. 8585 \equiv[7][7]

3. 139139 \equiv7]7]

4. 2525 \equiv[11][11]

5. 100100 \equiv[11][11]

6. 25002500 \equiv[11][11]
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93
FLASH

Dans chacun des cas, déterminer les restes dans la division euclidienne de aa, bb et cc par 2626 sachant que a55[26]a \equiv 55 [26] ; b110[26]b \equiv 110 [26] et c39[26]c \equiv -39 [26].
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94
FLASH

Sachant que a7[13]a \equiv 7 [13] et b4[13]b \equiv 4 [13], déterminer les restes dans la division euclidienne par 1313 de :

1. a+ba + b


2. abab


3. 2b3a2b-3a


4. a2+b2a^2+b^2
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95
FLASH

On considère l’équation (E):2x+30[7](\mathrm{E}): 2 x+3 \equiv 0[7]

1. Trouver un entier naturel xx solution de cette équation.


2. Résoudre dans N\mathbb{N} l’équation (E)\text{(E)}.
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96
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Soit mm un entier naturel non nul.
Le but de l’exercice est de démontrer que, quels que soient les entiers aa et bb, ab[m]m(ab)a \equiv b[m] \Leftrightarrow m |(a-b).

1. On souhaite démontrer que ab[m]m(ab)a \equiv b[m] \Rightarrow m |(a-b).
a. Sachant que ab[m]a \equiv b[m], écrire les divisions euclidiennes de aa et bb par mm.


b. En déduire que aba - b est un multiple de mm.


2. On souhaite démontrer que m(ab)ab[m]m |(a-b) \Rightarrow a \equiv b[m].
a. Écrire la division euclidienne de aa par mm. On notera rr le reste de cette division euclidienne.


b. Traduire la relation m  (ab)m\ |\ (a-b).


c. En déduire que aa et bb ont le même reste dans la division euclidienne par mm.
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97
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Dans cet exercice, on note mm un entier naturel non nul et aa, bb, cc et dd quatre entiers relatifs.

1. Compatibilité de la relation de congruence avec l’addition
On suppose que ab[m]a \equiv b [m] et cd[m]c \equiv d [m].
Démontrer alors que a+cb+d[m]a+c \equiv b+d[m].



Aide
On pourra utiliser la propriété démontrée dans l’exercice
96
et la transitivité de la relation de divisibilité.



2. Compatibilité de la relation de congruence avec la multiplication
On suppose que ab[m]a \equiv b[m] et cd[m]c \equiv d [m].
Démontrer alors que a×cb×d[m]a \times c \equiv b\times d[m].


3. Compatibilité de la relation de congruence avec les puissances
On suppose que ab[m]a \equiv b [m].
Démontrer par récurrence que, pour tout pNp \in \mathbb{N}^{*}, apbp[m]a^{p} \equiv b^{p}[m].


4. Application : Sachant que a5[7]a \equiv 5 [7] et b3[7]b \equiv 3[7], déterminer le reste dans la division euclidienne par 77 de 3a2b23a^2 - b^2.
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98
[ Chercher. ]
Soient aa et bb deux entiers relatifs.
1. Développer (a+b)3(a + b)^3.



2. En déduire que (a+b)3(a + b)^3 est un multiple de 33 si, et seulement si, a3+b3a^3 + b^3 est un multiple de 33.



3. Trouver tous les entiers relatifs xx tels que (x+2)3(x + 2)^3 soit un multiple de 33 avec 5x5-5 \leqslant x \leqslant 5.
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99
[ Calculer. ] ◉◉
1. Compléter les tables d’addition et de multiplication modulo 33.
+\boldsymbol{+} 0\bold{0} 1\bold{1} 2\bold{2}
0\bold{0}
1\bold{1}
2\bold{2}

×\boldsymbol{\times} 0\bold{0} 1\bold{1} 2\bold{2}
0\bold{0}
1\bold{1}
2\bold{2}


2. L’entier 22 admet-il un inverse modulo 33 ? Si oui, préciser quel est cet inverse.
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100
[ Calculer. ]
1. Justifier que tout entier nn est congru modulo 77 à 3-3 ; 2-2 ; 1-1 ; 00 ; 11 ; 22 ou 33.


