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3. Congruences
P.109-111

Entraînement


3
Congruences





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

92
FLASH

Sans calculatrice, compléter les égalités.

1.

2.

3.

4.

5.

6.
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93
FLASH

Dans chacun des cas, déterminer les restes dans la division euclidienne de , et par sachant que ; et .
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94
FLASH

Sachant que et , déterminer les restes dans la division euclidienne par de :

1.


2.


3.


4.
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95
FLASH

On considère l’équation

1. Trouver un entier naturel solution de cette équation.


2. Résoudre dans l’équation .
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96
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Soit un entier naturel non nul.
Le but de l’exercice est de démontrer que, quels que soient les entiers et , .

1. On souhaite démontrer que .
a. Sachant que , écrire les divisions euclidiennes de et par .


b. En déduire que est un multiple de .


2. On souhaite démontrer que .
a. Écrire la division euclidienne de par . On notera le reste de cette division euclidienne.


b. Traduire la relation .


c. En déduire que et ont le même reste dans la division euclidienne par .
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97
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Dans cet exercice, on note un entier naturel non nul et , , et quatre entiers relatifs.

1. Compatibilité de la relation de congruence avec l’addition
On suppose que et .
Démontrer alors que .



Aide
On pourra utiliser la propriété démontrée dans l’exercice
96
et la transitivité de la relation de divisibilité.



2. Compatibilité de la relation de congruence avec la multiplication
On suppose que et .
Démontrer alors que .


3. Compatibilité de la relation de congruence avec les puissances
On suppose que .
Démontrer par récurrence que, pour tout , .


4. Application : Sachant que et , déterminer le reste dans la division euclidienne par de .
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98
[ Chercher. ]
Soient et deux entiers relatifs.
1. Développer .



2. En déduire que est un multiple de si, et seulement si, est un multiple de .



3. Trouver tous les entiers relatifs tels que soit un multiple de avec .
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99
[ Calculer. ] ◉◉
1. Compléter les tables d’addition et de multiplication modulo .



2. L’entier admet-il un inverse modulo  ? Si oui, préciser quel est cet inverse.
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100
[ Calculer. ]
1. Justifier que tout entier est congru modulo à ; ; ; ; ; ou .


2. En déduire les restes possibles de dans la division euclidienne par .


3. Quels sont les restes possibles de dans la division euclidienne par  ?
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101
[ Raisonner. ]
Soit un entier naturel.

1. Démontrer par récurrence que
.


2. Quelle condition doit-il vérifier pour que soit pair ? Justifier.
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102
[ Chercher. ] ◉◉
1. Montrer que est divisible par .


2. Montrer que, pour tout , est divisible par .
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103
[ Chercher. ]
1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel non nul , le reste dans la division euclidienne de par .


2. En déduire le reste de la division euclidienne de par .
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104
[ Chercher. ]
1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de par  ?


2. En déduire le reste de la division euclidienne de par .
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105
[ Chercher. ] ◉◉◉
1. Quel est le chiffre des unités de  ? Justifier.


2. Quel est le chiffre des unités de  ? Justifier.
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106
[ Calculer. ]
Résoudre dans les systèmes suivants.

1.



2.



3.

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107
[ Calculer. ]
L’objectif de l’exercice est de résoudre dans l’équation .

1. Utiliser un tableau de congruence pour déterminer les restes possibles de dans la division euclidienne par .


2. En déduire les solutions de l’équation dans .
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108
[ Calculer. ] ◉◉
1. Résoudre dans l’équation .


2. Résoudre dans l’équation .


3. Résoudre dans l’équation .


4. Résoudre dans l’équation .
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109
[ Calculer. ]
Soit est un entier naturel non nul. On pose :
.
1. Calculer , et .


2. En remarquant que , démontrer que .


3. a. Démontrer que .


b. En déduire que .


4. Déterminer le reste de dans la division euclidienne par . En déduire que .


5. Déduire des questions précédentes que est divisible par .
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110
[ Raisonner. ]
Critère de divisibilité par

1. Soit un entier naturel écrit en base , c’est‑à‑dire .
a. Démontrer que .


b. Donner une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par de .


