Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Entraînement 3

Congruences

Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;   et
Parcours 3 : exercices  ;  ; ; et
92
Flash

Sans calculatrice, compléter les égalités.

1.


2.


3.


4.


5.


6.

93
Flash

Dans chacun des cas, déterminer les restes dans la division euclidienne de , et par sachant que ; et .
94
Flash

Sachant que et , déterminer les restes dans la division euclidienne par de :

1.


2.


3.


4.
95
Flash

On considère l'équation

1. Trouver un entier naturel solution de cette équation.


2. Résoudre dans l'équation .
96
Démo
[ Raisonner. ]
Soit un entier naturel non nul.
Le but de l'exercice est de démontrer que, quels que soient les entiers et , .

1. On souhaite démontrer que .
a. Sachant que , écrire les divisions euclidiennes de et par .


b. En déduire que est un multiple de .


2. On souhaite démontrer que .
a. Écrire la division euclidienne de par . On notera le reste de cette division euclidienne.


b. Traduire la relation .


c. En déduire que et ont le même reste dans la division euclidienne par .
97
Démo
[ Raisonner. ]
Dans cet exercice, on note un entier naturel non nul et , , et quatre entiers relatifs.

1. Compatibilité de la relation de congruence avec l'addition
On suppose que et .
Démontrer alors que .
On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice et la transitivité de la relation de divisibilité.
Aide

2. Compatibilité de la relation de congruence avec la multiplication
On suppose que et .
Démontrer alors que .


3. Compatibilité de la relation de congruence avec les puissances
On suppose que .
Démontrer par récurrence que, pour tout , .


4. Application : Sachant que et , déterminer le reste dans la division euclidienne par de .
98
[ Chercher. ]
Soient et deux entiers relatifs.

1. Développer .


2. En déduire que est un multiple de si, et seulement si, est un multiple de .


3. Trouver tous les entiers relatifs tels que soit un multiple de avec .
99
[ Calculer. ]

1. Compléter les tables d'addition et de multiplication modulo .



2. L'entier admet-il un inverse modulo  ? Si oui, préciser quel est cet inverse.
100
[ Calculer. ]
1. Justifier que tout entier est congru modulo à ; ; ; ; ; ou .


2. En déduire les restes possibles de dans la division euclidienne par .


3. Quels sont les restes possibles de dans la division euclidienne par  ?
101
[ Raisonner. ]
Soit un entier naturel.

1. Démontrer par récurrence que
.


2. Quelle condition doit-il vérifier pour que soit pair ? Justifier.
102
[ Chercher. ]

1. Montrer que est divisible par .


2. Montrer que, pour tout , est divisible par .
103
[ Chercher. ]
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel non nul , le reste dans la division euclidienne de par .


2. En déduire le reste de la division euclidienne de par .
104
[ Chercher. ]
1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de par  ?


2. En déduire le reste de la division euclidienne de par .
105
[ Chercher. ]

1. Quel est le chiffre des unités de  ? Justifier.


2. Quel est le chiffre des unités de  ? Justifier.
106
[ Calculer. ]
Résoudre dans les systèmes suivants.

1.



2.



3.

107
[ Calculer. ]
L'objectif de l'exercice est de résoudre dans l'équation .

1. Utiliser un tableau de congruence pour déterminer les restes possibles de dans la division euclidienne par .


2. En déduire les solutions de l'équation dans .
108
[ Calculer. ]

1. Résoudre dans l'équation .


2. Résoudre dans l'équation .


3. Résoudre dans l'équation .


4. Résoudre dans l'équation .
109
[ Calculer. ]
Soit est un entier naturel non nul. On pose :
.
1. Calculer , et .


2. En remarquant que , démontrer que .


3. a. Démontrer que .


b. En déduire que .


4. Déterminer le reste de dans la division euclidienne par . En déduire que .


5. Déduire des questions précédentes que est divisible par .
110
[ Raisonner. ]
Critère de divisibilité par

1. Soit un entier naturel écrit en base , c'est‑à‑dire .
a. Démontrer que .


b. Donner une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par de .