2. En déduire les restes possibles de x2x^2 dans la division euclidienne par 77.


3. Quels sont les restes possibles de x4x^4 dans la division euclidienne par 77 ?
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101
[ Raisonner. ]
Soit nn un entier naturel.

1. Démontrer par récurrence que
Sn=02+12+22+32++n2\mathrm{S}_{n}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=n(n+1)(2n+1)6=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.


2. Quelle condition nn doit-il vérifier pour que S\text{S} soit pair ? Justifier.
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102
[ Chercher. ] ◉◉
1. Montrer que A=23052019+11062019\text{A}=2305^{2019}+1106^{2019} est divisible par 99.


2. Montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, B=5n×1212n×5\mathrm{B}=5^{n} \times 12-12^{n} \times 5 est divisible par 77.
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103
[ Chercher. ]
1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel non nul nn, le reste dans la division euclidienne de 3n3^n par 55.


2. En déduire le reste de la division euclidienne de 243942243^{942} par 55.
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104
[ Chercher. ]
1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de 5n5^n par 66 ?


2. En déduire le reste de la division euclidienne de 1536522115\, 365^{221} par 66.
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105
[ Chercher. ] ◉◉◉
1. Quel est le chiffre des unités de 92319^{231} ? Justifier.


2. Quel est le chiffre des unités de 41254^{125} ? Justifier.
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106
[ Calculer. ]
Résoudre dans Z\mathbb{Z} les systèmes suivants.

1. {x2[7]3<x<10\left\{\begin{array}{l} x \equiv 2[7] \\ -3\lt x \lt 10 \end{array}\right.



2. {x+24[5]3<x<10\left\{\begin{array}{l} x+2 \equiv 4[5] \\ -3\lt x \lt 10 \end{array}\right.



3. {x6[4]4<x<12\left\{\begin{array}{l} x \equiv 6[4] \\ -4\lt x \lt 12 \end{array}\right.

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107
[ Calculer. ]
L’objectif de l’exercice est de résoudre dans Z\mathbb{Z} l’équation 3x2[5]3 x \equiv 2[5].

1. Utiliser un tableau de congruence pour déterminer les restes possibles de 3x3x dans la division euclidienne par 55.


2. En déduire les solutions de l’équation dans Z\mathbb{Z}.
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108
[ Calculer. ] ◉◉
1. Résoudre dans N\mathbb{N} l’équation 6x2[7]6 x \equiv 2[7].


2. Résoudre dans Z\mathbb{Z} l’équation 7x2[11]7 x \equiv 2[11].


3. Résoudre dans N\mathbb{N} l’équation 4x0[10]4 x \equiv 0[10].


4. Résoudre dans Z\mathbb{Z} l’équation 5x+213[5]5 x + 2 \equiv 13[5].
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109
[ Calculer. ]
Soit nn est un entier naturel non nul. On pose :
Un=3n+344n+2\mathrm{U}_{n}=3^{n+3}-4^{4 n+2}.
1. Calculer U1\text{U}_1, U2\text{U}_2 et U3\text{U}_3.


2. En remarquant que 38[11]3 \equiv -8[11], démontrer que 3n+3(1)n+1×23n+9[11]3^{n+3} \equiv(-1)^{n+1} \times 2^{3 n+9}[11].


3. a. Démontrer que Un(1)n+1×23n+928n+4[11]\text{U}_{n} \equiv(-1)^{n+1} \times 2^{3 n+9}-2^{8 n+4}[11].


b. En déduire que Un23n+9((1)n+125(n1))[11]\mathrm{U}_{n} \equiv 2^{3 n+9}\left((-1)^{n+1}-2^{5(n-1)}\right)[11].