2. Généralisation : Soit un entier naturel.
On note ;  ; les entiers compris entre et , , tels que en base .
a. Exprimer l’entier en fonction de ;  ; et des puissances de .


b. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de par .


c. En déduire une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par .
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111
[ Raisonner. ]
Critère de divisibilité par
Démontrer qu’un entier est divisible par si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par .
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112
PYTHON
[ Représenter, Modéliser. ] ◉◉◉
1. Soit un entier relatif. Démontrer la proposition : « impair . »


2. Résoudre dans l’équation .


3. En déduire l’ensemble des points à coordonnées entières de la parabole d’équation .


4. Le programme ci-dessous permet d’obtenir les coordonnées des points à coordonnées entières d’une fonction du second degré quelconque pour une abscisse comprise entre et .

from math import *

def f(a, b, c, x):
  return a*x**2 + b*x + c

def coord_entieres(a, b, c, n):
  for i in range(0, n + 1):
    if f(a, b, c, i) == floor(f(a, b, c, i)):
      print([i, f(a,b,c,i)])

Comment modifier ce programme pour qu’il donne tous les points à coordonnées entières d’abscisses comprises entre et  ?
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113
[ Communiquer. ]
Une association culturelle affecte à chacun de ses membres un numéro d’adhérent lors de son inscription. Ce numéro comporte 7 chiffres et s’écrit donc . Le premier chiffre correspond à l’activité de l’adhérent :
  • pour un adhérent suivant l’activité « Informatique » ;
  • pour un adhérent suivant l’activité « Travaux artistiques » ;
  • pour un adhérent suivant l’activité « Lecture ».

Les deux chiffres et du numéro d’adhérent correspondent à son année de naissance (par exemple, pour un adhérent né en 1991 et pour un adhérent né en 2002).
Les trois chiffres suivants sont donnés lors de l’adhésion à l’association.
Le dernier chiffre est appelé clé de contrôle. Il est calculé automatiquement de la manière suivante : on calcule la somme  ; on effectue ensuite la division euclidienne de par  ; le reste obtenu est la clé de contrôle.
1. a. Le numéro peut‑il être le numéro d’un adhérent ? Justifier.


b. Le numéro peut‑il être le numéro d’un adhérent ? Justifier.


2. Un adhérent né en 1982 et inscrit à l’activité « Travaux artistiques », se voit attribuer par l’association lors de son inscription le numéro .
Déterminer la clé de contrôle.


3. Lors de la saisie d’un numéro d’adhérent, une erreur est commise sur le chiffre correspondant à l’activité de l’adhérent. Cette erreur peut‑elle être détectée par la clé de contrôle ?


4. Lors de la saisie de son numéro, un adhérent intervertit les chiffres de son année de naissance. Cette erreur peut‑elle être détectée par la clé de contrôle ?
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114
VRAI / FAUX
[ Communiquer. ]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier.

1. Si , alors est divisible par .


2. Pour tout entier naturel , est divisible par .


3. Si est solution de , alors .


4. Si un entier naturel a pour écriture décimale et un entier a pour écriture décimale , alors est divisible par .
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115
[ Raisonner. ]
Soient un entier naturel non nul, et les entiers et .

1. Montrer que est divisible par pour tout entier naturel impair.


2. Montrer que n’est pas divisible par .


3. Déterminer tel que, pour tout , .
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116
[ Raisonner. ]
On considère l’équation .

1. Montrer que si un couple d’entiers est solution de , alors .


2. En déduire que l’équation n’admet pas de solution entière.
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117
[ Calculer. ] ◉◉
D’après bac S, Métropole, juin 2009
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel , on a .


b. Quel est le reste dans la division euclidienne de par   ?


2. Soient et deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à avec .
On considère le nombre . On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels ceux qui sont divisibles par .
a. Vérifier que .


b. En déduire tous les nombres entiers cherchés.
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118
PYTHON
[ Raisonner, Modéliser. ]
Suite et congruence
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .

1. Calculer , et .


2. Démontrer que, pour tout , .


3. En déduire les valeurs de pour lesquelles est divisible par .


4. Recopier et compléter la fonction Python donnée ci-dessous afin qu’elle affiche les indices des termes de la suite vérifiant .

from math import*
def indice(n):
	...
	for i in range(n+1):
		u = ...
		if u ... 7 == 0:
			l.append(...)
	return l
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