2. Généralisation : Soit un entier naturel.
On note ;  ; les entiers compris entre et , , tels que en base .
a. Exprimer l'entier en fonction de ;  ; et des puissances de .


b. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de par .


c. En déduire une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par .
111
[ Raisonner. ]
Critère de divisibilité par
Démontrer qu'un entier est divisible par si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par .
112
Python
[ Représenter, Modéliser. ]

1. Soit un entier relatif. Démontrer la proposition : « impair . »


2. Résoudre dans l'équation .


3. En déduire l'ensemble des points à coordonnées entières de la parabole d'équation .


4. Le programme ci-dessous permet d'obtenir les coordonnées des points à coordonnées entières d'une fonction du second degré quelconque pour une abscisse comprise entre et .

from math import *

def f(a, b, c, x):
  return a*x**2 + b*x + c

def coord_entieres(a, b, c, n):
  for i in range(1, n + 1):
    if f(a, b, c, i) == floor(f(a, b, c, i)):
      print([ i, f(a,b,c,i)])

Comment modifier ce programme pour qu'il donne tous les points à coordonnées entières d'abscisses comprises entre et  ?
113
[ Communiquer. ]
Une association culturelle affecte à chacun de ses membres un numéro d'adhérent lors de son inscription. Ce numéro comporte 7 chiffres et s'écrit donc . Le premier chiffre correspond à l'activité de l'adhérent :
  • pour un adhérent suivant l'activité « Informatique » ;
  • pour un adhérent suivant l'activité « Travaux artistiques » ;
  • pour un adhérent suivant l'activité « Lecture ».

Les deux chiffres et du numéro d'adhérent correspondent à son année de naissance (par exemple, pour un adhérent né en 1991 et pour un adhérent né en 2002).
Les trois chiffres suivants sont donnés lors de l'adhésion à l'association.
Le dernier chiffre est appelé clé de contrôle. Il est calculé automatiquement de la manière suivante : on calcule la somme  ; on effectue ensuite la division euclidienne de par  ; le reste obtenu est la clé de contrôle.
1. a. Le numéro peut‑il être le numéro d'un adhérent ? Justifier.


b. Le numéro peut‑il être le numéro d'un adhérent ? Justifier.


2. Un adhérent né en 1982 et inscrit à l'activité « Travaux artistiques », se voit attribuer par l'association lors de son inscription le numéro .
Déterminer la clé de contrôle.


3. Lors de la saisie d'un numéro d'adhérent, une erreur est commise sur le chiffre correspondant à l'activité de l'adhérent. Cette erreur peut‑elle être détectée par la clé de contrôle ?


4. Lors de la saisie de son numéro, un adhérent intervertit les chiffres de son année de naissance. Cette erreur peut‑elle être détectée par la clé de contrôle ?
114
Vrai / Faux
[Communiquer. ]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier.

1. Si , alors est divisible par .


2. Pour tout entier naturel , est divisible par .


3. Si est solution de , alors .


4. Si un entier naturel a pour écriture décimale et un entier a pour écriture décimale , alors est divisible par .
115
[ Raisonner. ]
Soient un entier naturel non nul, et les entiers et .

1. Montrer que est divisible par pour tout entier naturel impair.


2. Montrer que n'est pas divisible par .


3. Déterminer tel que, pour tout , .
116
[ Raisonner. ]
On considère l'équation .

1. Montrer que si un couple d'entiers est solution de , alors .


2. En déduire que l'équation n'admet pas de solution entière.
117
[ Calculer. ]

D'après bac S, Métropole, juin 2009
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel , on a .


b. Quel est le reste dans la division euclidienne de par   ?


2. Soient et deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à avec .
On considère le nombre . On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels ceux qui sont divisibles par .
a. Vérifier que .


b. En déduire tous les nombres entiers cherchés.
118
Python
[ Raisonner, Modéliser. ]
Suite et congruence
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .

1. Calculer , et .


2. Démontrer que, pour tout , .


3. En déduire les valeurs de pour lesquelles est divisible par .


4. Recopier et compléter la fonction Python donnée ci-dessous afin qu'elle affiche les indices des termes de la suite vérifiant .

from math import*
def indice(n):
	...
	for i in range(n+1):
		u = ...
		if u ... 7 == 0:
			l.append(...)
	return l

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