4. Déterminer le reste de 252^5 dans la division euclidienne par 1111. En déduire que 25(n1)(1)n1[11]2^{5(n-1)} \equiv(-1)^{n-1}[11].


5. Déduire des questions précédentes que Un\text{U}_n est divisible par 1111.
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110
[ Raisonner. ]
Critère de divisibilité par 3\bold{3}

1. Soit abc\overline{a b c} un entier naturel écrit en base 1010, c’est‑à‑dire abc=a×102+b×10+c\overline{a b c}=a \times 10^{2}+b \times 10+c.
a. Démontrer que abca+b+c[3]\overline{a b c} \equiv a+b+c[3].


b. Donner une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par 33 de abc\overline{a b c}.


2. Généralisation : Soit A\text{A} un entier naturel.
On note a0a_0 ;  ; ana_n les entiers compris entre 00 et 99, an0a_{n} \neq 0, tels que A=anan1an2a1a0\mathrm{A}=\overline{a_{n} a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_{1} a_{0}} en base 1010.
a. Exprimer l’entier A\text{A} en fonction de a0a_0 ;  ; ana_n et des puissances de 1010.


b. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de 10n10^n par 33.


c. En déduire une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par 33.
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111
[ Raisonner. ]
Critère de divisibilité par 9\bold{9}
Démontrer qu’un entier est divisible par 99 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 99.
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112
PYTHON
[ Représenter, Modéliser. ] ◉◉◉
1. Soit xx un entier relatif. Démontrer la proposition : « xx impair x21[8]\Leftrightarrow x^{2} \equiv 1[8]. »


2. Résoudre dans Z2\mathbb{Z}^2 l’équation x2=8y+1x^2 = 8y + 1.


3. En déduire l’ensemble des points à coordonnées entières de la parabole d’équation y=18x218y=\dfrac{1}{8} x^{2}-\dfrac{1}{8}.


4. Le programme ci-dessous permet d’obtenir les coordonnées des points à coordonnées entières d’une fonction du second degré quelconque pour une abscisse comprise entre 11 et nn.

from math import *

def f(a, b, c, x):
  return a*x**2 + b*x + c

def coord_entieres(a, b, c, n):
  for i in range(0, n + 1):
    if f(a, b, c, i) == floor(f(a, b, c, i)):
      print([i, f(a,b,c,i)])

Comment modifier ce programme pour qu’il donne tous les points à coordonnées entières d’abscisses comprises entre n-n et nn ?
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113
[ Communiquer. ]
Une association culturelle affecte à chacun de ses membres un numéro d’adhérent lors de son inscription. Ce numéro comporte 7 chiffres et s’écrit donc c0c_0 c1c_1 c2c_2 c3c_3 c4c_4 c5c_5 c6c_6. Le premier chiffre coc_o correspond à l’activité de l’adhérent :
  • 11 pour un adhérent suivant l’activité « Informatique » ;
  • 22 pour un adhérent suivant l’activité « Travaux artistiques » ;
  • 33 pour un adhérent suivant l’activité « Lecture ».

Les deux chiffres c1c_1 et c2c_2 du numéro d’adhérent correspondent à son année de naissance (par exemple, 9191 pour un adhérent né en 1991 et 0202 pour un adhérent né en 2002).
Les trois chiffres suivants sont donnés lors de l’adhésion à l’association.
Le dernier chiffre est appelé clé de contrôle. Il est calculé automatiquement de la manière suivante : on calcule la somme s=c0+c1+2c2+3(c3+c4+c5)s=c_{0}+c_{1}+2 c_{2}+3\left(c_{3}+c_{4}+c_{5}\right) ; on effectue ensuite la division euclidienne de ss par 99 ; le reste obtenu est la clé de contrôle.
1. a. Le numéro 1 024 5781~024~578 peut‑il être le numéro d’un adhérent ? Justifier.


b. Le numéro 2 923 5172~923~517 peut‑il être le numéro d’un adhérent ? Justifier.


2. Un adhérent né en 1982 et inscrit à l’activité « Travaux artistiques », se voit attribuer par l’association lors de son inscription le numéro 123123.
Déterminer la clé de contrôle.


3. Lors de la saisie d’un numéro d’adhérent, une erreur est commise sur le chiffre correspondant à l’activité de l’adhérent. Cette erreur peut‑elle être détectée par la clé de contrôle ?


4. Lors de la saisie de son numéro, un adhérent intervertit les chiffres de son année de naissance. Cette erreur peut‑elle être détectée par la clé de contrôle ?
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114
VRAI / FAUX
[ Communiquer. ]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier.

1. Si n3[7]n \equiv 3[7], alors n3+1n^3 + 1 est divisible par 77.


2. Pour tout entier naturel nn, 22n+12^{2n} + 1 est divisible par 33.


3. Si xx est solution de x2x0[5]x^{2}-x \equiv 0[5], alors x1[5]x \equiv 1[5].


4. Si un entier naturel A\text{A} a pour écriture décimale abc\overline{abc} et un entier B\text{B} a pour écriture décimale bac\overline{bac} , alors AB\text{A}-\text{B} est divisible par 99.
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115
[ Raisonner. ]
Soient nn un entier naturel non nul, et les entiers An=7n+9n\text{A}_{n}=7^{n}+9^{n} et Bn=32n2n\mathrm{B}_{n}=3^{2 n}-2^{n}.

1. Montrer que An\text{A}_n est divisible par 88 pour tout entier naturel nn impair.


2. Montrer que Bn\text{B}_n n’est pas divisible par 22.


3. Déterminer xx tel que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Bnx[7]\mathrm{B}_{n} \equiv x[7].
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116
[ Raisonner. ]
On considère l’équation (E) :(\mathrm{E})\nobreakspace{:} 4x2+3y2=114 x^{2}+3 y^{2}=11.

1. Montrer que si un couple d’entiers (x ; y)(x~;~y) est solution de (E)\text{(E)}, alors 4x22[3]4 x^{2} \equiv 2[3].


2. En déduire que l’équation (E)\text{(E)} n’admet pas de solution entière.
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117
[ Calculer. ] ◉◉
D’après bac S, Métropole, juin 2009
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel kk, on a 23k1[7]2^{3 k} \equiv 1[7].


b. Quel est le reste dans la division euclidienne de 220092^{2009} par 77  ?


2. Soient aa et bb deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 99 avec a0a \neq 0.
On considère le nombre N=a×103+b\mathrm{N}=a \times 10^{3}+b. On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N\text{N} ceux qui sont divisibles par 77.
a. Vérifier que 1031[7]10^{3} \equiv-1[7].


b. En déduire tous les nombres entiers N\text{N} cherchés.
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118
PYTHON
[ Raisonner, Modéliser. ]
Suite et congruence
On considère la suite (Un)(\text{U}_n) définie, pour tout entier naturel nn, par Un=2n+22n+23n\mathrm{U}_{n}=2^{n}+2^{2 n}+2^{3 n}.

1. Calculer U0\text{U}_0, U1\text{U}_1 et U2\text{U}_2.


2. Démontrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un+3Un[7]\mathrm{U}_{n+3} \equiv \mathrm{U}_{n}[7].


3. En déduire les valeurs de nn pour lesquelles Un\text{U}_n est divisible par 77.


4. Recopier et compléter la fonction Python donnée ci-dessous afin qu’elle affiche les indices ii des termes de la suite vérifiant Ui0[7]\mathrm{U}_{i} \equiv 0[7].

from math import*
def indice(n):
	...
	for i in range(n+1):
		u = ...
		if u ... 7 == 0:
			l.append(...)
	return l
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